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1、名校名 推荐第八节正弦定理、余弦定理应用举例考纲传真 (教师用书独具 )能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题(对应学生用书第64 页 )基础知识填充 1仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图 3-8-1)图 3-8-12方位角和方向角(1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为 (如图 3-8-1)(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30等基本能力自测 1(思考辨析 )判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)从 A 处望
2、 B 处的仰角为 ，从 B 处望 A 处的俯角为 ，则 ，的关系为180.()(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0， 2 .()(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系 ()(4)方位角大小的范围是 0,2 )，方向角大小的范围一般是0， 2 .()答案 (1)(2)(3)(4)2(教材改编 )海面上有 A，B， C 三个灯塔， AB10 n mile，从 A 望 C 和 B1名校名 推荐成 60视角，从 B 望 C 和 A 成 75视角，则 BC 等于 ()106A103 n mileB 3n mileC52 n mileD5 6 n mileD 如图
3、，在 ABC 中，AB 10， A 60，B75， C45， BC 10 ， sin 60 sin 45 BC56.3若点 A 在点 C 的北偏东 30，点 B 在点 C 的南偏东 60，且 AC BC，则点 A 在点 B 的 ()A北偏东 15B北偏西 15C北偏东 10D北偏西 10B 如图所示， ACB90，又 AC BC， CBA45，而 30， 90 45 3015，点 A 在点 B 的北偏西 15.4如图 3-8-2，已知 A，B 两点分别在河的两岸，某测量者在点A 所在的河岸边另选定一点C，测得 AC50 m， ACB45， CAB 105，则 A，B 两点的距离为 ()2名校名
4、 推荐图 3-8-2A50 3 mB253 mC25 2 mD50 2 mACD 因为 ACB45，CAB105，所以 B30.由正弦定理可知 sin BAB ，即50AB，解得 AB 50 2 msin Csin 30 sin 45 5轮船 A 和轮船 B 在中午 12 时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120，两船的航行速度分别为25 n mile/h ，15 n mile/h ，则下午 2 时两船之间的距离是 _ n mile.70 设两船之间的距离为 d，则 d2502302250 30cos 120 4 900，d70，即两船相距 70 n mile.(对应学生用书第65 页 )
5、测量距离问题如图 3-8-3，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸B，C 的俯角分别为 67，30，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC 约等于 _m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin 670.92， cos 670.39， sin370.60，cos 37 0.80，3 1.73)【导学号 ：97190136】3名校名 推荐图 3-8-360 如图所示，过 A 作 ADCB 且交 CB 的延长线于 D在 RtADC 中，由 AD 46 m， ACB 30得 AC92 m.在 ABC 中， BAC673037，ABC18067113， AC 92 m，由正弦定理ACBC，得si
6、n ABCsin BAC92 BC ， sin 113 sin 37 即 92 BC ， sin 67 sin 37 解得 BC92sin 37sin 6760(m) 规律方法 求解距离问题的一般步骤1 画出示意图，将实际问题转化成三角形问题；2 明确所求的距离在哪个三角形中，有几个已知元素；3 使用正弦定理、余弦定理解三角形对于解答题，应作答.跟踪训练 如图 3-8-4 所示，要测量一水塘两侧 A，B 两点间的距离， 其方法先选定适当的位置 C，用经纬仪测出角 ，再分别测出 AC，BC 的长 b，a，则可求出 A， B 两点间的距离，即 AB a2b22abcos .若测得 CA400 m，
7、CB 600 m， ACB60，试计算 AB 的长图 3-8-44名校名 推荐解 在 ABC 中，由余弦定理得AB2AC2 BC22ACBCcos ACB，AB2 400260022400600cos 60 280 000，AB200 7(m)，即 A， B 两点间的距离为200 7 m.测量高度问题如图 3-8-5，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30的方向上， 行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD_m.图 3-8-5100 6 由题意，在 ABC 中， BAC 30，ABC1
8、80 75105，故 ACB 45.又 AB600 m，故由正弦定理得600 BC ， sin 45 sin 30 解得 BC300 2 m.在 RtBCD 中， CDBCtan 30 300 233100 6(m) 易错警示 解决高度问题的注意事项1 在测量高度时，要准确理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角 .2 在实际问题中，可能会遇到空间与平面 地面 同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.5名校名 推荐3 注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.跟踪训练 如图 3-8-6，从某电视
9、塔 CO 的正东方向的 A 处，测得塔顶的仰角为 60，在电视塔的南偏西 60的 B 处测得塔顶的仰角为 45，AB 间的距离为 35 米，则这个电视塔的高度为 _米图 3-8-65 21 如图，可知 CAO60，AOB150，OBC45，AB35 米3设 OC x 米，则 OA 3 x 米， OBx 米在 ABO 中，由余弦定理，得 AB2OA2OB22OAOBcos AOB，即 352 x2x22 3 2，33 x cos 150整理得 x521，所以此电视塔的高度是 521米 测量角度问题某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为 45，距离
10、 A 为 10 海里的 C 处，并测得渔船正沿方位角为 105的方向，以 10 海里 /时的速度向小岛 B 靠拢，我海军舰艇立即以10 3海里 /时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间解 如图所示，设所需时间为 t 小时，6名校名 推荐则 AB10 3t，CB10t，在 ABC 中，根据余弦定理，则有AB2AC2BC22ACBCcos 120 ，可得 (10 3t)2102(10t)2 2 1010tcos 120 .整理得 2t2t 1 0，解得 t1或 t12(舍去 )，舰艇需 1 小时靠近渔船，此时 AB103， BC 10.在 ABC 中，由正弦定理得BCAB，sin CA
11、Bsin 120 103BCsin 12021sinCABAB1032. CAB30.所以舰艇航向为北偏东75. 易错警示 解决测量角度问题的注意事项1 应明确方位角或方向角的含义.2 分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步 .3 将实际问题转化为解三角形的问题后，注意正弦、余弦定理的“ 联袂 ”使用 .跟踪训练 如图 3-8-7，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西 30、相距 20 海里的 C 处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往 B 处救援，求 cos 的值 .【导学号 ：97190137】7名校名 推荐图 3-8-7解 在 ABC 中， AB40，AC20， BAC 120，由余弦定理得， BC2 AB2AC22ABACcos 1202 800? BC20 7.由正弦定理，得ABBC? sinACBAB 21sinACBsin BACBC sinBAC7 .27由 BAC120，知 ACB 为锐角，则 cos ACB 7 .由 ACB 30，得cos cos(ACB 30) cosACB cos 30 21sinACB sin 30 .8