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1、5.2 线性微分方程组的一般理论,如果 ，则（5.14）称为非齐线性的。,如果 ，则（5.14）称为齐线性的，即称： 为齐线性的，通常（5.15）称为对应于（5.14)的齐线性方程组。,5.2.1 齐线性微分方程组,主要讨论齐线性微分方程组（5.15）所有解的集合的代数结构。 前提：A(t)在区间 上是连续的。,1、定理2（叠加原理）如果 和 是（5.15）的解，则它们的线性组合 也是（ 5.15 ）的解，这里 是任意常数。,（5.15）的所有解构成一个线性空间，那么这个空间的维数是多少？于是有类似的概念：向量函数组线性相关（无关）性，以及向量函数组的伏朗斯基行列式。,一、基本定理,分析：,2
2、、向量函数的相关性,考虑定义在区间 上的向量函 ，如果存在不全为零的常数 ，使得恒等式,对于所有 都成立，则称这些向量函数是线性相关的，否则就称这些向量函数在所给区间上线性无关的。,3、向量函数的伏朗斯基（Wronsky）行列式,由定义在区间 上的n个向量函数 所作成的如下行列式称为伏朗斯基行列式，即,其中，,构造一个齐次线性代数方程组，由代数方程解的理论得证。,分析：,4、定理3 若向量函数 在区间 上 线性相关，则在 上它们的伏朗斯基(Wronsky) 行列式为零，即有：,6、定理5 齐线性方程组（5.15）一定存在n个线性无 关的解。,分析：反证方法。,分析：构造方法。,5、定理4 如果
3、方程(5.15)的解 在区间 上线性无关，则 在 内的任何点上都不等于零，即有：,推论1：方程（5.15）的线性无关解的最大个数等于 因此有：齐线性方程组的所有解构成一个 维线性空间,定义：方程（5.15）的一组 个线性无关解称为方程的一个基本解组，显然，基本解组不唯一,7、定理6（通解结构定理） 如果 是方程（5.15）的 个线性无关的解， 则方程（5.15）的任一解均可表为： 其中 是相应的确定常数。,推论2：如果已知（5.15）的k个线性无关解，则（5.15）可以降低为含n-k个未知函数的线性微分方程组。特别地，如果已知（5.15）的n1个线性无关解，则（5.15）的通解即可得到。,(
4、阶线性微分方程通解的结构定理),二、基本概念,1、解矩阵,2、基解矩阵,如果一个 矩阵的每一列在区间 上都是线性无关的解矩阵称为在区间 上（5.15）的基解矩阵。,如果一个 矩阵的每一列都是（5.15）的解，则称这个矩阵为（5.15）的解矩阵。,3、定理（通解的结构定理）,为了寻求齐线性微分方程组（5.15）的任一解，需要寻求一个基解矩阵。那么，怎样判定一个解矩阵是基解矩阵？,定理1* (5.15)一定存在一个基解矩阵， 如果 是的任一解，那么,注意：行列式恒等于零的矩阵的列向量未必是线性相关的。 例如：,定理2* （5.15）的一个解矩阵是基解矩阵的充要条件是 而且，如果对于某一个 ，则 （
5、表示矩阵 的行列式）,无穷与有限的转换！,线性无关组不一定能构成解！,2、计算解矩阵的行列式值，并进行判断。,解（步骤）：,1、首先验证是解矩阵：即把矩阵的每一列作为一个向量验证是否是解？,推论1* 如果是（5.15）在区间 上的一个基解矩阵，是 非奇异常数矩阵，那么, 也是在区间 上的一个基解矩阵,这说明：基解矩阵的表示形式不是唯一的,验证方法证明。,推论2* 如果 ， 在区间 上是 的两个基解矩阵，那么,存在一个非奇异 常数矩阵 ，使得在区间 上，有,这说明基解矩阵的相似性,构造方法证明：构造常数矩阵C.,5.2.2、非齐线性微分方程组,目的：利用（5.15)解的结构来讨论（5.14)解的
6、结构.,1、非齐线性微分方程组解的性质,2、非齐线性微分方程组解的结构,3、应用,1、非齐线性微分方程组解的性质,性质1 如果 是(5.14)的解， 是对应的齐线性微 分方程组(5.15)的解,则 是(5.14)的解 .,性质2 如果 , 是（5.14）的解，则 是（5.15）的解 .,基本思想：代入式验证。,基本思想：代入式验证。,2、非齐线性微分方程组解的结构,定理7 设 是（5.15）的基解矩阵， 是（5.14）的某一解，则（5.14）的任一解 都可表示为 这里 是确定的常数列向量.,基本思想：代入式验证？利用性质2。,由定理7得知，为了寻求（5.14)的任一解，只要知道（5.14)的一
7、个解和它对应的齐线性微分方程组（5.15)的基解矩阵。那么,如何求它的一个特解？应用前面介绍的常数变易方法求（5.14)的一个解。,注 释,定理 设 是（5.15）的基解矩阵， 则向量函数 是（5.14）的解，且满足初始条件： .,分析定理7和定理8，非齐线性微分方程组（5.14）的满足初始条件 的解 可由下面公式给出,公式（5.26）或(5.27)称为非齐线性微分方程组（5.14）的常数变易法。,例2：试求初值问题 的解。,解：1、因为 是对应齐线性方程组的基解矩阵；,2、由定理8，求满足初始条件 的解,3、求题设初始条件 的解（利用解的结构定理）.,原方程的解为,求非齐次线性微分方程组求解
8、基本步骤：,1、求对应齐次线性微分方程组的基解矩阵；,2、求初始条件为0的解；,3、再求初始条件的解；,理论基础：定理7和定理8（解的结构定理。）,注：n阶线性微分方程的求解（推论3）； 是否已完全解决了非齐次线性微分方程组的求解问题（没有？）,3、应用（n阶非线性微分方程解的结构）,(1)、推论3 如果 是区间 上的连续函数， 是区间 上齐线性方程 的基本解组，那么，非齐线性方程,的满足初始条件,的解由下面公式给出,其通解为：,这里 是任意常数,基本方法：常数变易法,（2） 特殊情况，n=2时的常数变易方法的公式,其通解为：,这里 是任意常数,例3：试求方程 的一个解。,解：第一步:求对应齐线性方程的基本解组； 第二步:求特解； 第三步:求任一解。,作业：p216-217 1,3,6,7,8,9,10(1,2),