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1、高中物理万有引力定律的应用试题( 有答案和解析 ) 及解析一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用1 一宇航员站在某质量分布均匀的星球表面上沿竖直方向以初速度v0 抛出一个小球，测得小球经时间t落回抛出点，已知该星球半径为，引力常量为，求：RG(1)该星球表面的重力加速度；(2)该星球的密度；(3)该星球的 “第一宇宙速度 ”【答案】 (1) g2v0(2)3v0(3)v2v0 Rt2RGtt【解析】(1) 根据竖直上抛运动规律可知，小球上抛运动时间2v0tg可得星球表面重力加速度： g2v0 t(2)星球表面的小球所受重力等于星球对小球的吸引力，则有：GMmmgR2gR22v0 R2得：
2、MGtG4 R3因为 V3M3v0则有：2RGtV(3)重力提供向心力，故mgm v2R该星球的第一宇宙速度vgR2v0Rt【点睛 】本题主要抓住在星球表面重力与万有引力相等和万有引力提供圆周运动向心力，掌握竖直上抛运动规律是正确解题的关键2 如图轨道为地球同步卫星轨道，发射同步卫星的过程可以筒化为以下模型：先让卫星进入一个近地圆轨道（离地高度可忽略不计），经过轨道上P 点时点火加速，进入椭圆形转移轨道该椭圆轨道的近地点为圆轨道上的P 点，远地点为同步圆轨道上的Q 点到达远地点 Q 时再次点火加速，进入同步轨道已知引力常量为G ，地球质量为M ，地球半径为 R ，飞船质量为 m ，同步轨道距地
3、面高度为h 当卫星距离地心的距离为 r 时，地球与卫星组成的系统的引力势能为EpGMm （取无穷远处的引力势能为r零），忽略地球自转和喷气后飞船质量的変化，问：（ 1）在近地轨道上运行时，飞船的动能是多少？（ 2）若飞船在转移轨道上运动过程中，只有引力做功，引力势能和动能相互转化已知飞船在椭圆轨道上运行中，经过P 点时的速率为v1 ，则经过 Q 点时的速率v2 多大？（ 3）若在近地圆轨道上运行时，飞船上的发射装置短暂工作，将小探测器射出，并使它能脱离地球引力范围（即探测器可以到达离地心无穷远处），则探测器离开飞船时的速度v3 （相对于地心）至少是多少？（探测器离开地球的过程中只有引力做功，动
4、能转化为引力势能）【答案】（ 1） GMm （ 2） v122GM2GM （ 3）2GM2RR hRR【解析】【分析】（ 1）万有引力提供向心力，求出速度，然后根据动能公式进行求解；（ 2）根据能量守恒进行求解即可；（ 3）将小探测器射出，并使它能脱离地球引力范围，动能全部用来克服引力做功转化为势能；【详解】（1）在近地轨道（离地高度忽略不计） 上运行时，在万有引力作用下做匀速圆周运动即： G mMm v2R2R则飞船的动能为Ek1mv2GMm ；22R（2）飞船在转移轨道上运动过程中，只有引力做功，引力势能和动能相互转化由能量守恒可知动能的减少量等于势能的増加量：1 mv121 mv22GM
5、m( GMm )22R hR若飞船在椭圆轨道上运行，经过P 点时速率为 v1 ，则经过 Q 点时速率为：v2v122GM2GM ；R hR（ 3）若近地圆轨道运行时，飞船上的发射装置短暂工作，将小探测器射出，并使它能脱离地球引力范围（即探测器离地心的距离无穷远），动能全部用来克服引力做功转化为势能即： G Mm1 mv32R2则探测器离开飞船时的速度（相对于地心）至少是：v32GMR【点睛】本题考查了万有引力定律的应用，知道万有引力提供向心力，同时注意应用能量守恒定律进行求解3“嫦娥一号 ”的成功发射，为实现中华民族几千年的奔月梦想迈出了重要的一步已知“嫦娥一号 ”绕月飞行轨道近似为圆形，距月
6、球表面高度为H，飞行周期为T，月球的半径为R，引力常量为G求：(1) 嫦“娥一号 ”绕月飞行时的线速度大小；(2)月球的质量；(3)若发射一颗绕月球表面做匀速圆周运动的飞船，则其绕月运行的线速度应为多大【答案】 （1） 2R H（ 2） 42R H32RHR H（ 3）TGT 2TR【解析】（ 1） “嫦娥一号 ”绕月飞行时的线速度大小v12(R H ) T（ 2 ）设月球质量为M “嫦娥一号 ”的质量为 mMm2H )根据牛二定律得Gm4 (RH )2T 2(R23解得 M4 (RH )GT 23）设绕月飞船运行的线速度为Mm0V2（V ，飞船质量为 m0 ，则 G2m0又RR23M4 (R
7、 H )GT 2联立得 V2 RHRHTR4如图所示 ,P、 Q 为某地区水平地面上的两点 ,在 P 点正下方一球形区域内储藏有石油 .假定区域周围岩石均匀分布 ,密度为 ;石油密度远小于 ,可将上述球形区域视为空腔 .如果没有这一空腔 ,则该地区重力加速度(正常值 )沿竖直方向 ;当存在空腔时,该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离.重力加速度在原竖直方向(即 PO 方向 )上的投影相对于正常值的偏离叫做 “重力加速度反常”为.了探寻石油区域的位置和石油储量,常利用 P 点附近重力加速度反常现象.已知引力常数为G.(1)设球形空腔体积为 V,球心深度为 d(远小于地球半径 ),
8、PQx, 求空腔所引起的Q 点处的重力加速度反常 ;(2)若在水平地面上半径为L 的范围内发现 :重力加速度反常值在与 k (k1)之间变化 ,且重力加速度反常的最大值出现在半径为L 的范围的中心 .如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的 ,试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积.【答案】 (1)G Vd(2) VL2 k.x2 )3/2G( k 2/31)( d 2【解析】【详解】(1)如果将近地表的球形空腔填满密度为的岩石 ,则该地区重力加速度便回到正常值.因此 ,重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力来计算,G Mm mgr 2式中 m 是 Q 点处某质点的质量,M 是填
9、充后球形区域的质量 .M=V而 r 是球形空腔中心O 至 Q 点的距离 r=d 2x2 g在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q 点处重力加速度改变的大小?Q 点处重力加速度改变的方向沿OQ 方向 ,重力加速度反常g是这一改变在竖直方向上的投影dg= grGVd联立 式得g=22)3/2 (dx(2)由 式得 ,重力加速度反常g的最大值和最小值分别为(G Vgmax)=d 2G Vd(gmin)=( d 2L2 )3/2 由题设有 ( g)max=k ,( ming=)联立 式得 ,地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为dLVL2 k.k 2/31G ( k2/31)5 探索浩瀚宇宙，发展航
10、天事业，建设航天强国，是我国不懈追求的航天梦，我国航天事业向更深更远的太空迈进。（ 1） 2018 年 12 月 27 日中国北斗卫星导航系统开始提供全球服务，标志着北斗系统正式迈入全球时代。覆盖全球的北斗卫星导航系统由静止轨道卫星（即地球同步卫星）和非静止轨道卫星共 35 颗组成的。卫星绕地球近似做匀速圆周运动。已知其中一颗地球同步卫星距离地球表面的高度为 h，地球质量为 Me，地球半径为 R，引力常量为 G。a.求该同步卫星绕地球运动的速度v 的大小；b.如图所示， O 点为地球的球心，P 点处有一颗地球同步卫星，P 点所在的虚线圆轨道为同步卫星绕地球运动的轨道。已知h= 5.6R。忽略大
11、气等一切影响因素，请论证说明要使卫星通讯覆盖全球，至少需要几颗地球同步卫星？（cos81= 0.15 sin810.99,）（2）今年年初上映的中国首部科幻电影流浪地球引发全球热议。根据量子理论，每个h光子动量大小p（h 为普朗克常数，为光子的波长）。当光照射到物体表面时将产生持续的压力。设有一质量为 m 的飞行器，其帆面始终与太阳光垂直，且光帆能将太阳光全部反射。已知引力常量为 G，光速为 c，太阳质量为 Ms，太阳单位时间辐射的总能量为E。若以太阳光对飞行器光帆的撞击力为动力，使飞行器始终朝着远离太阳的方向运动，成为“流浪飞行器”。请论证：随着飞行器与太阳的距离越来越远，是否需要改变光帆的
12、最小面积 s0。（忽略其他星体对飞行器的引力）GM eb至少需要 3颗地球同步卫星才能覆盖全球（2）随着飞行【答案】（ 1） a. vhR器与太阳的距离越来越远，不需要改变光帆的最小面积s0【解析】【详解】（1） a设卫星的质量为m。M emv2由牛顿第二定律 G2m，R hRh得 vGM eRhb如答图所示，设 P 点处地球同步卫星可以覆盖地球赤道的范围对应地心的角度为2，至少需要 N 颗地球同步卫星才能覆盖全球。由直角三角形函数关系cosR， h= 5.6 R，得 = 81。Rh所以 1 颗地球同步卫星可以覆盖地球赤道的范围对应地心的角度为2 =162 N360 =2.22所以， N =
13、3，即至少需要 3 颗地球同步卫星才能覆盖全球（2）若使飞行器始终朝着远离太阳的方向运动，当飞行器与太阳距离为r 时，光帆受到太阳光的压力 F 与太阳对飞行器的引力大小关系，有F G M smr 2设光帆对太阳光子的力为F，根据牛顿第三定律F = F设t 时间内太阳光照射到光帆的光子数为n ，根据动量定理： F t 2n htN，则 NEt设时间内太阳辐射的光子数为h c设光帆面积为s， nsN4 r 2当 F =G M sm时，得最小面积 s02 cGM smr 2E由上式可知， s0 和飞行器与太阳距离 r 无关，所以随着飞行器与太阳的距离越来越远，不需要改变光帆的最小面积 s0。6 经过
14、逾 6 个月的飞行，质量为 40kg 的洞察号火星探测器终于在北京时间2018 年 11 月27 日 03： 56 在火星安全着陆。着陆器到达距火星表面高度800m 时速度为60m/s ，在着陆器底部的火箭助推器作用下开始做匀减速直线运动；当高度下降到距火星表面100m 时速度减为 10m/s 。该过程探测器沿竖直方向运动，不计探测器质量的变化及火星表面的大气阻力，已知火星的质量和半径分别为地球的十分之一和二分之一，地球表面的重力加速度为 g = 10m/s2。求：(1)火星表面重力加速度的大小；(2)火箭助推器对洞察号作用力的大小.g=4m/s2F【答案】 (1)火(2)=260N【解析】【
15、分析】火星表面或地球表面的万有引力等于重力，列式可求解火星表面的重力加速度；根据运动公式求解下落的加速度，然后根据牛顿第二定律求解火箭助推器对洞察号作用力.【详解】（1）设火星表面的重力加速度为g 火 ，则 GM 火m=mg火r火2GM 地 m=mgr地2解得 g 火=0.4g=4m/s 2（2）着陆下降的高度：h=h 12a，则 v2212-h =700m ，设该过程的加速度为-v=2ah由牛顿第二定律：mg 火 -F=ma解得 F=260N7 从在某星球表面一倾角为的山坡上以初速度v0 平抛一物体，经时间t 该物体落到山坡上已知该星球的半径为R，一切阻力不计，引力常量为G，求：（ 1）该星
16、球表面的重力加速度的大小g（ 2）该星球的质量 M2v0 tan2v0 R2 tan【答案】 (1)(2)tGt【解析】【分析】（1）物体做平抛运动，应用平抛运动规律可以求出重力加速度（ 2）物体在小球的表面受到的万有引力等于物体的重力，由此即可求出【详解】（1）物体做平抛运动，水平方向：x v0t ，竖直方向： y1 gt 22由几何关系可知：ygttan2v0x解得： g2v0 tant（2）星球表面的物体受到的重力等于万有引力，即：G MmmgR2可得： MgR22v0R 2tanGGt【点睛】本题是一道万有引力定律应用与运动学相结合的综合题，考查了求重力加速度、星球自转的周期，应用平抛
17、运动规律与万有引力公式、牛顿第二定律可以解题；解题时要注意“黄金代换”的应用8 神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX3 双星系统，它由可见星A 和不可见的暗星B 构成将两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A、 B 围绕两者连线上的O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，（如图）所示引力常量为G，由观测能够得到可见星A 的速率v 和运行周期T（ 1）可见星 A 所受暗星 B 的引力 FA 可等效为位于 O 点处质量为 m的星体（视为质点）对它的引力，设 A 和 B 的质量分别为 m1、 m2
18、，试求 m（用 m1、 m2 表示）；（2）求暗星B 的质量 m2 与可见星A 的速率 v、运行周期T 和质量 m1 之间的关系式；（3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量ms 的 2 倍，它将有可能成为黑洞若可见星 A 的速率 v2.7 105 m/s ，运行周期 T4.7 104s，质量 m1 6ms，试通过估算来判断暗星 B 有可能是黑洞吗？（G 6.67 1011N?m2/kg2 ， ms 2.0 103 kg）【答案】（ 1） m m23m23v3T2m1m222 G (3)有可能是黑洞m1 m2【解析】试题分析：（ 1）设 A、B 圆轨道的半径分别为r1、 r2 ，由题意知，
19、A、 B 的角速度相等，为0 ，有： FA m102r1 ， FBm2 02 r2 ，又 FAFB设 A、 B 之间的距离为 r，又 rr1r2由以上各式得，rm1m2 r1m2由万有引力定律得FAG m1 m2r 2将 代入得 FAGm1m23m2r12m1m1 m m23令 FA G，比较可得 m m1m2r122m1mv2（2）由牛顿第二定律有：Gr12m1 r1vT又可见星的轨道半径r12由得m23v3T22 Gm1m2（3）将 m16ms代入m23v3T得m23v3Tm222 G2m16ms m22 G代入数据得m2323.5ms 6msm2m23n2 ms 3.5ms设 m2nms
20、 ，（ n 0）将其代入 式得，2m1m261n可见，m232 的值随 n 的增大而增大，令n=2 时得6msm2nms0.125ms3.5ms621n要使式成立，则n必须大于2B的质量 m2 必须大于2m1 ，由此得出结论，暗，即暗星星 B 有可能是黑洞考点：考查了万有引力定律的应用【名师点睛】本题计算量较大，关键抓住双子星所受的万有引力相等，转动的角速度相等，根据万有引力定律和牛顿第二定律综合求解，在万有引力这一块，设计的公式和物理量非常多，在做题的时候，首先明确过程中的向心力，然后弄清楚各个物理量表示的含义，最后选择合适的公式分析解题，另外这一块的计算量一是非常大的，所以需要细心计算9
21、我国航天事业的了令世界瞩目的成就，其中嫦娥三号探测器与2013 年 12 月 2 日凌晨 1点 30 分在四川省西昌卫星发射中心发射， 2013 年 12 月 6 日傍晚 17 点 53 分，嫦娥三号成功实施近月制动顺利进入环月轨道，它绕月球运行的轨道可近似看作圆周，如图所示，设嫦娥三号运行的轨道半径为r，周期为 T，月球半径为 R(1)嫦娥三号做匀速圆周运动的速度大小(2)月球表面的重力加速度(3)月球的第一宇宙速度多大【答案】 (1)2 r； (2)4 2r 3； (3)4 2 r 3TT 2 R2T 2 R【解析】【详解】(1)嫦娥三号做匀速圆周运动线速度：2rvrT(2)由重力等于万有
22、引力：GMmR2mg对于嫦娥三号由万有引力等于向心力：GMmm4 2rr 2T 2联立可得：42r 3g2 R2T(3)第一宇宙速度为沿月表运动的速度：GMmmv2R2mgR可得月球的第一宇宙速度：42 r 3vgR2 RT10 双星系统一般都远离其他天体，由两颗距离较近的星体组成，在它们之间万有引力的相互作用下，绕中心连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动。如地月系统，忽略其他星体的影响和月球的自转，把月球绕地球的转动近似看做双星系统。已知月球和地球之间的距离为 r，运行周期为T，引力常量为G，求地球和月球的质量之和。42r 3【答案】GT 2【解析】【分析】双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度应用牛顿第二定律列方程求解【详解】对地球和月球的双星系统，角速度相同，则：G MmM2 r1 m 2r2r 2解得： Gm2r 2 r1 ； GM2 r 2r2 ；其中2， r=r 1+r2；T三式联立解得：4 2r 3M m2GT【点睛】解决本题的关键知道双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度以及会用万有引力提供向心力进行求解