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1、第十三章全等三角形13.2三角形全等的条件目标导航1、探索并掌握两个三角形全等的条件： “ SSS”“ASA”“AAS”，并能应用它们判别两个三角形是否全等。2、探索出直角三角形全等的条件HL，并掌握，能进行简单的应用。3、经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维。名师引领1. 三角形全等的判定有哪些方法？三角形全等的判定方法有：边边边公理：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”；边角边公理： 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等， 简写成 “边角边”或“ SAS”；角边角公理：两
2、角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等， 简写成“角边角”或“ ASA”；角角边推论： 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等， 简写成 “角角边”或“ AAS”。2. 直角三角形全等的条件是什么？一般三角形全等的判断方法都适用于直角三角形全等的判定， 此外，直角三角形全等的条件还有“斜边直角边公理” ：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边直角边”或“ HL”。师生互动共解难题例 1、已知：在 ABC中， AD为 BC边上的中线， CE AD，BF AD。求证： CE=BF分析：将 CE与 BF 放在 CED与 BFD中，证明这两个三角形全等，问题便可解决，而全等
3、条件经过已知的转化是可以得到的。证明： CEAD，BF AD CED=BFD=90（垂直定义） D为 BC中点BD (已证 ) BD=DC（线段中点定义）DECBFD (已证 )EDCFDB ( 对顶角相等 )在 DEC与 DFB中 CD DEC DFB（AAS） CE=BF（全等三角形对应边相等）例 2 已知：如图，点 B、E、C、F 在同一直线上， AB=DE、AC=DF、 BE=CF。求证： ABC DEF。分析：已知中给的条件均为线段，由此可以考虑从边边边公理证明，这里又需用到等量公理。证明： BE=CF BE+EC=EC+CF（等量加等量和相等）AB DE (已知 ) AC DF (
4、已知 )在 ABC和 DEF中 BCEF (已证 ) ABC DEF（SSS）例 3 已知：如图 AC=BD， CAB=DBA。求证： CAD=DBC。分析：由已知，再加上一组公共边等，可以得到 ABC与 BAD全等，由性质得对应角相等，再由等量公理可得证。ABAB(公共边 )CABDBA (已知 )ACBD (已知 )证明：在 ABC和 BAD中， CBA=DAB（全等三角形对应角相等）又 CAB=DBA（已知） CAB-DAB=DBA- CBA（等量减等量差相等） CAD=DBC。积累运用举一反三同步训练 11. 选择题 :如图 1， AB=AD，CB=CD， B=30， BAD=46，则
5、 ACD的度数是（ ）。 A.120 B.125 C.127D.104如图 2，线段 AD与 BC交于点 O，且 AC=BD，AD=BC，?则下面的结论中不正确的是（ ）。A. ABC BADB. CAB=DBA C.OB=OCD. C= D2. 填空题 :在 ABC和 A1B1C1 中，已知 AB=A1B1，BC=B1C1，则补充条件 _，可得到 ABC A1B1 C1。如图 3， AB=CD，BF=DE， E、 F 是 AC上两点，且 AE=CF欲证 B= D，可先运用等式的性质证明 AF=_，再用“ SSS”证明 _ _得到结论。3. 如图， AB=AC，BD=CD，求证： 1= 2。4
6、. 如图，已知 AB=CD，AC=BD，求证： A= D。5. 如图，AC与 BD交于点 O，AD=CB，E、F 是 BD上两点，且 AE=CF，DE=BF。请推导下列结论： D= B； AECF。6. 已知如图， A、E、F、C四点共线， BF=DE，AB=CD.请你添加一个条件，使 DEC BFA；在的基础上，求证： DEBF。同步训练 21. 选择题 :如图 1， ABCD， AB=CD，BE=DF，则图中有多少对全等三角形（）。A.3B.4C.5D.6如图 2， AB=AC，AD=AE，欲证 ABD ACE，可补充条件（）。A. 1= 2B. B= CC. D= ED. BAE=CAD
7、如图 3，AD=BC，要得到 ABD和 CDB全等，可以添加的条件是 （）。A.ABCDB.ADBCC. A= CD. ABC=CDA2. 填空题 :如图 4，AB与 CD交于点 O，OA=OC，OD=OB，AOD=，?根据 _可得到 AOD COB，从而可以得到AD=。如图 5，已知 ABC中， AB=AC，AD平分 BAC，请补充完整过程说明ABD ACD的理由。 AD平分 BAC， _=_(角平分线的定义 ) 。在 ABD和 ACD中， _， ABD ACD（）。3. 如图 6，已知 AB=AD，AC=AE， 1= 2，求证 ADE=B。4. 如图，已知 AB=AD，若 AC平分 BAD
8、，问 AC是否平分 BCD？为什么？5. 如图，在 ABC和 DEF中， B、E、F、C，在同一直线上，下面有 4 个条件，请你在其中选 3 个作为题设，余下的一个作为结论， 写一个真命题，并加以证明。 AB=DE； AC=DF； ABC=DEF； BE=CF。6. 如图， AB BD，DE BD，点 C 是 BD上一点，且 BC=DE， CD=AB。试判断 AC与 CE的位置关系，并说明理由。如图， 若把 CDE沿直线 BD向左平移，使 CDE的顶点 C 与 B 重合，此时第问中 AC与 BE的位置关系还成立吗？ ( 注意字母的变化 ) 。同步训练 31. 选择题 :已知 AB=A B ，
9、A= A ， B= B ，则 ABC A B C 的根据是（）。A.SASB.SSAC.ASAD.AAS ABC和 DEF中， AB=DE， B=E，要使 ABC DEF，则下列补充的条件中错误的是（ ）。A.AC=DFB.BC=EFC. A= DD. C= F如图 1， AD平分 BAC，AB=AC，则图中全等三角形的对数是（）。A.2B.3C.4D.52. 填空题 :如图 2，已知 ABCD，欲证明 AOB COD，可补充条件 _。（填写一个适合的条件即可）。如图 3，ABAC，BDCD，1= 2，欲得到 BE=CE，?可先利用 _，证明 ABC DCB，得到 _=_，再根据 _?证明 _
10、?_，即可得到 BE=CE。如图 4：已知 ABC中，AB=AC， BAC=90，直角 EPF的顶点 P 是 BC中点，两边 PE，PF 分别交 AB，AC于点 E，F，给出以下五个结论： AE=CF； APE= CPF； EPF是等腰直角三角形； EF=AP；S1S ABC 。四边形 AEPF2当 EPF在 ABC内绕顶点 P 旋转时（点 E 不与 A，B 重合），上述结论中始终正确的序号有 _。3. 如图 5， AC=AE， C=E， 1=2，求证 ABC ADE。4. 已知：如图， AB CD，DF交 AC于 E，交 AB于 F，DE=EF求.证：AE=EC。5. 如图，已知 BD=CE
11、， 1=2，那么 AB=AC，你知道这是为什么吗？6. 已知如图， CE AB于点 E，BDAC于点 D，BD、CE交于点 O，且 AO平分 BAC，图中有多少对全等的三角形？请你一一列举出来。 （不要求说明理由）小明说：欲证 BE=CD，可先证明 AOE AOD得到 AE=AD，再证明 ADB? AEC得到 AB=AC，然后利用等式的性质即可得到 BE=CD，请问他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请按他的思路写出推导过程。要得到 BE=CD，你还有其他的思路吗？若有，请仿照小明的说法具体说一说你的想法。7. 我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，
12、那么在什么情况下，它们会全等？阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等。对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等 ( 证明略 )对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：已知： ABC、 A1 B1C1 均为锐角三角形， AB=A1B1 ，BC=B1C1 ， C= C1 。证明： ABC A1B1C1 。( 请你将下列证明过程补充完整 )证明：分别过点 B、 B1 ，作 BD CA于 D， B1 D1 C1 A1 于 D 1 ，则 BDC= B1 D1C1 =90o。 BC=B1 C1 ， C= C1 。 BCD B1 C1 D1 ， BD=B1 D1 。归
13、纳与叙述：由可得到一个正确结论，请你写出这个结论。同步训练 41. 选择题 :如图，已知 MB=ND， MBA=NDC，下列添加的条件中，哪一个不能用于判定 ABM CDN的是（）。A. M= N B.AB=CD C.AM=CN D.AMCN下列说法正确的是（）。A. 面积相等的两个直角三角形全等B. 周长相等的两个直角三角形全等C. 斜边相等的两个直角三角形全等D. 有一个锐角和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等如图已知 AB=CD， AEBD于 E， CFBD于 F，AE=CF，则图中全等的三角形有（）。A.1 对B.2 对C.3 对D.4 对2. 填空题 :如图，在 Rt ABC中，
14、 BAC=90， DEBC，BE=EC，AC=6，AB=10，则 ADC的周长是。如图， AB=CD，AE BC于 E，DF BC于 F，若 BE=CF，则 ABE，其依据是。3. 如图，AEBC，DFBC，E，F 是垂足，且 AE=DF，AB=DC，求证： ABC=DCB。4. 如图， AB=CD，AE BC，DFBC，垂足分别为 E，F，CE=BF。求证： AB CD5. 如图，在 ABC中， B=C，D 是 BC中点， DEAB，DFAC， E， F 为垂足，求证： AD平分 BAC。6. 如图，已知 ABC的六个元素，则下面甲、乙、 ?丙三个三角形中和 ABC全等的图形是（ ）。A.
15、甲和乙B. 乙和丙C. 只有乙D. 只有丙答案：同步训练 11. C； C。2. AC=A1C1； CE， ABF CDE。3. 证明 ABE ACE。4. 连接 BC，证明 ABC DCB。5. 证明 ADE CBF；证明 AEF=CFE。6. 可添加 AE=CF或添加 AF=CE，证明 DEC BFA；由得 BFA=DEC， DEBF。同步训练 2 1. A； A； B。2. COB， SAS，CB； BAD，CAD，AB=AC， BAD=CAD，AD=AD，SAS。3. 证 ABC ADE。4. 平分，证 ABC ADC。5. 答案不惟一，有两种选法：由得；由得，证明略6. AC CE，
16、证 ABC CDE；结论仍成立。同步训练 31. C； A； B。2. AB=CD或 OA=0C或 OB=OD； AAS，AB， DC，AAS， ABE， DCE；3. 1=2， BAC=DAE，又 AC=AE， C=E， ABC ADE。4. 证明 AEF CED。5. 由 1=2 得 ADB=AEC，再用 AAS证 ABD ACE。6. AOE AOD，BOE COD，AOB AOC，ABD ACE；正确；比如：可先证明 AOE AOD得到 OE=OD，再证明 BOE COD得到 BE=CD。 7. 又 ABA1B1， ADB A1D1B1 90， ADB A1 D1B1 ， A A1，又
17、 C C1，BCB1C1， ABC A1 B1C1 。若 ABC与 A1B1C1 均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形，AB=A1B1， BC=B1Cl ， C= Cl 。则 ABC A1B1C1。同步训练 4 1. C； D； C。2. 16； DCF，HL。3. 因为 AEBC，DFBC，所以在 Rt ABE和 Rt DCF中，所以 Rt ABE RtDCF，所以 ABC=DCB。4.因为 CE=BF，所以 CE+EF=BF+EF，即 BE=CF，在 Rt AEB和 RtDCF中， ABCD,BECF ,所以 ABE DCF，所以 B= C，所以 ABCD。5.因为 DFAC， DEAB，所以 BED=CFD=90。在 BDE和 CDF中，BC,BEDCFD, 所以 BDE CDF，所以 DE=DF。BD CD ,在 Rt AED和 Rt AFD中， ADAD , 所以 Rt AED RtAFD，所以 BAD=CAD，DEDF ,即 AD平分 BAC。