风险管理与金融机构 第3章.pdf

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1、第三章第三章 VaR方法方法 3.1 远期与期货的定价远期与期货的定价 一个农民想把他的牛卖掉一个农民想把他的牛卖掉，若若t时刻牛价格时刻牛价格 为为St，如果他签订一个在如果他签订一个在T （Tt）时刻卖时刻卖 牛的期货合同牛的期货合同，在在t时刻这个牛期货应该如时刻这个牛期货应该如 何定价何定价？若不计其他因素若不计其他因素 若牛能够在今日卖掉若牛能够在今日卖掉，获得现金获得现金，以无风险以无风险 利率投资就获得利息利率投资就获得利息。 ()r T t tt FS e 例例9.1 假定一个交易组合在6个月时的收益服从正态分布， 分布均值为200万美元，标准差为1000万美元。 对于6个月展

2、望期，在99%置信度下的VaR为2130 万美元。 )()(%1 VaRX PVaRXP 213020033. 21000 01. 001. 0 ZVaRZ VaR 例例 9.2 假定一个1年的项目的最终结果介于5000万美 元损失和5000万美元收益之间，5000万美元 损失和5000万美元收益之间的任意结果具有 均等的可能。 项目的最终结果服从由-5000万美元到+5000 万美元的均匀分布，损失大于-4900万美元的 可能性为1%。 对于1年的展望期，在99%置信度下的VaR为 4900万美元。 例例9.3&9.4 假定一个1年的项目有98%的概率收益为200万美元，1.5% 的概率损失

3、为400万美元，0.5%的概率损失为1000万美元。 在这一累计分布下，对应于99%累计概率的点为400万美 元，因此，对于1年展望期，在99%置信度下的VaR为400万 美元。 要求99.5%的置信水平下的VaR，这时，介于400万美元和 1000万美元之间的任意一点的损失，均有99.5%的把握不会 被超过。对于这一区间的任意数值V，损失超过V的概率均为 0.5%。VaR在这一情形下不具有唯一性，一个合理的选择是 将VaR设定为这一区间的中间值，这意味着，在99.5%置信 度下的VaR为700万美元。 99.9%的置信水平下VaR为1000万美元。 例例9.3&9.4的累计损失分布的累计损失

4、分布 VaR与预期损失与预期损失 VaR展示了损失会糟成什么样； 预期损失是指当市场条件变糟而触发损失时，损失的 期望值为多大（有时被称为条件风险价值度CVaR； 条件尾部期望(ES)；尾部损失）； CVaR=EX|XVaR 两个具有同样VaR的投资组合，其预期损失却可能差 距非常大； 预期损失要比VaR有更好地性态，但计算更为复杂。 1 0 1 ()() 1 c cy AVaRXVaRX dy c 相同相同VaR不同期望损失不同期望损失 VaR VaR VaR和资本金和资本金 VaR被监管当局以及金融机构用来确定资本 金的持有量。 对于市场风险，监管人员所要求的资本金等 于在10天展望期的9

5、9%VaR的一定倍数（至 少3倍）。 对于信用风险和操作风险，巴塞尔协议 中，监管人员要求在资本金计算中采用1年 展望期及99.9%的置信区间的VaR。 一致性条件的风险度量一致性条件的风险度量 VaR是最好的风险度量选择吗？ 好的风险度量应该满足下面的条件： 单调性：如果在所有的不同情形下，第1个交易组合的回报均低 于另一个交易组合，那么这里的第1个交易组合的风险度量一定 要比另一个大。 平移不变性：如果我们在交易组合中加入K数量的现金，交易组 合所对应的风险度量要减少K数量。 同质性：假定一个交易组合内含资产品种和相对比例不变，但内 含资产的数量增至原数量的倍，此时新交易组合的风险应是原

6、风险的倍。 次可加性：两个交易组合合并成一个新交易组合的风险度量小于 或等于最初两个交易组合的风险度量的和。 Coherent Risk Measure Example 1 Example 2 Example 3 Worst case risk measure Example 4 ()XE X () c XVaR X max ()inf( )XX () c XCVaR X 例例 9.5 假定两个独立贷款项目在1年内均有0.02的概率损失1000万美 元，同时均有0.98的概率损失100万美元。 展望期为1年，每个项目97.5%置信水平下的VaR为100万美 元。 将两个贷款叠加产生一个资产组合

7、，组合有0.02*0.02=0.0004 的概率损失2000万美元，并且有2*0.02*0.98=0.0392的概率 损失1100万美元，有0.98*0.98=0.9604的概率损失200万美 元。 展望期为1年，组合97.5%置信水平下的VaR为1100万美元。 单笔贷款所对应VaR的和为200万美元，贷款组合的VaR比单 笔贷款VaR的和高900万美元，违反了次可加性。 例例 9.7 展望期为1年，每笔贷款97.5%置信水平下的VaR为100万美 元。为了计算在97.5%的置信水平下的预期亏损，在2.5%的 尾部分布中，有2%的概率损失为1000万美元，有0.5%的概 率损失为100万美元

8、。因此，在2.5%的尾部分布的范围内， 有80%的概率损失为1000万美元，有20%的概率损失为100 万美元，预期损失为0.8*1000+0.2*100=820万美元。 将两个贷款组合到一起，在2.5%的尾部分布中，有0.04%的 概率损失为2000万美元，有2.46%的概率损失为1100万美 元，在2.5%的尾部分布的范围内，预期损失为 (0.04/2.5)*2000+(2.46/2.5)*1100=1114.4万美元 因为820+820=16401114.4，因此，预期亏损满足次可加 性。 例例 9.6 考虑两笔期限均为一年，面 值均为1000万的贷款，每笔 贷款的违约率均为1.25%，

9、 当其中任何一笔贷款违约 时，收回本金的数量不定， 但我们知道回收率介于0 100%的可能性为均等。当 贷款没有违约时，贷款盈利 均为20万美元。为了简化讨 论，假设如果任意一笔贷款 违约，另一笔贷款一定不会 违约。 结果结果概率概率 两笔贷款均不违约两笔贷款均不违约97.5% 第一笔贷款违约第一笔贷款违约，第二笔不违约第二笔不违约1.25% 第二笔贷款违约第二笔贷款违约，第一笔不违约第一笔不违约1.25% 两笔贷款均违约两笔贷款均违约0.00% 例例 9.6 首先考虑第一笔贷款，违约可能为1.25%，在违约发生的条件下，损失为 0到1000万美元的均匀分布，这意味着有1.25%的概率损失大于

10、0，有 0.625%的概率损失大于500万美元，损失超过1000万美元的事件不会发 生。损失超过200万美元的概率为 1.25%*0.8=1% 因此，1年期99%的置信水平下，每一笔贷款的VaR为200万美元。 接下来考虑两笔贷款，每笔贷款违约的可能均为1.25%，并且两笔贷款不 可能同时违约。因此，任何两笔贷款之中有一笔贷款违约的概率为 2.5%，在违约发生的条件下，损失超过600万美元的可能性为40%。因 此，损失大于600万美元的无条件概率为 2.5%*40%=1% 一笔贷款违约，另一笔贷款会有盈利20万美元，将这一盈利考虑在内，我 们得出一年99%的VaR为580万美元。 单独计算单一

11、贷款所产生的VaR相加，得到VaR总和为400万美元，组合 的VaR为580万美元，不满足次可加性。 例例 9.8 考虑两笔期限均为一年，面 值均为1000万的贷款，每笔 贷款的违约率均为1.25%， 当其中任何一笔贷款违约 时，收回本金的数量不定， 但我们知道回收率介于0 100%的可能性为均等。当 贷款没有违约时，贷款盈利 均为20万美元。为了简化讨 论，假设如果任意一笔贷款 违约，另一笔贷款一定不会 违约。 结果结果概率概率 两笔贷款均不违约两笔贷款均不违约97.5% 第一笔贷款违约第一笔贷款违约，第二笔不违约第二笔不违约1.25% 第二笔贷款违约第二笔贷款违约，第二笔不违约第二笔不违约

12、1.25% 两笔贷款均违约两笔贷款均违约0.00% 单笔贷款对应的VaR为200万美元，将展望期设为1年，在99%把握 之下所对应的预期亏损等于在损失大于200万美元的条件之下，损 失的期望值。已知损失服从0到1000万美元的均匀分布，因此，预 期亏损为200万美元到1000万美元的均匀分布，即为600万美元。 两笔贷款组合的VaR为580万美元，贷款组合的预期亏损等于损失 大于580万美元条件下，损失的期望值。当一笔贷款违约时，另一 笔贷款不可能违约，这时，贷款组合的价值介于20万美元的盈利及 980万美元的损失之间的均匀分布，损失介于580万美元与980万美 元之间的期望值为780万美元。

13、因此，贷款组合的预期亏损为780万 美元。 单笔贷款对应的预期亏损之和为600+600=1200万美元，贷款组合 的预期亏损为780万美元。因此，预期亏损满足次可加性。 光谱型风险度量光谱型风险度量 VaR对于第X个分位数设定了100%的权重，而对于 其他分位数设定了0权重。 预期亏损对于所有高于X%的分位数的所有分位数 设定相同的权重。 权重光谱型风险度量可以对分布中的其他分位数设 定不同的比重。 对于满足一致性条件的风险度量，其分位数的权重 必须为非递减函数。越高的分位数，权重越大。 正态分布假设正态分布假设 最简单的假设是假定交易组合的价值变化在1天展望期服从正态分 布，其组合价值变化的

14、期望值为0。 通过标准差很容易计算出VaR VaR= 一个较长的T天展望期的VaR等于1天展望期VaR的倍。 N个相互独立并且同分布的随机变量和的方差为单个方差的N倍。 多个相互独立正态分布的和仍为正态分布。 银行管理人员的交易管理行为较为活跃，因此对于银行每天计算交 易组合的VaR就非常有意义。也经常会计算10天展望期的VaR。 养老基金由于交易行为不太活跃，价值测算往往每个月进行一次。 T )( 1 XN 独立性假设独立性假设 对于独立同分布的投资组合，T天展望期的方差是 1天展望期方差的T倍。 如果存在自相关性的影响，其乘数就从T倍增加到 定义为交易组合在第i天得价值变化，并假定 与相关

15、系数为。假定对于任意i， 的方差为 ，则的方差为 132 2) 3(2)2(2) 1(2 T TTTT i P i P 1 i P i P 2 1 ii PP 2222 )1 (22 自相关性的影响自相关性的影响 当存在一阶自相关性时T天的VaR同一天的 VaR的比率。 T=1T=2T=5T=10T=50T=250 1.01.412.243.167.0715.81 1.01.452.333.317.4316.62 1.01.482.423.467.8017.47 1.01.552.623.798.6219.35 持有期的选择和设定持有期的选择和设定 一般来说，在其他因素不变的情况下，持有 期越

16、长，组合面临的风险就越大，从而计算出 的VaR值就越大，同时，持有期的选择还对 VaR值的可靠性也产生很大影响。 因此，持有期的选择和设定非常重要。 持有期的选择和设定应考虑以下两个因素： 组合收益率分布的确定方式； 组合的市场流动性和头寸交易频繁程度。 置信水平的选择置信水平的选择 置信水平的选取通常取决于操作目的。对于市场风 险通常取99%的置信水平，对于信用风险和操作风 险通常使用99.9%。 一家银行要想保持自己的AA信用评级，在内部管理 过程中通常就会采用高达99.97%的置信水平。因为 在一年展望期内AA信用评级公司只有0.03%的破产 可能。 2. 如果远期的标的资产提供确定的红

17、利如果远期的标的资产提供确定的红利。假假 设红利是连续支付的设红利是连续支付的，红利率为红利率为q。由于由于 具有红利率具有红利率q，该资产的价格才为该资产的价格才为St，它它 等价于价格为等价于价格为 ()()()() () q T tr T tr q T t ttt FS eeS e ()q T t t S e 的无红利资产的无红利资产。由无红利的资产的定价公由无红利的资产的定价公 式可得式可得 敏感性分析敏感性分析 ()()()() () q T tr T tr q T t ttt FS eeS e ()()()() (, ) r q T tr q T t tttt dF S rdS e

18、S edr 注意注意： （1）风险因素由两个风险因素由两个，现货价格与无风险利率现货价格与无风险利率。 （2）由于是指数函数由于是指数函数，敏感性方程为非线性方程敏感性方程为非线性方程。 例例3.1 假设假设2年期即期年利率年期即期年利率（连续复利连续复利，下同下同） 为为10.5%，3年期即期年利率为年期即期年利率为11，本金本金 为为100万美元的万美元的2年年3年远期利率协议的年远期利率协议的 合同利率合同利率为为11，请问请问 1.理论上理论上,远期利率应为多少远期利率应为多少？该协议利率合理该协议利率合理 吗吗？ 2.该远期利率协议的价值是多少该远期利率协议的价值是多少？ 11% 3

19、 10.5% 2 12.0% (32) l ls s f ls rtrt r tt ts tl 0 A () ls k tt Ae () () 0 ()() = 1 fls lss s fls s s rtt k ttr t krtt r t fAA eee Aee ()() 0 10.5 2(0.11 0.12)(3 2) 1 1,000,0001 8065.31 fls s s k rtt r t fAee ee 由此可见由此可见，由于协议利率低于远期利率由于协议利率低于远期利率（理论利理论利 率率），），这实际上给了多方这实际上给了多方（借款方借款方）的优惠的优惠，故合故合 约价值为正约

20、价值为正。反之反之，当协议利率高于远期利率的时当协议利率高于远期利率的时 候候，空方获利空方获利，这意味着远期合约的价值为负这意味着远期合约的价值为负。 远期合约的价值总是从多方的视角来看的远期合约的价值总是从多方的视角来看的！ 3.2 期货合约期货合约远期的组合远期的组合 三个制度性特征三个制度性特征：逐日盯市逐日盯市、保证金要求保证金要求、期货期货 清算所清算所，逐日盯市将履约期限缩短为逐日盯市将履约期限缩短为1天天。 若若7月月1日购买了日购买了1份份83天的期货合约天的期货合约，当日期货当日期货 价格为价格为0.61美元美元，次日为次日为0.615美元美元。这等价于这等价于 7月月1日

21、购买了一份期限为日购买了一份期限为83天的远期合约天的远期合约，其交割价其交割价 格为格为0.61美元美元 7月月2日远期合约以日远期合约以0.615美元被清算美元被清算，并被一份期限为并被一份期限为 82天天，交割价格为交割价格为0.615美元的新的远期合约所代替美元的新的远期合约所代替。 思考思考：远期能否看成是期货的组合远期能否看成是期货的组合？ 讨论讨论：期货与远期的差异期货与远期的差异 假定一个假定一个5000蒲式耳小麦期货和远期只有蒲式耳小麦期货和远期只有3 日期限日期限，多方损益多方损益 50004.17月月2日日 0 0 远期现金流远期现金流 -50047月月3日日 047月月

22、1日日 期货现金流期货现金流期货价格期货价格 （元元） 日期日期 讨论讨论：期货与远期的差异期货与远期的差异 1. 如果利率固定如果利率固定，则期货合约和远期合约等则期货合约和远期合约等 价价。（。（CIR定理定理） 2. 如果利率浮动如果利率浮动，则期货与远期可能不等则期货与远期可能不等 价价。 考虑例子中考虑例子中，2日的利息远高于日的利息远高于3日日，结果如结果如 何何？ 显然显然，多方偏好期货合约多方偏好期货合约，则期货合约价则期货合约价 值上升值上升，反之则反反之则反。 一般来说一般来说，远期与期货存在一定的差异远期与期货存在一定的差异： 如果期货和远期的到期时间只有几个月如果期货和

23、远期的到期时间只有几个月，那那 么么，在大多数情况下在大多数情况下，二者价格的差异常常小二者价格的差异常常小 到可以忽略不计到可以忽略不计。 随着到期时间的延长随着到期时间的延长，二者价格的差异可能变二者价格的差异可能变 得比较显著得比较显著。 若标的资产价格与利率正相关若标的资产价格与利率正相关，则期货合约则期货合约 价值高于远期价值高于远期，反之则反反之则反 利率上升利率上升标的资产价格上升标的资产价格上升多头获利实现多头获利实现 （盯市盯市）再投资收益增加再投资收益增加 利率下降利率下降标的资产价格下降标的资产价格下降期货多头亏损期货多头亏损 以低成本融资以低成本融资 CIR定理定理：期

24、货与远期等价期货与远期等价 CIR定理定理： 如果如果利率固定利率固定（Constant）， 那么远期价格与期货价格相同那么远期价格与期货价格相同。 证明的思路证明的思路：期货是一连串不断更新的远期货是一连串不断更新的远 期期。根据无套利定价的原理根据无套利定价的原理，可以让远期可以让远期 和期货相互复制和期货相互复制。 CIR的思路的思路：以期货组合复制远期以期货组合复制远期，由远由远 期推断期货期推断期货。 远期远期：到期日结算到期日结算（中间没有现金流中间没有现金流） 期货期货：每日结算每日结算（每日都有现金流每日都有现金流） 证明证明：（：（by Cox，Ingersoll，Ross）

25、 假设期货合约的有效期为假设期货合约的有效期为n天天，用用Fi表示表示 第天第天i末末（0ip， 因为VaR估计太低，应该拒绝该模 型吗？ 考虑以下两种对立假设: 对应任意一天，例外发生的概率为p 对应任意一天，例外发生的概率大于p 假设例外发生的概率p=1-X%，从二项分布的性质，n个 观察日中，有m天或更多天例外发生的概率为 ! (1) !()! n kn k k m n P Zmpp k nk 在统计的假设检验中，一个经常被选定的置 信度为5%，如果在所有观察日中，有m天 或更多天实际损失超过VaR的概率小于 5%，那么我们可以拒绝第一种假设，则例 外发生的概率大于p. 如果有m天或更多

26、天实际损失超过VaR的概 率大于5%，则例外发生的概率为p。 例9-13 假定采用600天得数据来检测VaR模型，选用99%的置信 度，在600天观察数据中发现了9个例外，而在这里对例外 所发生次数的期望值为6，这时应该拒绝VaR模型吗？ 通过Excel计算，对应于9个或更多例外发生的概率为 0.152，因此如果采用5%的置信度，则不应该拒绝该模 型。 如果例外发生的次数为12，计算例外次数为12或更多的概 率为0.019，这时应该拒绝该模型。事实上，当例外次数 超过11时我们就应该拒绝模型。 当例外个数m小于例外的期望值时，可以采取一个类似的 方法来检验例外发生的真正概率是否为p%。 考虑以

27、下两种对立假设: 对应任意一天，例外发生的概率为p 对应任意一天，例外发生的概率小于p 假设例外发生的概率p=1-X%，从二项分布的性质，n个 观察日中，有m天或更少天例外发生的概率为 这一数值与5%来进行比较。小于5%，则例外发生的概率 小于p；大于5%，则例外发生的概率为p。 0 ! (1) !()! m kn k k n P Zmpp k nk 例9-14 假定采用600天得数据来检测VaR模型，选用99%的置 信度，在600天观察数据中只发现了1个例外，这一数值 远低于例外所发生次数的期望值6，这时应该拒绝VaR模 型吗？ 通过Excel计算，对应于1个或更少例外发生的概率为 0.01

28、7，因此如果采用5%的置信度，则应该拒绝该模 型。 如果例外发生的次数大于等于2，则不应该拒绝该模型。 上面考虑的检验均为单向检验，可以进行双向检验。假定在 VaR中例外发生的概率为p，而在n个观察日中例外发生了m 次，变量 服从自由度为1 的卡方分布。 在一个自由度的卡方分布中，自变量大于3.84的概率为5%。 因此如果采用5%的置信度，若所计算的统计量大于3.84，则 拒绝模型；若所计算的统计量小于3.84，则不拒绝模型。 一般来讲，当VaR置信度增大时，检验模型的难度也会提 高，因此在计算VaR时不要采用太高的置信度。 )/()/1ln(2)1ln(2 mmnmmn nmnmpp 例9-

29、15 假定采用600天得数据来检测VaR模型，选用 99%的置信度，当例外出现的次数小于1或大于 12时，所计算出得统计量大于3.84，因此如果采 用5%的置信度，在例外出现的次数为2到11之间 时，接受VaR模型，否则，拒绝模型。 聚束效应聚束效应 如果交易组合每天价值的变化是相互独立的，那 么例外的发生应该比较均匀地分布在检测区间之 内。而在实践中，发现例外的发生往往聚束在一 起。这说明每天之间的损失分布并非独立。 聚束效应发生在例外事件没有均匀地分布在检测 区间之内的情况下。 聚束效应的统计检验方法由Christofferson提出。 Christofferson定义以下统计量 uij为某天处在i状态而在第2天处在j状态产生的次数。状态0 定义为某一天没有例外发生，而状态1定义为某一天有例 外发生。再有 若没有聚束效应，以上统计量服从自由度为1 的卡方分布。 若取置信度为5%，则若统计量的值大于3.84，则不独立， 有聚束效应；若统计量小于3.84，则独立，没有聚束效 应。 1110010011011000 111101 )1 ()1ln(2)1ln(2 uuuuuuuu 11100100 1101 uuuu uu 0100 01 01 uu u 1110 11 11 uu u