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1、第一章极限与连续单调有界必有极限极限存在准则夹逼定理limsin x= 1x0x1两类重要极限lim(1 +)x = exx有限个无穷小的和,积仍是无穷小无穷小 性质与无穷小与有界量的积仍是无穷小等k 阶)无穷大 比较 (高低同阶,阶,阶,价,1常用等价无穷小ex 1 x sin x x tan x x ln(1 + x) x1 cos x x22当 x 0,ax 1 x ln aarcsin x xarctan x x(1 + x) 1 xtan x sin x x322(1) 消去零因子法; (2) 同除最高次幂; (3) 通分;(4) 同乘共轭因式; (5) 利用无穷小运算性质函 (6)
2、 复合函数求极限法则数 (7) 利用左、右极限求分段函数极限;极(8) 利用夹逼定理;限的(9) 利用两类重要极限;求(10) 利用等价无穷小代换;法(11) 利用连续函数的性质(代入法);(12) 利用洛必达法则.洛必达法则+等价无穷小代换洛必达法则+变上限积分求导3例lim1 + tan x 1 + sin xetan x esin xx0= limtan x sin x1 + sin x )(etan x esin x )x0 ( 1 + tan x +=1limtan x sin x=1limtan x sin xesin x (etan x sin x 1)2 x0 etan x e
3、sin x2 x0当 x 0,etan xsin x 1 tan x sin x,故 原式 =1limtan x sin xesin x (etan x sin x 1)2 x0=1limtan x sin x=1esin x(tan x sin x)22 x04两对重要的单侧极限11(a 1) lim a x = 0,lim a x = ,x0x0+lim arctan1= ,lim arctan1=.x2x0x0+x 2一类需要注意的极限limx2 + 1= 1, limx2 + 1= 1.xxxx + 5lim f ( x) = f ( x0 )xx0连续的定义左连续、右连续第一类间断
4、(可去型, 跳跃间断点的分类型)第二类间断 (无穷型, 振荡型)最大,最小值定理闭区间连续函数的性质有界性,零点定理介值定理61例 求 f ( x) =的间断点,并指出其类型.1 ex1 x解当时 函数无定义, 是函数的间断点.x= 0, x = 1,1x = 0,由于 lim f ( x) = lim= ,xx0x01 e 1 x所以 x = 0 是函数的第二类间断点, 且是无穷型.x = 1,由于 lim f ( x) = lim1= 0xx 1x11 e 1 x + lim f ( x) = lim1= 1xx 1+x1+ 1 e1 x所以 x = 1是函数的第一类间断点, 且是跳跃型.
5、7例 求 f ( x) =(1 + x) sin x的间断点,并判别其类型.x( x + 1)( x 1)解 x = 1, x = 1, x = 0是间断点,x = 1,lim(1 + x)sin x=1sin 1 ,x( x + 1)(x 1)2x 1x = 1为第一类可去间断点x = 1,lim f ( x) = ,x 1x = 1为第二类无穷间断点x = 0,lim f ( x) = 1,lim f ( x) = 1.x 0+x 0x = 0为第一类跳跃间断点81例 求y =2x 1+ sin( x 1) sin1的间断点,1x 12 x + 1并判断其类型.解 : 可知 x = 0，x
6、 = 1是可能的间断点.(1) 在x = 0处lim y = 1 + sin2 (1)，lim y = 1 + sin2 (1)x0x0+因在x = 0处的左右极限都存在, 但不相等所以x = 0为函数的第一类间断点,且是跳跃间断点.9(2) 在x = 1处21 11lim y = limx+ sin( x 1) sin =11x 1x1x1+ 132 x即在x = 1处函数的左右极限都存在且相等所以x = 1是函数的第一类间断点,且是可去间断点.10a (1 cos x)例 设函数 f ( x) =x 21 ,ln( b + x2 ) ,在x = 0连续,则a=2 ,b=e .提示: f (
7、0 ) = lima (1 cos x)=ax0x 22f (0+ ) = lim ln(b + x2 ) = ln bx0+x 0a= 1 = ln b1 cos x 1x 222112sin1, x 0x例 讨论 f ( x) = x0,x = 0在x = 0处的连续性与可导性.ax,x 0e处处可导,那么例 如果 f ( x) =()b(1 x2 ), x 0( A) a = b = 1;( B)a = 2, b = 1;(C )a = 1, b = 0;( D)a = 0, b = 1.12第二章导数与微分左导数f( x0 ), 右导数 f+( x0 )定义导数几何意义 切线斜率 k
8、= f ( x ) 0求微分 dy = f ( x0 )dx微分可导与微分的关系可导 可微13按定义求导复合函数求导求导数方法隐函数, 参数方程求导对数法求导分段函数在分段点求导1高阶导数(sin x,cos x,e x ,!)1 x14x = (t )求导数：参数方程y = (t )dydy (t )=dtdxdx(t )dtdy (t )dyd()d()(t )d2 yd()dxdxdtdt=dx 2dxdxdxdtdt15第三章微分中值定理及其应用罗尔定理拉格朗日中值定理中值定理柯西中值定理泰勒定理 (泰勒公式 ,麦克劳林公式)0洛必达法则 (计算, , 1 等未定型极限 )0证明不等式
9、中值定理的应用讨论方程根的存在与个数16函数的单调性 (利用导数判断)驻点函 函数的极值 极值存在的必要条件数极值存在的充分条件性函数的凹凸性 (拐凹凸性和判别法)态点,函数的最大最小值函数的渐近线 (水垂直)平,17带Peano型余项的泰勒公式设 f ( x) 在含 x0 的区间(a, b)内有 n 阶连续导数, 则对于 x (a, b), 有f ( x) = f ( x0 ) + f ( x0 )( x x0 ) +f ( x0 )( x x0 )22+!+f ( n) ( x0)( x x0 )n+ o(x x0 )n .218常用函数的麦克劳林公式sin x = x x3+x5!+ (
10、1)nx2n+1+ o( x2n+2 )3!5!(2n + 1)!cos x = 1x2+x4x6+!+ (1)nx2n+ o( x2n )2!4!6!(2n)!ln(1 + x) = x x2+x3!+ (1)nxn+1+ o( xn+1 )23n + 1191 = 1 + x + x2 +!+ xn + o( xn )1 x(1 + x)m = 1 + mx + m(m 1) x2 +!2!+ m(m 1)!(m n + 1) xn + o( xn ) n!20洛必达法则基本类型：0型0变型 :型, 0 , ,00 , 1 , 0型法则：f ( x)f ( x)lim g( x) =lim
11、 g( x) .注 (1) 当上式右端极限存在时, 才能用此法则,(2) 在求极限过程中,可能要多次使用此法则,(3) 在使用中, 要进行适当的化简,(4) 在使用中, 注意和其它求极限方法相结合.21定理(第一充分条设f ( x)在邻域内件)U( x0 ) ,当 x 0; 而当 x x0 ,(a)有f ( x) 0, 则 f ( x)在x0处取极大值.(b) 当 x x0 , 有 f ( x) x0 , 有f ( x) 0, 则 f ( x)在x0处取极小值.(c) 若 f ( x)在邻域 U( x0 )内 符号相同, 则f ( x)在x0处无极值.22定理(第二充分条件)设 f ( x)在
12、 x0 处具有二阶导数, 且 f ( x0 ) = 0, f ( x0 ) 0, 则(a) 当 f ( x0 ) 0, f ( x)在 x0 处取得极小值.23求极值的步骤:a. 求导数 f ( x);b. 求驻点(方程 f ( x) = 0 的根) 及 f ( x)不存在的点.c. 检查 f ( x) 在b中所有点左右的正负号,或 f ( x) 在该点的符号, 判断极值点.d. 求极值.24渐近线的求法(a) 水平渐近线 若函数 f ( x)满足limf ( x) = a,x( , + )则函数 f ( x)的曲线有水平渐近线 y = a. (b) 垂直渐近线 若函数 f ( x)满足lim
13、f ( x) = ,xx0 ( x0 , x0+ )则函数 f ( x)的曲线有垂直渐近线 x = x0 .25计算题21. 设 y = f ( x) =1 + x2ax + bx = 1处可导, 确定 a, b.2. limx x2 ln(1 +1)xx3.求极限(1) lime xsin x x(1 + x)x 3x0x 1, 已知函数在x 11(2) lim (e x 1 x)ln xx0+26计算题解答1.由连续性, 有 lim f ( x) = lim f ( x) = f (1)x1x1+a + b = 1(1)由可导性, 有 limf ( x) f (1)= limf ( x)
14、f (1)x 1x1x 1x1+ax + b 121 lim= lim1 + x2x 1x 1x1+x12 1 4 x= lima = lim1 + x 2= 1x1x 1x1 (1 + x 2 )227a = 1由（）2.1 b =111 x ln(1 +)22. limx xln(1+)= limxx1xx1x11 ln(1 + t )令 t =，则原式 = limt1xt 0t1 t ln(1 + t )= lim= lim1 + tt 22tt 0t 0= lim1 + t 1=12t(1 + t )2t 0283. 解(1) :原式 = limx0= limx0= limx0= li
15、mx01ex sin x + ex cos x 1 2x3x2ex (sin x + cos x) + ex (cos x sin x) 26 xex cos x 13 x ex sin x + ex cos x3=329解法2 :原式 = limex (sin x x)ex 1 x+x3x2x0= lim ex limcos x 1+ limex 13x22xx0x0x0111= +=623301(2) lim (e x 1 x)ln x(00 )x0+e x 1ln( ex1 x )lime x 1 xlimx0+1ln x= ex0+= exlimx(e x 1)lime x 1+ xe
16、 x1+ limxe x= ex0+ e x1 x = ex0+e x 1= e x0+ e x 1 x 0时，ex 1 x1+ lim e x上式 = ex0+= e231第四章不定积分基本概念 (原函数,不定积分 f ( x)dx )基本性质(与求导, 微分运算间关系;线性可加性)积 分法第一类换元(凑微分法)换元积分法第二类换元(三角代换 ,倒代换)分部积分法有理函数的积分 四种基本形式的积分可化为有理函数的积分32x2 + 1分子分母同除以 x2例dxx4 + 1111 +d( x )x 2解 原式=xdx = 112x2+( x )+ 2xx 2x 11x=arctan+ C221x
17、2 1+ C=arctan22 x331dx =1( x2 + 1) ( x2 1)dx例 x4 + 12x4 + 11x +121x 11lnxx+ C=2 2 arctan222 2x +1+2( x 340)x例求max1,xdx. x,x 1 f ( x)在(,+ )上连续, 则必存在原函数 F( x),1x2+ C1 , x 12又F( x)须处处连续，有35lim ( x + C2 ) = lim (1x 2+ C1 ), 即 1 + C= 1+ C,2212x1+x1lim (1x 2 + C3 ) = lim ( x + C2 ),即1+ C= 1 + C,2322x1+x1联立并令 C1 = C,可得 C2 =1C , C3 = 1 + C .12x2+ C , x 1236第五章定积分定积分的定义 几何意义基本性质(线性,