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1、习题 62.7 计算Li2+1=1(y200 +y 210)和 2=1(y 200 +y 211 +y 211) 所描述状态的能量E、23角动量L2的平均值Z 222解题要求：熟悉类氢离子的能级公式：En= -R,角动量平方 L jnlm= l(l +1) jnlm和求平n2= i2n均值公式* ，其中Y =ciji (已归一化),。A= YAYdciAiAji= Aijii =1解：对于类氢离子， y200,y210,y211,y211等轨道的波函数均满足正交归一，且主量子数相同，能量简并，其能级依公式 E= -RZ 2可表示为 E= -9 R 。nn2n=24则对于波函数 Y1和Y2 有：
2、 * dt =1(y +y ) * (y +y )dt =1211200210200210 * dt =1(y +y +y) * (y +y +y)dt =1322200211211200211211即这两个波函数均已归一化。（注：如波函数未归一化，则需要进行归一化！）这两个波函数所描述状态的能量分别为：19E1 = 1 *H1dt =2(En=2 + En =2 ) = En=2 = -4RE2 = 192 *H 2dt =(En=2 + En=2 + En =2 ) = En=2= -R34222利用 L jnlm = l(l +1)jnlm 可知各轨道的 L本征值分别为：2= 0,22（
3、m=0,+1,-1）L200L21m= 2*i2因此由求平均值公式 A= YAYd =ciAi 可知：212122L=1*L 1d =2(0 + 2)=221224 2L2= 2*L 2 d = (0 + 2 + 2 ) =332.11 证明 l =1的 Qlm (q ) 函数相互正交。证明： l =1 时，m=0 or 1，有如下两个函数Q (q ) =6cosq ， Q(q ) =3sinq102112 0p Q11 (q )Q10 (q )dq = 3 42 0p cosq sinqdq = 3 82 0p sin 2qdq = 0即l=1时两个lm()函数相互正交。2.12 试证明球谐
4、函数 Y10、Y21、Y32 是方程 - i j Ylm (q,f)= mYlm (q,f)的本征函数。证明：(1)Y =3cosq104p-iY= -i(3cosq ) = 0 = 0 Yjj4p1010即 Y10 是方程 - i j Ylm (q,f)= mYlm (q,f)的本征函数，对应的本征值 m 为 0.(2) Y21 = 815p sin q cos qeif ,则有-iY= -i( -15sin q cos q e if ) = i 215sin q cos q e if = -15sin q cos qe if = Yj8pj 218p8p21因而 Y21 是方程 - i j Ylm (q,f)= mYlm (q,f)的本征函数，本征值为 1.(3) Y32 = 32105p sin 2 q cos qei 2f ， 有则-i j Y32 = -i j ( 32105p sin 2 q cos qe i f2)= -2i 2105sin 2 q cos q e i 2f = 2105sin 2 q cos qe i 2f = 2Y32p32p32所以方程 - i j Ylm (q,f)= mYlm (q,f)的本征函数，本征值为 2.