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1、名校名 推荐随堂巩固训练 (56)1.已知向量 a(1 ，2)， b (x， 2)，且 a (a b)，则实数 x 9 .解析：由题意得a b(1 x， 4).因为 a (a b)，所以 (1 x， 4) (1， 2) 0，即 1 x8 0，解得 x 9.2.(5，已知点 A(1 ， 2) ，若 AB 与 a (2， 3)同向，且 |AB| 2 13，则点 B 的坐标为4) .解析：设点B 的坐标为 ( x， y)，则 AB (x 1， y2).因为 AB与 a 同向，所以可设ABx 12，x 21，13，所a(0)，即 (x1， y2) (2，3) ，所以即又因为 |AB| 2y 2 3，y
2、 32.以 ( x1) 2 (y 2)2 (2)2 (3)2 (2 13)2 ，解得 2 或 2(舍去 )，所以 x 5， y4，所以点 B 的坐标为 (5， 4).3. 已知点 A(1 ， 0)， B(0 ， 2)， C( 1， 2)，则以 A ， B， C 为顶点的平行四边形的第四个顶点 D 的坐标为(0， 4)或 (2， 4)或 ( 2， 0) .解析：设顶点 D 的坐标为 (x，y)，如下图所示 .若平行四边形为ABCD1，则AB 1 1 x，D 1C.因为 AB ( 1，2) ，D 1C ( 1 x， 2 y)，所以解2 2 y，x 0，得即点 D 1(0， 4)；若平行四边形为 A
3、D 2BC ，则AD 2 CB.因为 AD 2y 4，x 1 1，x 2，(x 1， y)， CB (1，4) ，所以解得即点 D 2(2， 4)；若平行四边形为y 4，y 4，x 2，x 2，ABD 3C，则 AC BD3.因为 AC ( 2， 2)，BD 3 (x，y 2)，所以解得y 0，y2 2，即点 D 3( 2，0).综上，点 D的坐标为 (0， 4)或 (2， 4)或 ( 2， 0).4.已知 e1 与 e2 是两个不共线的向量， AB 3e12e2， CB 2e1 5e2，CD e1 e2.若A， B，D 三点共线，则 8 .解析：由题意得BD CD CB e1 e2 (2e1
4、 5e2) ( 2)e1 4e2.因为 A， B， D 三点k（ 2） 3，共线，所以存在实数k，使得 AB kBD ，所以 3e1 2e2 k( 2)e1 4e2 ，所以4k 2，1解得 k 2， 8.5. 已知 D 是 ABC 所在平面内一点，且满足(BC CA ) (BD AD ) 0，则 ABC 的1名校名 推荐形状是等腰三角形 . 解析： (BC CA ) (BD AD ) (BC CA )BA 0，所以 BC BA CA BA ，所以 acos Bbcos A ，利用余弦定理化简得 a2 b2，即 a b，所以 ABC 是等腰三角形 .6.已知平面向量 a (2m 1， 3)， b
5、 (2， m)，且 a 与 b 反向，则 |b| 2 2 .解析：因为 a 与 b 反向，所以 a 与 b 共线，所以 m(2m 1) 23 0，解得 m 2 或33m 2.当 m 2 时， a ( 3，3)， b (2， 2)，a 与 b 反向，此时 |b| 2 2；当 m 2时， a(4 ， 3)， b3， a 与 b 同向，不合题意 .2， 27.设OA (1， 2)，OB (a， 1)， OC(b， 0)(其中 a0， b0) ，O 为坐标原点，若 A ，B， C 三点共线，则ab 的最大值是1.8 b a，1).因为 A ， B， C 三点共解析： AB OB OA(a1， 1)，
6、BC OC OB (线，所以 AB BC ，所以 a1 b a，即 2a b 1.因为 a0，b0 ，所以 1 2ab 2 2ab，即 ab 1，当且仅当2a b，即 a 1， b 1时等号成立，故ab 的最大值为 18428.8. 在 ABC 中，已知 a、b、 c 分别为角 A 、B、C 所对的边， S 为 ABC 的面积 .若向量 p (4， a2 b2 c2)， q(3， S)，且满足 pq，则 C .3解析：由 p q 得 4S 3(a2 b2 c2 )，则 S 3(a2 b2 c2). 由余弦定理得， cosC4a2 b2c23 2abcosC 1absinC，所以 tanC，所以
7、 S 3 2abcosC.又 S 1absinC，所以2ab4242 3.又 C (0， )，所以 C .39. 设OA (2，5)，OB (3 ，1) ，OC (6，3)，在线段 OC 上存在点 M ，使 MA MB ，则点 M 的坐标为(2， 1)或22， 11.5 5解析：设 OM tOC，t0，1，则OM (6t，3t)，即点 M 的坐标为(6t，3t). 因为 MA OAOM (2 6t， 5 3t)， MB OB OM (3 6t， 1 3t). 因为 MA MB ，所以 MAMB (2 6t，5 3t) (3 6t，1 3t) 0，即 45t2 48t 11 0，解得 t 13或
8、 t1115，故点 M 的坐标为22 11(2， 1)或 5 ， 5 .10. 已知 O、 A 、 B 三点的坐标分别为 O(0， 0)， A(3 ， 0)， B(0 ，3) ，且点 P 在线段 AB上， AP tAB (0 t 1)，则 OA OP的最大值为9.2名校名 推荐 2解析： OA OPOA (OA AP ) OA (OA tAB ) OA OA t(OB OA ) (1 t) |OA| tOA OB 9(1 t). 因为 0 t 1，所以 OA OP的最大值为 9.11. 已知 a(1， 2sin)， b sin 3 ， 1 .(1) 若 a b，且 R，求 tan的值；(2)若
9、 a b，且 0， 2 ，求 的值 .解析： (1) 因为 a b，所以 ab0，所以 2sinsin 3 0，53即 2sin 2 cos0.若 cos 0，则显然不合题意，所以cos 0，所以 tan35 .(2) 由 a b，得 2sinsin 1，3131即 2(1 cos2) 2 sin21，整理得 sin 2 62. 5又 0， 2，所以26 6， 6， 所以 2 ，即 .66612. 在边长为 1 的正三角形 ABC 中，E，F 分别是边 AB ，AC 上的点，且 AE mAB ，AFnAC ，其中 m，n (0， 1).设 EF 的中点为 M ， BC 的中点为N.(1) 若
10、A ， M ， N 三点共线，求证： m n；(2) 若 m n 1，求 |MN |的最小值 .解析： (1)，由 A ，M ， N 三点共线，得 AM AN1 1 设 AM AN ( (0， 1)，即2(AE AF ) 2(AB AC ) ，故 mAB nAC (AB AC )，从而 mn. 1 1 1 1(2) 因为 MN AN AM (AB AC )(AE AF ) (1 m)AB (1 n)AC ，mn22221，11所以 MN (1 m)AB mAC ，22 212 21 2 21 所以 |MN | (1 m)|AB | m |AC | m(1 m)AB AC4423名校名 推荐12
11、121m(1 m)(1 m)m 4441123， m (0， 1)，4 m 2 163.故当 m1时， |MN |min2413. 已知 |a| 10， |b| 5， ab 5，c xa (1 x)b.(1) 当 b c 时，求实数 x 的值；(2) 当 |c|取最小值时，求向量a 与 c 的夹角的余弦值.解析： (1)因为 b c，2 5x 5(11所以 bcbxa (1 x)b xba (1 x) b x) 0，解得 x .2(2) 因为 c2 xa (1 x)b 2 x2a2 2x(1 x) ab (1 x)2b2 10x2 10x(1 x) 5(x1)2 25x220x 5 25 x 2 21，5所以当 x 2时， c2 取得最小值为1，5即当 |c|取得最小值1 时， c 25a35b，所以 ac a2 32 232 103 ( 5) 1.5a 5b 5a5ab55设向量 a， c 的夹角为，则 cos ac 1 10.|a|c|101014