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1、等比数列前几项和公式的教学湖北省通城县第一中学沈振华吴雪梅一、情境引入（利用投影仪投影）国王与棋盘的故事：传说国际象棋是印度舍罕王12的宰相西萨班发明的，他把这个有趣的娱乐品进贡给国王，国王对这一奇妙的发明异常喜爱，决定让宰相自己要求得到什么赏赐。西萨班并没有要求任何金银财宝，他只是指着面前的棋盘奏道：“陛下，就请您赏给我一些麦子吧，它们只要这样放在棋盘里就行了：第一个格里放一颗，第二个格子里放两颗，第三个格子里放四颗，以后每一格里都比前一个格里的麦粒增加一倍。圣明的王啊，只要把这样摆满棋盘上全部六十四格的麦粒都赏给您的仆人，他就心满意足了。”国王听后，心中暗暗欢喜：“这个傻瓜的胃口实在不算大
2、啊。”他立即慷慨地应允道：“爱卿，你当然会如愿以偿的。”那么国王要给宰相多少麦粒呢？二、探索研究问题1、求国王应给西萨班麦粒的总数：1222+263。这是一个“求等比数列前n项和”的问题-引出课题。问题2、对于等比数列a1，a1q，a1q2，a1qn-1，设它的前n项的和为Sn，记Sna1a1qa1q2a1qn-1，如何求和呢？（以足够时间鼓励学生对问题自由思考，积极寻求解决办法）生：构造一个关于Sn的方程Sna1a1qa1q2a1qn-1a1q(a1a1qa1q2a1qn-1)- a1qn a1+qSn- a1qn所以（1-q）Sn= a1(1- qn),则Sn。师:（纠错）能否在等式两边同
3、除以（1-q）？生：应分q1和q=1讨论。当q1时，Sn=;当q=1时，Snna1。师：这是用方程思想推导出了等比数列an的前n项和公式。（板书）；,。q =1q1 （1）如果已知则当q时Sn的公式如何表示？(学生演算、口答、教师板书)，。 （2）师：请同学们解决开头的问题。生：12222632641（粒）。这是一个具有20位的大数，如果每升小麦按150000粒计算，大约140万亿升，按目前产量计算，是全世界2003年的产量的总和。生：老师，我还有一个证法。师：你是如何证明的？（学生口述，教师板书）生：由等比数列的定义，根据等比数列的性质，有，即（1-q）Sn= a1- anq。当q时， Sn
4、；当q=1时，Sn=na1。师：非常漂亮，这位同学从等比数列的定义出发，利用等比性质，导出了公式。师：还有没有其它的推导方法？（板书）Sn=a1+a1q+a1qn-2+ a1qn-1，（1）观察等号右边，若每其一项乘以公比q，就得到它后面的相邻一项，能否设法消去一些项？同学们讨论一下。（学生口述，教师板书）生：在（1）的两边乘以q，得qSn=a1q+a1q2+a1qn-1+a1qn 。 (2)-得（1-q）Sn=a1- a1qn,这就是前面的求和公式。师：这种求和方法称为“错位相减法”，错位相减的条件是什么？如何实行错位相减？生：错位相减的条件是求一个等差数列与一个等比数列对应项的积所得数列的
5、前n项和，每一项乘以公比才能错位相减。师：等比数列的前n项和公式（1）和（2）及通项公式an=a1qn-1是表示五个量a1、q、n、an、Sn之间关系的解析式，可知三求二。问题3、已知一个等比数列的前10项和为10，前20项和为30，求其前30项的和。师：要求S30,需知a1,q,而已知条件为S10和S20，能否进一步挖掘题目的条件，使已知与未知沟通起来?生甲：S10 （1）S20（2）（2）(1)得1q10=3,q10=2。 （3）(3)代入（1）得，S30师：这位同学处理问题很巧妙。他没有分别求得a1与q的值，而改求q10与的值，这使得解题简单些。请问，这样解这个题目是否有问题？生乙：我认
6、为（1）式就有问题，对q没有说明清楚。因为S20=30，所以q。三、小结升华（引导学生反思后，教师投影小结）这节课我们从以有的知识出发，用多种方法（方程思想、等比性质、错位相减法）推导出了等比数列的前n项和公式，并在应用中加深了对公式的认识。如：已知a1、n、q则选择,。,q1q =1,Sn=如：已知a1、q、an则选择。，q1Sn 对含字母的题目一般要分别考虑q和q=1两种情况，不能附加条件统一按去解。由等比数列的通项公式和前几项公式，从、q、n、an、Sn五个量中可知三求二。四、案例分析本节课教学任务是使学生通过等比数列前n项和公式的学习完善其认知结构，发展数学思维能力。教案设计不是停留在介绍这一公式及训练公式的应用，而是注意充分揭示公式的发现、论证的思维过程。通过一个有趣的故事，激发学生学习的内驱力，把传授知识的过程中变为学生主动探究知识的过程。在教学活动中，以问题为中心，学生在教师指导下发现问题提出解决方法，并通过自己的活动找到答案，从而提高课堂教学效率。在探究、推导公式方面，教师发挥其主导作用，通过启发引导学生尝试各种不同方法，运用创造性的思维去获得亲身实践的知识，从而培养学生善于发现问题、分析问题和解决问题的能力。5