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1、高等数学,课程相关,教材及相关辅导用书 高等数学第一版，肖筱南主编,林建华等编著, 北京大学出版社2010.8. 高等数学精品课程下册第一版，林建华等编著,厦门大学出版社,2006.7.高等数学第七版,同济大学数学教研室主编，高等教育出版社,2014.7.高等数学学习辅导与习题选解（同济第七版上下合订本）同济大学应用数学系编 高等教育出版社,2014.8.,第九章 多元函数微分学 9.1 多元函数的基本概念 9.2 偏导数 9.3 全微分 9.4 多元复合函数的求导法则 9.5 隐函数的求导公式 9.6 多元函数微分学的几何应用 9.7 方向导数与梯度 9.8 多元函数的极值 9.9 综合例题
2、,4,1. 空间曲线的切线与法平面,切线方程,法平面方程,参数式情况.,空间光滑曲线,切向量,内容回顾,5,空间光滑曲面,曲面 在点,法线方程,1) 隐式情况：,的法向量,切平面方程,2. 曲面的切平面与法线,6,空间光滑曲面,切平面方程,法线方程,2) 显式情况：,法线的方向余弦,法向量,第九章,第七节,一、方向导数,二、梯度,方向导数与梯度,三、数量场和向量场,第七节 方向导数与梯度,一.方向导数 偏导数反映的是函数沿坐标轴方 向的变化率,但许多物理现象告诉我 们,除了考虑函数沿坐标轴方向的变 化率外,还应该考虑其它方向的变化 率.现在我们研究函数沿任一指定方 向的变化率问题.,一、方向导
3、数的定义,讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题,当 沿着 趋于 时，,是否存在？,记为,方向导数的几何意义,上式极限存在就意味,曲线C在点 P0 有唯一的切线,它关于 方向的斜率,就是方向导数,证明,由于函数可微，则增量可表示为,两边同除以,得到,故有方向导数,解,解,由方向导数的计算公式知,故,推广可得三元函数方向导数的定义,解,令,故,方向余弦为,故,二、梯度,其中,称为向量微分算子或 Nabla算子.,因此梯度向量 是使函数在一点的方向导数 达到最大值的方向,在几何上 表示一个曲面,曲面被平面 所截得,所得曲线在xoy面上投影如图2,梯度的几何解释,所得曲线在xoy面上投影为平面曲线
4、,称为函数 的等值线,方程两边微分：,或者说： 梯度的方向就是等值线在这点的法线方向。,等值线,梯度为等值线上的法向量,类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.,梯度的概念可以推广到三元函数,三元函数梯度的几何解释：,三元函数 的等值面：,由切平面的讨论，知梯度,是等值面在点(x,y,z)处的法向量。,故梯度向量,在任何点都垂直于函数的等值面，并且从函数值较小的等值面指向函数值较大的等值面。,梯度的运算律 类似于导数的运算律,其中C为常数。,解,由梯度计算公式得,故,例5. 设函数,解: (1) 点P处切平面的法向量为,在点 P(1,1,
5、1) 处的切平面方程.,故所求切平面方程为,即,(2) 求函数 f 在点 P (1,1,1) 沿增加最快方向的方向导数.,求等值面,(2) 函数 f 在点P处增加最快的方向为,沿此方向的方向导数为,注意: 对三元函数, 与 垂直的方向 有无穷多,向量场,Vector Fields,1、方向导数的概念,（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）,三、小结, 三元函数,在点,沿方向 l (方向角,的方向导数为, 二元函数,在点,的方向导数为,沿方向 l (方向角为,2、梯度的概念,（注意梯度是一个向量）, 三元函数,在点,处的梯度为, 二元函数,在点,处的梯度为,方向: f 变化率最大的方向,模: f 的最大变化率之值, 梯度的特点,3、方向导数与梯度的关系,方向导数存在,偏导数存在, 可微,4、可微、可导、方向导数,作业,习题9.7（P83） 1、3、4、5、9,思考题,思考题解答,练 习 题,