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1、第六章 波函数和薛定谔方程,说明：,1，用p(r,t)可以表示出粒子的和特征。这是一个猜想，其有效性需要后面的推论来验证。,2，p(r,t)的物理意义，下一节介绍。,3，相关公式,4，将由p(r,t)得到量子力学的基本公式，建立量子力学的基础，进而确定粒子的全部微观性质。,问题：自由粒子的波函数p(r,t)如何得到力学量？,波函数p(r,t)对x求偏导，再乘以 -i ，则：,类似的方法，可得到py和pz。,波函数p(r,t)对t求偏导，再乘以 i ，则：,以上计算的共同点：计算过程,这些计算过程，称为算符，在数学中，也习惯称为算子，表示对函数的操作过程。,由于这些算符作用在波函数上，等于对应的
2、力学量乘以波函数，则：,对应力学量的算符。,其他算符：,利用经典的力学量公式，把其中的动量换成动量算符，即可获得所有的力学量算符。,例：动能的定义式：,动能算符：,则有：,说明：1，通过算符来表示力学量，是波函数假设的必然推论。,2，任一算符与其对应力学量的关系为：,第2节 波函数的统计解释,因为粒子具有波粒二象性引入波函数。波恩对波函数做出如下解释：,根据波函数的强度分布，可以确定粒子出现的几率。,解释：粒子的波函数p(r,t)，通常为复数，其强度为|p(r,t)|2=p*(r,t)p(r,t)，为非负实数。在空间体积元d=dxdydz中，找到粒子的概率与|p(r,t)|2成正比，与体积元d
3、成正比：,取比例系数k=1,单位体积内找到粒子的几率为：,w(r,t)几率密度函数。,第3节 态的迭加原理,态的迭加原理：如果1和2是体系的可能状态，那么它们的线性迭加=c11+c22也是体系的一个可能状态。,说明：1，波函数的迭加，是状态的迭加，不是强度的迭加。,2，线性迭加，要求对于波函数运算的方程是齐次方程。,归一化波函数：,在全空间任一粒子出现几率为1，则：,归一化条件,d为空间体积元，3维情况下d=dxdydz（与相体积元区别）。,满足此条件的波函数，称为归一化波函数。有些波函数，不能用上式归一化，例如前面介绍的,例：对于波函数(r,t)，如果有,则其归一化波函数为：,归一化常数,对
4、波函数的说明：,1：描述同一状态，可有多个波函数，包括归一化和未归一化波函数；,2：如(r,t)为描述某一状态的波函数，则(r,t)ei（其中为实常数）描述同一状态。因为：,其中 ei 称为相因子。,3：判断多个波函数是否描述同一状态，需要看他们相对几率是否相同。,波函数都归一化后，判断是否,练习：1，判断波函数(r,t)和 - i(r,t)是否描述同一状态？,2：设波函数为(x,y,z,t)，求在(x,x+dx)的范围内找到粒子的几率。,解：如(x,y,z,t)已归一化，则几率为：,如未归一化，则几率为：,3:已知t=0时自由粒子的波函数为：,p0为已知动量矢量，求(r,t)。,代入t=0时
5、的波函数，确定,第4节 薛定谔方程,问题：如何确定任意一个系统的波函数？,要找到一个作用在(r,t)上的普遍方程薛定谔方程。,考虑粒子在势场中运动，势能为V(r,t)，则能量表示为：,薛定谔方程：,对应的算符为：,薛定谔方程,对薛定谔方程的说明：,1，1926年最早由薛定谔提出；,3，上面只是凑出形式，并不是严格的推导得出；,2，是量子力学的另一个基本假设；,4，是量子力学的基础，相当于经典力学的基础定律F=ma。,5，多粒子情形：描述由N个粒子组成的系统。,多粒子系统的波函数,多粒子系统的薛定谔方程,例：若已知p(x,t)满足,试证明任意波函数,也满足,证明：,第5节 粒子流密度和粒子数守恒
6、定律,波函数为(r,t)，则粒子在dr出现的几率为：,则几率随时间的变化率为：,和*分别满足薛定谔方程：,其中令：,说明：,1，w(r,t)为物质在r处的密度，J(r,t)则是该处物质的流。,2，物质在空间任一处的粒子数守恒律,对比：质量守恒律,电荷守恒律,考虑到w的物理意义（w为物质在r处的密度）,则波函数必须满足（波函数的标准条件）：,1，连续性：不能有跃变，否则会导致w不连续；,2，有限性：w=|2才能为有限，满足几率密度的物理意义；,3，单值性：空间任一点r，只有一个w。则要求使w为单值。,第6节 定态薛定谔方程,考虑定态的情形，即：势能V(r,t)与时间t无关，可以写成V(r)的形式
7、，可以使用分离变量法简化薛定谔方程。设波函数(r,t)= (r)f(t)，分为分别只和r，t有关的部分，则：,把只含r，t的部分分别放在等式两边，则：,只含有t的部分：,只含有r的部分：,定态薛定谔方程,说明：1，该方程中的(r)表示粒子能量为E的态。能量E不变的态，称为定态。,2，定态时粒子的宏观状态（几率密度w，几率流密度J）不随时间改变。,定义：哈密顿算符,则定态薛定谔方程可以写成：,称为本征值或特征值，称为本征函数或特征函数。由此：定态薛定谔方程归结为一个本征值问题。,数学上，如果算符作用在函数上，等于某常数乘以该函数，即：,本征方程，或特征方程，或固有方程。,第7节 一维无限深势阱,
8、本节目标：1，解最简单的定态薛定谔方程；2，理解系统能量不连续化，即量子化现象；3，进一步理解波函数概念。,考虑一维空间中运动的粒子，质量为，其势能满足：,一维无限深势阱,写出薛定谔方程：,阱内：,阱外：,经分析知，在阱外，只有=0，薛定谔方程才成立，则只需求解阱内方程。,引入符号：,阱内薛定谔方程可简写为：,二阶常系数常微分方程，其形式解为：,考虑到波函数的连续性，在x= a 处，=0，即：,两式相加，得：,两式相减，得：,A,B不能同时等于0，否则得到平庸解=0（无物理意义）,则：,从而得到：,代入,阱中的粒子，并不能取任意能量，只能取分立的En值；,而波函数：,对应于 B=0：,对应于
9、A=0：,合并为同一个式子：,说明：,1，其中 A 称为归一化常数。,2，束缚态：当x时，n(x)0，这种波函数描写的状态称为束缚态。一般来说，束缚态所属的能级是分立的。,3，基态：当n=1，给出能量En最低的态称为基态（对于谐振子，n=0给出基态，详见下一节。）,4，考虑波函数中含有t的部分，则一维无限深势阱的波函数为：,相当于相对传播的平面波（普通物理知识，可迭加成驻波）。,一维无限深势阱的能量本征函数（左）和粒子位置几率密度分布（右）。,第8节 线性谐振子,一维定态的另一个典型例子：1，在研究固体热容量问题中有重要的作用；2，许多实际体系可以简化成谐振子的运动。,势能：,圆频率：,用半经
10、典的方法，求得能级为：,量子力学的结果：,下面推导此公式,根据势能，写出薛定谔方程：,方便起见，引入：,原方程可以改写成：,为二阶变系数常微分方程，不易直接求解。,先看看特殊情况：当时，则：,此方程的形式解为：,则原方程的解形式上可试探性设为：,则现在的任务是确定未知函数H()，把形式解代入原方程，得：,仍然为二阶变系数常微分方程，可用幂级数法求解。令：,则：,代入原方程，为：,由于的任意性，则对应各项的系数应为0，即：,则：如已知a0，a1，则可求出任意一个av，由此确定函数H()，进而求出()。在未考虑归一化的情况下，可以设a0，a1为两个任意常数。,另外，（可以证明，此处略）当时（即x）
11、，如果H()为无穷级数，必然有()，为发散的，与波函数的有限性条件相矛盾。则要求H()为有限项的多项式，即：,考虑递推公式,只有当 2 - + 1 = 0 时，才能满足H()为有限项的条件。从而得到符合波函数有限性条件的解。,设对于H()，在 an 0，an+2=0 ( n 0)的条件下，必然有：,则谐振子的能量为：,对应每个能级En的束缚态的解为：,说明：,1，上面的Nn是归一化常数。,2，求解了定态薛定谔方程满足波函数为有限性条件的解。对应每个波函数（量子态），具有确定的能量。,3，对于本征值问题：,本征值：,本征函数：,4，H()称为厄米多项式，为有限项的幂级数，习惯取：,更一般地：,线性谐振子的前六个本征函数,线性谐振子的几率密度,n=10时线性谐振子的几率密度,1，证明在定态中，几率密度与时间无关。,2，微观粒子在大小、方向都不变的力场 F 中运动。分别列出其薛定谔方程和定态薛定谔方程。,解：设微观粒子的位置矢量为 r，设在 r = 0 时粒子势能为0，则在任意位置时其势能为：U(r) = - F r,则哈密顿算符为：,3，证明在一维定态情形几率流密度J(x)等于常数，即有：,4，一维谐振子带电荷e，放在均匀电场中，求在电场作用下，谐振子的能级与波函数。,解：无电荷时,解得：,即：,