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1、名校名 推荐 第 24 讲正弦定理和余弦定理的应用1. 仰角和俯角 :与目标线在同一铅垂平面内的和目标视线的夹角 ,目标视线在水平视线的叫仰角 ,目标视线在水平视线的叫俯角 ,如图 3- 24- 1(a)所示 .(a)(b)(c)(d)图 3- 24- 1.方位角 :指从顺时针转到目标方向线的水平角 ,如图 3-24-1(b)中B点的方位角为 .2.方向角 :相对于某正方向的,如北偏东 ,即由正北方向顺时针旋转 到达目标方向 (如图33- 24- 1(c), 其他方向角类似 .4.坡角 :坡面与所成的二面角的度数 (如图 3- 24- 1(d)所示 ,坡角为 ).坡比 :坡面的铅直高度与-1(
2、d)所示 ,i为坡比 ).之比 (如图 324题组一常识题1. 教材改编 海上有 A,B,C三个小岛 ,A,B相距 5海里 ,从 A 岛望 C 和 B 成 45 视角 ,从 B 岛望 C 和 A成 75视角 ,则 B,C 两岛间的距离是海里 .2. 教材改编 某人向正东方向走了 x km 后 ,向右转 150 ,然后沿新方向走了 3 km,结果他离出发点恰好km,那么 x 的值为.3. 教材改编 如图 3- 24- 2 所示 ,长为 3. 5 m的木棒 AB斜靠在石堤旁 ,木棒的一端 A 在离堤足 C 处 1. 4 m的地面上 ,另一端 B 在离堤足 C 处 2. 8 m 的石堤上 ,石堤的倾
3、斜角为,则 tan 等于.图 3- 24- 2图 3- 24- 34. 教材改编 如图 3- 24- 3 所示 ,测量河对岸的塔高 AB时 ,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个观测点C与D.现测得 ,并在点C处测得塔顶A的仰角为 ,则塔高AB=.BCD=BDC=CD=s题组二常错题 索引 :仰角、俯角概念不清;方向角概念不清 ;方位角概念不清;不能将空 化 解三角形 .1名校名 推荐 .在某次测量中 ,在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是 60 ,C点的俯角是 70 ,则5BAC=.图 3- 24- 46. 如图 3- 24- 4 所示 ,两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相
4、等 ,灯塔 A 在观察站南偏西 40 的方向 ,灯塔 B在观察站南偏东60的方向 ,则灯塔 A 相对于灯塔 B 的方向角是.7.已知点 A在点 B 南偏西 20的方向 ,若以点 B 为基点 ,则点 A 的方位角是.某起重装置的示意图如图 3-BC=AC=AB=824 5 所示 ,已知支杆10 m,吊杆15 m,吊索5m,则起吊的货物与岸的距离 AD为m.图 3- 24- 5探究点一测量距离问题例 1 2018南京师大附中月考 如图 3- 24- 6 所示 ,A,B,C 三个警亭有直道相通 ,已知 A 在 B 的正北方向 6千米处 ,C在 B 的正东方向 6千米处 .(1)若警员甲从C 出发 ,
5、沿 CA行至点 P 处,此时 CBP=45,求 P,B 两点间的距离 .(2)若警员甲从 C 出发沿 CA前往 A,警员乙从 A 出发沿 AB前往 B,两人同时出发 ,甲的速度为 3 千米 / 时 , 乙的速度为 6 千米 / 时. 两人通过专用对讲机保持联系 ,乙到达 B后原地等待 ,直到甲到达 A 时任务结束 . 若对讲机的有效通话距离最大为 9 千米 ,试求两人通过对讲机能保持联系的总时长 .图 3- 24- 62名校名 推荐 总结反思 求距离即是求一条线段的长度 ,把该线段看作某个三角形的边 ,根据已知条件求出该三角形的部分元素后 ,即可使用正弦定理或者余弦定理求该边的长度 .变式题2
6、018青岛二模 如图 3- 24- 7 所示 ,A,B 两点在河的两岸 ,一名测量者在A 的同侧河岸边选定一点 C,测出 A,C两点的距离为50 m,ACB=45,CAB=105,则 A,B 两点间的距离为 ()图 3- 24- 7A. 50mB. 50mC. 25mD. m探究点二测量高度问题例 2 2018衡水中学月考 如图 3- 24- 8 所示 ,在山顶有一座信号塔 CD(CD所在的直线与地平面垂直 ),在山脚 A 处测得塔尖 C的仰角为 ,沿倾斜角为 的山坡向上前进 l 米后到达 B 处,测得 C的仰角为 .图 3- 24- 8(1)求 BC的长 ;(2)若 l= 24,=45, =
7、75,=30,求信号塔 CD的高度 .总结反思 高度也是两点之间的距离,其解法同求解水平面上两点间距离的方法是类似的,基本思想是把要求解的高度 (某线段的长度 )纳入到一个可解的三角形中 ,使用正、余弦定理或其他相关知识求出该高度 .变式题如图 3- 24- 9 所示 ,为了测量一棵树的高度,在地上选取 A,B 两点 ,从 A,B 两点分别测得树尖的仰角为 30,45,且 A,B两点之间的距离为60 m,则树的高度为 ()图 3- 24- 93名校名 推荐 A. (30+30) mB. (30+15) mC. (15+30) mD. (15+3) m探究点三测量角度问题例 3 如图 3- 24
8、- 10 所示 ,某渔船在航行中不幸遇险 ,发出呼救信号 ,某舰艇在 A 处获悉后 ,立即测出该渔船在方位角 (从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为 40,距离为 15 海里的 C处,并测得渔船正沿方位角为 100的方向 ,以 15 海里 / 时的速度航行 ,该舰艇立即以15海里 / 时的速度沿直线前去营救,若舰艇与渔船恰好在B 处相遇 ,求舰艇与渔船相遇所需的时间和舰艇的航向.图 3- 24- 10总结反思 测量“角度” 即是求一个角的大小 ,把该角看作某个三角形的内角 ,根据已知条件求出该三角形的一些元素后 ,使用正弦定理或者余弦定理解三角形即得 .变式题 如图 3- 24- 11
9、所示 ,在坡角为 的山坡上的一点 A 处测得山顶上一建筑物 CD的顶端 C 对于山坡的斜度为 15,向山顶前进 10 米后到达点 B,又从点 B 测得 C对于山坡的斜度为 ,建筑物的高 CD为5 米 .图 3- 24- 11(1)若 =30,求 AC的长 ;(2)若 =45,求此山坡的坡角 的余弦值 .4名校名 推荐 第 24 讲正弦定理和余弦定理的应用考 明能 运用正弦定理、余弦定理等知 和方法解决一些与 量和几何 算有关的 .【课前双基巩固】知识聚焦1. 水平视线 上方 下方2. 正北方向3. 水平角4. 水平面水平长度对点演练1.5解析 由题可知 ACB= ,即=,得 BC=5 .60,
10、由正弦定理得2.2或解析 如图所示 ,应有两种情况 . 由正弦定理 ,得=,sin A= , A=60或A=.当A=AB=A=AB= .12060时, 2;当 120 时,3.解析 由题意可得 ,在ABC中 ,AB=3. 5 m,AC=1. 4 m,BC=2. 8 m,且 +ACB= .222AC BCACB.2= .2+ .2- .-由余弦定理可得AB=AC+BC-88 ),解得 cos2 cos,即 35 14 22 14 2cos(=,所以 sin=,所以 tan=.4. 解析 在BCD中,CBD= - - . 由正弦定理得=,所以BC=.在 Rt ABCAB=BCACB=.中,tan5
11、. 130解析 60 +70=130 .6. 南偏西 80 解析 由条件及图可知 ,A=ABC=40 ,又BCD=60 ,所以 CBD=30,所以 DBA=10 ,因此灯塔 A 在灯塔 B 南偏西 80 的方向 .7. 200解析 根据方位角的概念可得.8.解析 在ABC中,cosABC=-=,所以 sin ABC=,所以在 ABD中,AD=ABsin ABC=5=(m).【课堂考点探究】5名校名 推荐 例 1 思路点拨 (1)先求出 APB,再由正弦定理可得 BP;(2)设甲、乙之间的距离为 f (t ),若两人通过对讲机能保持联系 ,则需要 f (t ) 9,然后分 0 t 1 和 1t
12、4 两种情况讨论 ,分别求得对应的时长 ,再求和即得到结论 .解:(1)在 ABC中,AB=6,BC=6,ABBC,所以 A=60,C=30,又CBP=45,所以 APB=75,由正弦定理得 ,= ,即 BP=-=-3 ,9故 PB的距离是 (9 - 3 )千米 .(2)由题知 ,AC=12 千米 ,则甲从 C到 A 需要 4 小时 ,乙从 A 到 B 需要 1 小时 .设甲、乙之间的距离为f (t ),若两人通过对讲机能保持联系,则需要 f (t )9.当0t 1 时,f t=- -=3-,由 f (t ) 9,( )得 7t2- 16t+ 70,解得 -t ,又 t 0,1,所以-t1,此
13、时通过对讲机保持联系的时长为- -= -1(小时 ).当t4 时,1f (t )=-=3-,由 f (t ) 9,得 t2- 6t+ 30,解得 3-t 3+,又 t (1,4,所以14,此时通过对讲机保持联系的时长为3 小时.t综上 ,两人通过对讲机能保持联系的总时长为3+- =(小时 ).变式题A解析 在 ABC中,AC=50 m,ACB=45, CAB=105,所以 ABC=30,则由正弦定理=,得 AB= =.50(m)故选 A例 2 思路点拨 (1)在ABC中 ,由正弦定理可得 BC;(2)结合 (1),在BDC中,利用正弦定理化简求解即可.解:(1)在 ABC中,AB=l,CAB=
14、- ,ABC=180- (- ), ACB= - . 由正弦定理=,得 BC=- l.-(2)由 (1)及条件知 ,BC=-l= =.因为 BCD= -=CBD= -=-24 12-90 15, 45,所以 120.BDC=由正弦定理得CD=BC=24- 8.6名校名 推荐 变式题A 解析 设树高为xm,则mBP= x .在ABP中,AB=60,BP=x,A=30, APB=15,由正弦定理=,得=,解得 x=30+30. 故选 A.例 3 思路点拨 设所需时间为 t 小时 ,利用余弦定理列出含有 t 的方程 ,再解方程得到 t 的值 ,然后求出CAB的值 ,即可求得舰艇航行的方位角 .解:设
15、所需时间为t 小时 ,则15,15由题可知 ,120.AB=t CB= t.ACB=222ACBABCAB=AC+BC- ACBCcos在2,中,由余弦定理 ,得可得 (15222- 21515t cos 120 ,t ) =15 +(15t )2整理得 2t -t- 1=0,解得 t= 1 或 t=-(舍去 ),即舰艇与渔船相遇需要1 小时 .在中,15,15,15,120,ABCAB=BC=AC=ACB=所以 CAB=70.30,所以舰艇航行的方位角为变式题解 :(1)当 =30时,ABC=150,ACB=BAC=15 ,BC=AB=222- 2 1010 cos 150 =200+100
16、 ,所以AC=10+1010,由余弦定理得故 AC=5 +5 .(2)当 =45时,ACB=30,在 ABC中,由正弦定理得= -=-).BC=205( =- 1,在中,由正弦定理得sin BDC=BCD所以 cos=cos(ADC-90)=sin ADC= - 1.【备选理由】 例 1 是距离问题 ,体现了正、 余弦定理在解三角形方面的实际应用,考查学生综合运用知识解决实际问题的能力 ;例 2 是角度问题 .例 1配合例 1 使用 如图所示 ,某小区准备将一块闲置的直角三角形地开发成公共绿地,图中AB=aB=,BC= a. 设计时要求绿地部分 (如图中阴影部分所示 )有公共绿地走道 MN,且
17、两边是两个关于,7名校名 推荐 走道对称的三角形 (和)现考虑方便和绿地最大化原则,要求点M与点 ,均不重合 ,AMNAMNAMN .A B落在边 BC上且不与端点B,C 重合 ,设AMN=.(1)若 = ,求此时公共绿地的面积;(2)为方便小区居民的行走,设计时要求AN,AN 的长度最短 ,求此时绿地公共走道MN的长度 .解 :(1)设公共绿地的面积为 S,由图得 BMA=- 2= , BM=AM= AM,又 BM+AM=AB=a, AM=a,AM=a.又 AB=a,BC=a,B= , A=,AMN为等边三角形 , MN=AM=a, S=2S AMN=2 AM MNsin = a2 = a2
18、.(2)由题知 AM+AM cos(- 2)=AB=a且 AM=AM,AM=AM=.-在AMN中,由正弦定理可得=- -,AN=-=-,记 t= 2sinsin-,则 t= 2sin-cossin =sin+2sin cos cos sin = sin2-cos 2+ =-+ ,sin又 , 2-,当 2-=,即 =a.时 ,t 取得最大值 ,此时 AN取得最小值 ,则此时 MN=AM=例 2 配合例 3 使用 如图所示 ,当甲船位于 A 处时获悉 ,在其正东方向相距 20 海里的 B处有一艘渔船遇险等待救援 ,甲船立即前往救援 ,同时把消息告知在甲船的南偏西30方向 ,相距 10 海里的 C处的乙船,乙船立即朝北偏东 角的方向沿直线前往B 处救援 ,则 sin 的值为()A.8名校名 推荐 B.C.D解析 D由题意知 ,在三角形 ABC中,AC=10,AB=20, CAB=120. 由余弦定理可得BC=- =10 . 又由正弦定理 =,得 =,即sin ACB=,又因为 (0,60 ),所以 cos ACB=,故 sinACB= + = . sin9