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1、杨辉杨辉，字谦光，钱塘(今杭州)人，中国古代数学家和数学教育家，生平履历不详。由现存文献可推知，杨辉担任过南宋地方行政官员，为政清廉，足迹遍及苏杭一带。(一)主要著述杨辉一生留下了大量的著述，它们是：详解九章算法12卷(1261年)，日用算法2卷(1262年)，乘除通变本末3卷(1274年，第3卷与他人合编)，田亩比类乘除捷法2卷(1275年)，续古摘奇算法2卷(1275年，与他人合编)，其中后三种为杨辉后期所著，一般称之为杨辉算法。详解九章算法现传本已非全帙，编排也有错乱。从其序言可知，该书乃取魏刘微注、唐李淳风等注释、北宋贾宪细草的九章算术中的80问进行详解。在九章算术9卷的基础上，又增加
2、了3卷，一卷是图，一卷是讲乘除算法的，居九章之前；一卷是纂类，居书末今卷首图、卷l乘除，卷2方田、卷3粟米、卷4衰分的衰分、反衰诸题、卷6商功的诸同功问题已佚。卷4衰分下半卷、卷5少广存永乐大典残卷中，其余存宜稼堂丛书中。从残本的体例看，该书对九章算术的详解可分为：一、解题。内容为解释名词术语、题目含义、文字校勘以及对题目的评论等方面。二、明法、草。在编排上，杨辉采用大字将贾宪的法、草与自己的详解明确区分出来。三、比类。选取与九章算术中题目算法相同或类似的问题作对照分析。四、续释注。在前人基础上，对九章算术中的80问进一步作注释。杨辉的“纂类”，突破九章算术的分类格局，按照解法的性质，重新分为
3、乘除、分率、合率、互换、衰分、叠积、盈不足、方程、勾股九类。日用算法，原书不传，仅有几个题目留传下来。从算法杂录所引杨辉自序可知该书内容梗概：“以乘除加减为法，秤斗尺田为问，编诗括十三首，立图草六十六问。用法必载源流，命题须责实有，分上下卷。”该书无疑是一本通俗的实用算书。乘除通变本末三卷，皆各有题，在总结民间对等算乘除法的改进上作出了重大贡献。上卷叫算法通变本末，首先提出“习算纲目”，是数学教育史的重要文献，又论乘除算法；中卷叫乘除通变算宝，论以加减代乘除、求一、九归诸术；下卷叫法算取用本末，是对中卷的注解。田亩比类乘除捷法，其上卷内容是详解九章算法方田章的延展，所选例子非常贴近实际。下卷主
4、要是对刘益工作的引述。杨辉在田亩比类乘除捷法序中称“中山刘先生作议古根源。撰成直田演段百间，信知田体变化无穷，引用带从开方正负损益之法，前古之所未闻也。作术逾远，罔究本源，非探喷索隐而莫能知之。辉择可作关键题问者重为详悉著述，推广刘君垂训之意。”田亩比类乘除捷法卷下征引了议古根源22个问题，主要是二次方程和四次方程的解法。比如，该书的第9题，实际上就是解方程一2十60864。其两种解法如下：图1表示原方程，图2表示方程（101）260（101）864，其中101。上商第1位得数12。图3表示60（101）101（101）864，将101（101）即400加到积上得864（2020）1264，减
5、60102余实64。图4表示减根变换后的方程22（6040）260；上商根第二位得数24。图5表示关系60244264。将442即444加到积64上得240，减去602即604，余为零，故24。此法因每次都要增加积故称为益积术。此法每次都要减从方，故称为减从术。益积术不是增乘开方法，而减从术与增乘开方法比较接近。祖冲之缀术失传之后，在中国数学史上，是刘益第一次涉及到解负系数方程的问题，所以杨辉说他“突冠前古”。田亩比类乘除捷法还有“五曹刊误”三题，对五曹算经的题问不清、法草公式不合等进行批评。例如，指出五曹中求正方形田地面积时用的公式“方五斜七”的不准确以及批评其求四不等田公式的错误。续古摘奇
6、算法上卷首先列出20个纵横图，即幻方。其中第一个为河图，第二个为洛书，其次，四行、五行、六行、七行、八行幻方各两个，九行、十行幻方各一个，最后有“聚五”“聚六”：聚八”“攒九”“八阵”“连环”等图。有一些图有文字说明，但每一个图都有构造方法，使图中各自然数“多寡相资，邻壁相兼”凑成相等的和数。卷下评说海岛也有极高的科学价值。杨辉著作大都注意应用算术，浅近易晓。其著作还广泛征引数学典籍和当时的算书，中国古代数学的一些杰出成果，比如刘益的“正负开方术”，贾宪的“开方作法本源图”“增乘开方法，”幸得杨辉引用，否则，今天将不复为我们知晓。(二)主要研究成果杨辉的数学研究与数学教育工作之重点在于改进筹算
7、乘除计算技术，总结各种乘除捷算法，这是由当时的社会状况决定的。唐代中期以后，社会经济得到较大发展，手工业和商业交易都具有相当的规模，因而，人们在生产、生活中需要数学计算的机会，较前大大增加，这种情况迫切要求数学家们为人们提供便于掌握、快捷准确的计算方法。为适应社会对数学的这种需求，中晚唐时期出现了一些实用的算术书籍。但是，这些书籍除了韩延算术，被宋人误认为夏侯阳算经而刊刻流传到现在外，都已失传。韩延算术大约编写于公元770年前后，书中介绍了很多乘除捷法的例子。比如，某数乘以42可以化为某数乘以6，再乘以7；某数除以12可以化为某数除以2，再除以6。对于更复杂的问题可同样处理。通过将乘数、除数分
8、解为一位数，可以使运算在一行内实现，简化了运算，提高了速度。韩延还介绍了其他一些简捷算法。比如“身外添加四”、“隔位加二”。北京科学家沈括也总结了增成、重因等捷算法。杨辉生活在南宋商业发达的苏杭一带，进一步发展了乘除捷算法。他说：“乘除者本钩深致远之法。指南算法以加减、九归、求一旁求捷径，学者岂容不晓，宜兼而用之。”在前人的基础上，他提出了“相乘六法”：一曰“单因”，即乘数为一位数的乘法；二曰“重因“，即乘数可分解为两个一位数的乘积的乘法；三曰“身前因”，即乘数末位为一的两位数乘法，比如2572125720十257，实际上，身前因就是通过乘法分配律将多位数乘法化为一位数乘法和加法来完成。四曰相
9、乘，即通常的乘法；五曰“重乘”，就是乘数可分解为两因数的积，作两次相乘；六曰“损乘”，是一种以减代乘法，比如，当乘数为9、8、7时，可以10倍被乘数中，减去被乘数的、二、三倍。杨辉还进一步发展了唐宋相传的求一算法，总结出了“乘算加法五术”、“除算减法四术”。求一实际上就是通过倍、折、因将乘除数首位化为一，从而用加减代乘除。杨辉的“乘算加算加法五术”，即“加一位”、“加二位”、“重加”、“加隔位”、“连身加”。乘数为11至19的，用加一位；乘数为l0l至199的，用加二位法；乘数可分为两因数的积，且可用加一或加二时，称为重加；乘数为101至l09时，用隔位加；乘数为21至29、20l至299时，
10、用连身加。例如，34256的计算，用现代符号写出，便是：34256342112十2(34200十342l2)十2(34200十3420十3422)十2。其“除算减法四木”即“减一位”、“减二位”、“重减”、“减隔位”，用法与乘算加法类似，例如，19152十564788十14，可用减一法，其过程如下：北宋初年出现的一种除法增成法，在杨辉那里得到进一步的完善。增成法的优点在于用加倍补数的办法避免了试商，但对于位数较多的被除数，运算比较繁复，后人改进了它，总结出了“九归古括”，包含44句口诀。杨辉在其乘除通变算宝中引九归新括口诀32句，分为“归数求成十”、“归数自上加”，“半而为五计”三类。客观上讲
11、，杨辉不遗余力改进计算技术，大大加快了运算工具改革的步伐。随着筹算歌诀的盛行，运算速度大大加快，以至人们感觉到摆弄算筹跟不上口诀。在这样的背景下，算盘便应运而生了，及至元末，已经广为流行。纵横图，即所谓的幻方。早在汉郑玄易纬注及数术记遗都记载有“九宫”即三阶幻方，千百年来一直被人披上神秘的色彩。杨辉创“纵横图”之名。在所著续古摘奇算法上卷作出了多种多样的图形。图ll是四阶纵横图；图12是百子图，即十阶纵横图。其每行每列数之和为505(对角线数字之和不是505)；图13是“聚八”图，杨辉按“二十四子作三十二子用”设子的这种幻方共有四圈，每圈数字之和为100；图14是“攒九”图，用前33个自然数排
12、列，达到“斜直周围各一百四十七”的效果。杨辉不仅给出了这些图的编造方法，而且对一些图的一般构造规律有所认识，打破了幻方的神秘性。这是世界上对幻方最早的系统研究和记录。自杨辉以后，明清两代中算家关于纵横图的研究相继不断。杨辉的另一重要成果是垛积术。这是杨辉继沈括“隙积术”之后，关于高阶等差级数求和的研究。在详解九章算法和算法通变本末中记叙了若干二阶等差级数求和公式，其中除有一个即沈括的当童垛外，还有三角垛、四隅垛、方垛三式，用现今的记号表示就相当于下面三式：上述三式可由沈括之刍童公式推出。对数学重新分类也是杨辉的重要数学工作之一。杨辉在详解九章算术的基础上，专门增加了一卷“纂类”，将九章的方法和246个问题按其方法的性质重新分为乘除、分率、合率、互换、衰分、叠积、盈不足、方程、勾股九类。杨辉不仅是一位著述甚丰的数学家，而且还是一位杰出的数学教育家。他一生致力于数学教育和数学普及，其著述有很多是为了数学教育和普及而写。算法通变本末中载有杨辉专门为初学者制订的“习算纲目”，它集中体现了杨辉的数学教育思想和方法。