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1、十字相乘法与分组分解法习题课【知识内容】1. 十字相乘法分解因式（ 1）首项系数是 1 的二次三项式的因式分（ 2）二次项系数不为 1 的二次三项式的因式分解（ 3）含有两个字母的二次三项式的因式分解2. 分组分解法分解因式如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。【典型例题】1 x 24 x7例 1 分解因式：33分析： 当系数有分数或小数时，应先化为整数系数，便于下一步十字相乘。1 x24 x 71 x24x 211 x 7 x 3解： 3333例 2 分解因式： x 229 xy100 y2分析： 含两个字母的二次三项式，把其
2、中一个字母如y 看成是常数。解： x229 xy 100y2x229y x 100y2x 4y x 25y例 3 分解因式： 3x 2 11x 10分析： 首项系数为3 应分解为 1 3，常数项为10 是正数，分解成的两个因式同号且应与一次项系数11的符号相同，用十字相乘法尝试如下：11110310313(1)1(10)131(1)3(10)31121535321(5)3(2)111(2)3(5)17其中符合对角两数之积的和为11的只有第三个。解： 3x211x10x2 3x 5例 4 因式分解：x 26x7分析： 这个二次三项不符合完全平方公式的特点，首先，二次项与常数项不同号，其次，常数项
3、的绝对值不是一次项系数一半的平方， 所以不能直接用公式分解， 但经过适当的变形后，便可用公式分解。另外，这样的二次三项式可用十字相乘法分解。解：方法一 x26x7x26x997x3216x34x3 4x7x1方法二： x 26x7x 7x 1x7x1小结： 方法一叫配方法。用配方法分解二次三项式时，其前提是二次项系数为1（如果二次项系数不是 1，则提取这个系数，使二次项系数转化为1）；其关键是，加上紧接着减去一次项系数绝对值一半的平方，这样便达到配方的目的。在用十字相乘法分解二次三项式时，主要考虑的是十字相乘后的代数和应是一次项。例 5 分解因式：（1） 2x 22xy3x3y （2） a2b
4、24a4b（3） 4x29y 224 yz 16z2（ 4） x 3x2x1（ 1）分析： 首先注意到前两项的公因式2x和后两项的公因式3 ，分别把它们提出来，剩下的是相同因式xy，可以继续用提公因式法分解。此题也可以考虑含有y 的项分在一组。解法 1： 2 x22xy 3x 3y解法 2： 2x22xy3x 3y2x 22xy3x3y2x 23x2xy3y2x x y 3 x yx 2x 3 y 2x 3xy2x32x3xy说明： 解法 1 和解法 2 虽然是不同的分组方式，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应项系数成比例，分别为1： 1 和 2：（ -3），这也是分组中必须遵循的规律之一
5、。（ 2）分析：若将此题按上题中法 （二）方法分组将含有a 的项分在一组即 a 24a a a 4 ，含有 b 的项一组即b24bb b4 ，那 a a4 与 b b4 再没有公因式可提，不可再分解下去。可先将a 2b2一组应用平方差公式，再提出因式。解： a2b24ab4a 2b24a4babab4 ababab4（ 3 ）分析： 若将此题应用（2 ）题方法分组将4x 29 y2一组应用平方差公式，或者将4x 216z2 一组应用平方差公式后再没有公因式可提，分组失败。观察题中特点，后三项符合完全平方公式，将此题一、三分组先用完全平方公式，再用平方差公式完成分解。解： 4x29y 224 y
6、z16z24x 29 y224 yz16z223y22x4z2x3y 4z2x3y 4z（ 4）分析： 此题按照系数比为1 或者为1，可以有不同的分组方法。解法 1： x 3x 2x1x3x2x1x 2x1x1x1x21x1x1x1x1x12x 3xx21解法 2：原式x x 21x21x21x1x1x1x1x1x12说明： 分组时， 不仅要注意各项的系数， 还要注意到各项系数间的关系，这样可以启示我们对下一步分解的预测，如下一步是提公因式还是应用公式等。一般对于四项式的多项式的分解，若分组后可直接提取公因式，一般将四项式两项两项分成两组， 并在各组提公因式后，它们的另一个因式恰好相同，在组与
7、组之间仍有公因式可提，如例 5（1）题的两种解法。两项两项分组后也可各自用平方差公式，再提取组之间的公因式。如例 5 的（ 2）题、（ 4）题。若分组后可应用公式还可将四项式中进行三项和一项分组先用完全平方公式再应用平方差公式。如例5 中的（ 3）题。例 6 分解因式： ab c2d 2cd a2b2分析： 多项式带有括号，不便于直接分组，先将括号去掉，整理后再分组分解。解：ab c2d 2cd a 2b2abc2abd 2a2 cdb2 cdabc2a 2 cdabd 2b2 cdac bcadbd adbcbcad acbd例 7已知 4x 24xyy 24x2y10 ，求证： 2x 23
8、xyy2xy0分析： 要证明一个多项式的值为零，通常是将此多项式分解因式。若分解后的因式中有一个值为零，则原多项式的值为零。经过分组分解，可知 2x23xyy2xyxy2xy 1 ，若 xy 或 2xy1 为零，则原多项式的值为零。为达此目的，就要从条件入手。证明： 因为 4x 2y 20 ，所以2x22 2xy104xy4x2y1y2所以 2x2xy10y10又因为 2x 23xyy2xyxy 2x y1而 2 xy 10所以 2x 23xyy2xy0例 8已知 3x24xy7 y213x37ym 能分解成两个一次因式的乘积，求m 的值。并将此多项式分解因式。分析：根据因式分解的概念和乘法法
9、则可知，原多项式所分解得的两个因式必然都是三项式，而 原 多 项 式 的 前 三 项 可 分 解 为 3x7y x y ， 于 是 可 设 原 多 项 式 分 解 为3x 7y a xy b ，再根据恒等式中的对应项系数相等，便能使问题得到解决。解： 设 3x24xy7y 213x37 ym3x7yaxyb3x 24xy7y 2a3b xa 7b y aba3b131a7b372对应项系数相等，所以abm3解得： a2， b5m10所以 3x 24xy7y 213x37ym3x 24xy 7y213x37 y 103x7yaxyb3x7y2xy5例 9已知 x3y1x24y 24xy ，求 x
10、 与 y 的值。分析： 在通常情况下，由一个方程求两个未知数的值，条件是不够的，但在特殊条件下又是可行的，这“特殊条件”包括非负数的和等于零的性质。本题已有一个明显的非负数，即x 3y 1 ，而另一个非负数可由因式分解得到。于是问题能够解决。解： 因为 x 3y 1x24y 24xy ，所以x3y1 x 24 xy 4 y202x3y10所以 x即 x 3y 1 x 2y02 y 0解这个方程组，得：x2， y1【模拟试题】 （答题时间： 40 分钟）一 . 选择题1.用分组分解法分解多项式x2mxnxmn 分组正确的是（）A.x 2mxnxmnB.x 2mxnxmnC.x 2mnmxnxD.
11、x 2nxmxmna2b 2b12.用分组分解法分解多项式4 ，分组正确的是（）a 2b2b1a 21b2bA.4B.4a 2b2b1a 2b 2b1C.4D.43.将多项式 a2 b2a 2b21分解因式，其中正确的是（）A.ab1ab1B .a21b21C.a 21 b21D.a 1 a 1 b 1 b 14.下列因式分解中，不正确的是（）A.x416y 4x2yx2 yx24y2B. axaybxbyabxyC. 1 a 2b22ab 1 a b 1 a bD. 1 x 22 xy y 2x y 1 x y 15.把多项式 2xyx 2y21 分解因式的结果是（）A.xy1yx1C.xy
12、1xy1二 .填空题1.x 22xy35y 2x7 y2.2x27x15x53.1y 20 y 2B.xy1yx1D.xy1xy14.x 23xyxyx4 y5.x 228y 2x7 yx4 y6.kx 25x63x 2， k_ 。7.18x 219 x59 xm 2xn ，则 m_ ， n _。三 .分解因式（1） 2x253x（）5x221182x（） a 2abb 23524（4） xy22 xy24（）3x46 295x（6） x22xyy21（） a 2 b2a 2ab172（8） x2y 2z22 xy（9） ababc 2bc（ 10） x 3 5x 6四 . 解答题1.已知 x
13、 22 xy3y25，求整数 x 和 y 的值。2.已知 Ax2 x3 x 4 x 5 49 （ x 为整数），求证：A 为一个完全平方数。【参考大暗暗答案】一. 选择题1. D2. C3. D4. D5. A二. 填空题1.x22xy35y 2x7 yx5y2.2x 27x 15x 5 2x 33.1y20y25y1 4 y14.x23xy4 y 2xyx4 yx2xy28y 2x7yx4y5.36.kx 25x 6 3x 2 2 x 3 ， k 67.18x 219 x 59 xm2 xm ，则 m5， n1三 . 分解因式（ 1） 2x 1 x 3（ 2） 5x 6 x 3（ 3） a
14、3b a 8b（ 4） xy6xy4（ 5）3 x23 x1x1（ 6） xy1xy1（ 7） ab1aab1a（ 8） xyzxyz（ 9） abcabcx1x 2x6（ 10）四.解答题1.解： x22xy3y 25 ( x3y)( xy)5又 x、 y 为整数 x 3y、x y都为整数x 3y 1x 3y1x 3y 5x 3y5则有 xy 5 或 x y5 或 x y1 或 x y1解以上方程组得：x4x4x 2x2y，y1，11y1y2. 解： Ax 2 x 3 x 4 x 5 49x2x6 x 2x2049x2x22x16926 xx2x213 x 为整数 x 2 x 13 必为整数 A 是一个完全平方数