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1、第十章 曲线积分与曲面积分参考答案第十章 曲线积分与曲面积分答案一、选择题1曲线积分与路径无关，其中有一阶连续偏导数，且，则（ ） (B) (2分，难度：三级)(A). (B). (C). (D).02闭曲线为的正向，则（ ） (C) (2分，难度：二级) (A).0 (B).2 (C).4 (D).63闭曲线为的正向，则 ( ) D (2分，难度：二级)(A). (B). (C).0 (D). 4为YOZ平面上，则（ ） (D) (2分，难度：二级)(A).0 (B). (C). (D). 5设，则 （ ）(C) (2分，难度：一级)(A). (B). (C). (D). 6. 设为球面，则
2、曲面积分的值为（ ） (B) (2分，难度：一级)(A). (B). (C). (D).7. 设是从O(0,0)到(B)(1,1)的直线段，则曲线积分（ ）(C) (2分，难度：一级)(A). (B). (C). (D). 8. 设= 其中L是抛物线上点（0, 0）与点(1, 1)之间的一段弧,则=（ ）(D) (2分，难度：一级)(A). (B). (C). (D). 9. 如果简单闭曲线 所围区域的面积为 ，那么 是（ ）(D) (2分，难度：一级) (A). ； (B). ； (C). ； (D). 。10设，为在第一卦限中部分，则有（ ）(C) (2分，难度：一级)(A). (B).
3、(C). (D).11设为曲面=（ ） (D) (2分，难度：二级)(A). (B). (C). (D). 12. 曲线弧上的曲线积分和上的曲线积分有关系（ ）(B) (2分，难度：一级)(A). (B). (C). (D). 13设为曲面=（ ）(D) (2分，难度：二级)(A). (B). (C). (D). 14设=（ ）(B) (2分，难度：二级)(A). (B). (C). (D). 15设则=（ ）(C) (2分，难度：一级)(A). (B). (C) (D) 16设为=（ ）(B) (2分，难度：二级)(A). (B). (C). (D). 17设 （ ）(B) (2分，难度：三
4、级)(A). (B). (C). (D). 18设=（ ）(A) (2分，难度：二级)(A).0 (B). (C) (D)19设则=（ ）(D) (2分，难度：二级)(A). (B). 0 (C) (D)20设为,则的值为( ). (B) (2分，难度：一级) (A). (B). 6 (C). (D). 4 21.设为直线上从点到点的有向直线段,则=( ) (C). (2分，难度：一级) (A). 6 (B). (C). 0 (D).-22. 若是上半椭圆取顺时针方向,则的值为( ).(C) (2分，难度：二级) (A).0 (B). (C). (D).23、设在单连通区域内有一阶连续偏导数,
5、则在内与路径无关的条件是( ).(C) (2分，难度：一级) (A).充分条件 (B).必要条件 (C).充要条件 (D).充分非必要条件24、设为球面取外侧,为其上半球面,则( )式正确. (B) (2分，难度：一级) (A). (B). (C). . (D). 25、若为球面的外侧,则等于( ). (B)(2分，难度：一级) (A). (B). 2 (C). 0 (D). 26、曲面积分在数值上等于( ). (C) (2分，难度：一级)(A).向量穿过曲面的流量 (B).面密度为的曲面的质量 (C).向量穿过曲面的流量 (D). 向量穿过曲面的流量27、设是球面的外侧,是面的圆域,下述等式
6、正确的是( ). (C) (2分，难度：二级) (A) (B) (C) (D)28、若是空间区域的外表面,下述计算中运用奥-高公式正确的是( ). (B) (2分，难度：一级) (A). =； (B).=； (C).=. (D).=.29设所围空间立体的表面取外侧， 则=（ ）(B) (2分，难度：三级) (A). (B). (C). (D). 30设的弧段，且曲线积分（下式中为常数）=（ ）(C) (2分，难度：三级) (A). (B). (C). (D).31设那么曲线积分计算公式=（ ） (A) (2分，难度：一级) (A) (B) (C) (D)32.设，则( ) （B） (2分，难度
7、：二级) （A）对任意分段光滑的闭曲线，有； （B）在不包含原点时，其中是任意分段光滑闭曲线；（C）因为在原点不存在，故对任何分段光滑闭曲线，；（D）在包含原点时，在不包含原点时.33. 设是平面上有向曲线，下列曲线积分中，（ ）是与路径无关的(A)(2分，难度：二级)(A) (B) (C) (D)34. 若及在单连通域 内有连续的一阶偏导数，则在内，曲线积分与路径无关的充分必要条件是（ ） (B) (2分，难度：一级)(A)在域 内恒有 (B)在域 内恒有(C) 在域 内恒有 (D)在内任一条闭曲线上，曲线积分35.设曲面 =( ) (B) (2分，难度：三级)(A).0 (B). (C).
8、 (D). 36设是平面上的圆域则=（ ）（D）(2分，难度：二级)(A); (B) (C ) (D ) 二、填空题1. 设是以, , , 为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分 -2 (2分，难度：二级)2.S为球面的外侧,则0 (2分，难度：一级)3 = (2分，难度：二级)4曲线积分，其中是圆心在原点，半径为的圆周，则 (2分，难度：一级)5设为上半球面，则曲面积分= 32 (2分，难度：二级)6. 设曲线为圆周,则曲线积分 . (2分，难度：二级)7. 设C是以,为顶点的三角形边界，则曲线积分1+ (2分，难度：二级)8. 设为上半球面，则曲面积分的值为 。 (2分，难度：二级)9.
9、光滑曲面z=f（x，y）在平面上的投影区域为，则曲面的面积是(2分，难度：一级)10设是抛物线上从点到点的一段弧，则曲线积分 12(2分，难度：一级)11、 . (2分，难度：二级)12、设为的正向，则 .(2分，难度：二级)/13、设则则= 0 (2分，难度：一级)14、设则=0 .(2分，难度：一级)15、设则= .(2分，难度：二级)16设=0 (2分，难度：二级)17，则= (2分，难度：二级)18 法线的方向余弦，则曲面积分= . (2分，难度：二级)19设为的边界，则 0 (2分，难度：二级)20设为 (2分，难度：二级)21. 设：，则曲线积分 0 。(2分，难度：一级)22某物
10、质沿曲线：，（01）分布，其线密度为，则它的质量M可用定积分表示为 。 (2分，难度：二级)23若为某函数的全微分，则 1 。(2分，难度：二级)24设为抛物线上自点到点的一段弧，则曲线积分的值为 . (2分，难度：二级)25、设，则. (2分，难度：二级)26是曲线，其周长为，则= (2分，难度：二级)27是顺时针方向的光滑封闭曲线，所围成的平面图型的面积为，则 (2分，难度：二级)28. (2分，难度：三级)29 (2分，难度：三级)30 (2分，难度：三级)31设是由锥面与半球面围成的空间区域，是的整个边界的外侧，则.(2分，难度：三级)32. 5 (2分，难度：二级)33 设为椭圆其周
11、长为，则 .(2分，难度：二级)三、计算题1，其中为圆周，直线及x轴在第一象限所围图形的边界。（5分，难度：二级）解：记线段方程，圆弧方程线段方程。 . 2则原式.4 52. 计算，其中l 为由点经椭圆的上半弧到点再沿直线回到的路径（4分，难度：二级） 解：由于l为封闭曲线，故原式可写成其中，由格林公式原式= . 2= = 43，其中为圆周的上半部分，的方向为逆时针。（5分，难度：二级）解：的参数方程为，从0变化到。 . 1故原式 . 3 . 54求抛物面被平面所割下的有界部分的面积。（5分，难度：二级）解：曲面的方程为，这里为在平面的投影区域。 . 1故所求面积 . 3 . 4 . 55、计
12、算,其中为上半圆周,沿顺时针方向.（7分，难度：二级）解：添加从原点到点的直线段后，闭曲线所围区域记为，利用格林公式解 . 2如图,由格林公式 .4故有.6所以.76，其中为球面在第一卦限部分的边界，当从球面外看时为顺时针。（5分，难度：二级）解：曲线由三段圆弧组成，设在平面内的圆弧的参数方程 ，从变化到0。 . 1于是 . 3由对称性即得 57，其中为平面 所围立体的表面的外侧。（6分，难度：二级）解：记为该表面在平面内的部分，为该表面在平面内的部分，为该表面在平面内的部分，为该表面在平面内的部分。的方程为，根据定向，我们有. 1同理， . 2 . 3的方程为，故， . 4由对称性可得， .
13、 5故 于是所求积分为 . 6或：利用高斯公式令， ， . 3 . 4 . 68计算曲面积分：，其中为曲面的外侧。（6分，难度：二级）解：利用高斯公式，令， ， ， . 3所求积分等于 . 4=8 . 69. 计算I=，其中所围立体的表面外侧（6分，难度：二级）解：利用高斯公式，令，,， ， . 3 . 4 = . 5 = . 610计算,其中是从点到点的直线段.（4分，难度：二级）解：直线段的方程是；化为参数方程得： 从1变到0， . 1 所以： . 3 .411. 计算曲线积分I= 其中是由点 至点 的上半圆周（5分，难度：二级）解：在x轴上连接点, 将扩充成封闭的半圆形 在线段上, .
14、1从而 又由Green公式得: . 3 . 512. 计算曲线积分其中是与 的交线沿着曲线的正向看是逆时针方向（5分，难度：二级）解：将写成参数方程: . 1 于是: = . 3 = . 5 另证：由斯托克斯公式得令，,= . 3上侧，则： . 513. 设曲面为在第一卦限部分，计算曲面的面积（4分，难度：二级）解：在平面的投影区域为： . 1= . 3 . 4 .5 14.计算曲线积分其中是沿着圆 从点到点的上半单位圆弧 （6分，难度：二级）解：设， 当时， . 2故：所求曲线积分在不包围原点的区域内与路径无关 则：= .4= =ln5-arctan2 .6 15.确定的值，使曲线积分在平面
15、上与路径无关。当起点为，终点为时，求此曲线积分的值。（5分，难度：二级）解：由已知，；由条件得 , 即 , . 2 . 516. 设曲面为球面被平面截出的顶部，计算I=（5分，难度：二级）解：的方程为：在平面的投影区域为： I= . 1= . 3 . 5 17. 计算I=，其中是，取下侧（6分，难度：二级）解：作辅助曲面，取上侧 . 1设为,所围闭区域 为平面区域 . 3 = = . 6 18. 为上半椭圆圆周，取顺时针方向，求（4分，难度：二级）解： . 2 . 3 . 4 19计算曲面积分，其中为锥面与所围的整个曲面的外侧。（5分，难度：二级）解： 由高斯公式，可得 . 2 . 4 . 5
16、 20计算曲线积分，其中是椭圆的正向。（5分，难度：二级）解：令, , 则。 . 2设所围成的闭区域为，则其面积。 从而由格林公式可得. . 4 . 5 21设为柱面在使得，的两个卦限内被平面及所截下部分的外侧，试计算。（6分，难度：二级）解：将分成与，其中：（取上侧），：（取下侧）， . 2与在面上的投影为，故 . 3 . 4 . 5 . 6 22计算曲面积分，其中是柱面介于的部分。（6分，难度：二级）解：设为在第一卦限的部分曲面。， . 2 。 . 4在面上的投影域为。故 . 6 23. 计算曲面积分，其中是旋转抛物面介于及之间部分的下侧。（7分，难度：二级）解：利用高斯公式，取且。取上侧
17、，与构成封闭的外侧曲面，所围的闭域为，对应的为：。 . 1 2. 4 . 6 . 7 24.计算曲线积分，其中是自点沿曲线到点的曲线段。（5分，难度：二级）解：, 2取小圆周充分小,取逆时针方向,则由Green公式可得: 525用高斯公式计算，其中柱面及平面围成封闭曲面的外侧。 （6分，难度：二级）解： 3 原式= 4 = 5 = = = 626计算曲面积分，其中是曲面被平面所截下的部分，取下側。 （8分，难度：三级）解：补,取上侧, 1, 而 3 5其中 , 7 8 27计算曲线积分，其中L是区域0x1，0y1的边界正向。 （4分，难度：二级）解：利用Green公式= 2= 428、计算曲面
18、积分，其中为平面方程在第一卦限的上侧。（5分，难度：二级）解： 2= 5或由对称性：， 2而， 4故。 529、计算，其中L是由点到的直线段。（4分，难度：二级）解：的方程 2 = 430、设可微，且曲线积分与路径无关。求。（7分，难度：三级）解： 2因该项积分与路径无关，所以。令， 4得微分方程，解得， 6代入条件得(C)=1 从而有 731、计算对面积的曲面积分 。（5分，难度：二级）解:曲面在XOY平面上的投影为 2原式= 3= = 532、计算曲面积分，其中是曲面在的部分的下侧。（6分，难度：二级）解：补充曲面且取上侧，又， 2由高斯公式 3= 4= 633. 计算曲线积分，其中L是以
19、(1,0)为中心，R为半径的圆周，取逆时针方向。（8分，难度：三级）解：令，则 () .2(1)当时，设圆内区域为(D)，此时，则由格林公式有 .4(2)当时，在圆内点(0,0)处，无意义，作曲线C：，且足够小，使整个含在曲线L中，取顺时针方向。在L与C所围的环型域内，由复连通区域的格林公式有 .834.计算，其中光滑曲面围成的的体积为V。（5分，难度：二级）解：由高斯公式 .3 .535计算，其中是曲面z=x2+y2在0z1范围内在第一卦限部分曲面的下侧。（7分，难度：二级）解法一: 曲面在平面和平面上的投影区域分别为。由轮换对称性有 。 3而 .5故 。 .7解法二: 用高斯公式计算补充曲面，取上侧；，取后侧；，取左侧。则与、构成一封闭曲面的外侧，设所围区域为，显然在和的曲面积分为0。 3则由高斯公式有.4。 736计算，其中为下半球面的下侧，为大于零的常数。（7分，难度：二级）解：取为面上的圆盘，方向取上侧，则， .3。 737、求，其中为圆周上从到点的一段弧. （5分，难度：二级）解：添加直线段，则原式 .2。（2分） .4 .538已知空间曲线：，计算曲线积分（5分，难度：二级）解：的参数方程 . 2则原式 .4= .539计算,其中为连续函数，是平面在第四卦限部分的上侧.（6分，难度：二级）解： . 2= . 4= . 640. 计算其中为圆柱面x2+y2=R2