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1、9.2 正项级数及其敛散性判别,二. 正项级数敛散性的判别法,一.正项级数的概念,则称此级数为正项级数.,定义9.2.1 若数项级数,中的各项, 则,证 “充分性”,“必要性”,从而正项级数收敛.,此定理的等价命题:,从而正项级数发散.”,例1判定 p 级数,的敛散性.,(2) 当 p1 时, 因为,所以,(3) 当 p1 时, 设,于是,收敛.,结论:,如何判别正项级数的敛散性是讨论正项级数的基本问题, 直接利用上述定理来判别, 即讨论部分和数列是否有上界是 非常困难的. 因此, 需要建立其它敛散性的判别法.,例1判定 p 级数,的敛散性.,设两个正项级数,定理9.2.2 (比较判别法),应
2、项满足:,二. 正项级数敛散性的判别法,（大收小收）,（小发大发）,的对,1. 比较判别法,证 设,部分和分别是,注1 因级数增加或去掉有限项不影响它的敛散性 . 故定 理中的不等式不一定从首项就开始面满足.,注2,例如,例2 判定级数,的敛散性.,解,收敛,因为,例3 判定级数,的敛散性.,解,发散,因为,设两个正项级数,推论9.2.1,c 0，使得从某项 (如第N项) 起满足, 如果存在常数,定理9.2.3 (比较判别法的极限形式),则对于,证,则对于,对于,则,解,因为,定理9.2.4 (达朗贝尔比值判别法),2. 比值判别法,(1)当 l 0且满足,证,收敛,(2)当 l 1时, 则对任意给定的 0且满足,则当n N时, 后项 un+1 始终大于前项un,发散.,但当 p 1时, p 级数收敛; 当 p 1 时, p 级数发散.,比如 p 级数,无论 p 取何值, 均有,例7 判定级数 的敛散性.,故原级数收敛.,解,故原级数发散.,解,例8 判定级数 的敛散性.,解,比值审敛法失效, 改用比较审敛法,例9 判定级数 的敛散性.,定理9.2.5 (柯西根值判别法),3. 根值判别法,证,收敛。,解,解,因为,故原级数收敛.,由根值判别法知：,