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1、立体几何中的探索性问题一、探索平行关系12016枣强中学模拟 如图所示，在正四棱柱A1C中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件_，就有MN平面B1BDD1.(注：请填上一个你认为正确的条件，不必考虑全部可能的情况) 答案：M位于线段FH上(答案不唯一)解析 连接HN，FH，FN，则FHDD1，HNBD，FHHNH，DD1BDD，平面FHN平面B1BDD1，故只要MFH，则MN平面FHN，且MN平面B1BDD1.2.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点(1)求直线BE和平面AB
2、B1A1所成的角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论解：(1)如图所示，取AA1的中点M，连接EM，BM.因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EMAD.(2分)又在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD平面ABB1A1，所以EM平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，EBM为BE和平面ABB1A1所成的角(4分)设正方体的棱长为2，则EMAD2，BE3.于是，在RtBEM中，sinEBM，(5分)即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为.(6分)(2)在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE.事实上
3、，如图(b)所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接B1F，EG，BG，CD1，FG.因A1D1B1C1BC，且A1D1BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，因此D1CA1B.又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EGD1C，从而EGA1B.这说明A1，B，G，E四点共面所以BG平面A1BE.(8分)因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FGC1CB1B，且FGC1CB1B，因此四边形B1BGF是平行四边形，所以B1FBG，(10分)而B1F平面A1BE，BG平面A1BE，故B1F平面A1BE.(12分)3如图，四棱锥PABCD中，PD平面
4、ABCD，底面ABCD为矩形，PDDC4，AD2，E为PC的中点(1)求三棱锥APDE的体积；(2)AC边上是否存在一点M，使得PA平面EDM？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由解析：(1)PD平面ABCD，PDAD.又ABCD是矩形，ADCD.PDCDD，AD平面PCD，AD是三棱锥APDE的高E为PC的中点，且PDDC4，SPDESPDC4.又AD2，VAPDEADSPDE24.(2)取AC中点M，连接EM，DM，E为PC的中点，M是AC的中点，EMPA.又EM平面EDM，PA平面EDM，PA平面EDM.AMAC.即在AC边上存在一点M，使得PA平面EDM，AM的长为.4.如图所示
5、，在三棱锥P ABC中，点D，E分别为PB，BC的中点在线段AC上是否存在点F，使得AD平面PEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：假设在AC上存在点F，使得AD平面PEF，连接DC交PE于G，连接FG，如图所示AD平面PEF，平面ADC平面PEFFG，ADFG.又点D，E分别为PB，BC的中点，G为PBC的重心，.故在线段AC上存在点F，使得AD平面PEF，且.52016北京卷 如图，在四棱锥P ABCD中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC.(1)求证：DC平面PAC.(2)求证：平面PAB平面PAC.(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA平面CEF？说明理
6、由解：(1)证明：因为PC平面ABCD，所以PCDC.又因为DCAC，所以DC平面PAC.(2)证明：因为ABDC，DCAC，所以ABAC.因为PC平面ABCD，所以PCAB，所以AB平面PAC，所以平面PAB平面PAC.(3)棱PB上存在点F，使得PA平面CEF.证明如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF.因为E为AB的中点，所以EFPA.又因为PA平面CEF，所以PA平面CEF.62016四川卷 如图，在四棱锥P ABCD中，PACD，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD.(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM平面PAB，并说明理由；(2)证明：平面PAB平面PBD.解：(1)
7、取棱AD的中点M(M平面PAD)，点M即为所求的一个点理由如下：因为ADBC，BCAD，所以BCAM，且BCAM，所以四边形AMCB是平行四边形，从而CMAB.又AB平面PAB，CM平面PAB，所以CM平面PAB.(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)证明：由已知，PAAB，PACD.因为ADBC，BCAD，所以直线AB与CD相交，所以PA平面ABCD，从而PABD.因为ADBC，BCAD，所以BCMD，且BCMD，所以四边形BCDM是平行四边形，所以BMCDAD，所以BDAB.又ABAPA，所以BD平面PAB.又BD平面PBD，所以平面PAB平面PBD.7. 2
8、016阳泉模拟 如图74110，在四棱锥PABCD中，BCAD，BC1，AD3，ACCD，且平面PCD平面ABCD.(1)求证：ACPD.(2)在线段PA上是否存在点E，使BE平面PCD？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：(1)证明：平面PCD平面ABCD，平面PCD平面ABCDCD，ACCD，AC平面ABCD，AC平面PCD，PD平面PCD，ACPD.(2)在线段PA上存在点E，使BE平面PCD，且.下面给出证明：AD3，BC1，在PAD中，分别取PA，PD靠近点P的三等分点E，F，连接EF，BE，CF.，EFAD，且EFAD1.又BCAD，BCEF，且BCEF，四边形BCFE是平行
9、四边形，BECF，又BE平面PCD，CF平面PCD，BE平面PCD.8(10分)2016河南中原名校联考 如图所示，在四棱锥S ABCD中，平面SAD平面ABCD，ABDC，SAD是等边三角形，且SD2，BD2，AB2CD4.(1)证明：平面SBD平面SAD. (2)若E是SC上的一点，当E点位于线段SC上什么位置时，SA平面EBD？请证明你的结论(3)求四棱锥SABCD的体积解：(1)证明：SAD是等边三角形，ADSD2，又BD2，AB4，AD2BD2AB2，BDAD，又平面SAD平面ABCD，平面SAD平面ABCDAD.BD平面SAD.又BD平面SBD，平面SBD平面SAD.(2)当E为S
10、C的三等分点，即ES2CE时，结论成立证明如下：连接AC交BD于点H，连接EH.CDAB，CDAB，HESA. 又SA平面EBD，HE平面EBD，SA平面EBD.(3)过S作SOAD，交AD于点O.SAD为等边三角形，O为AD的中点，SO.易证得SO平面ABCD，V四棱锥S ABCDS梯形ABCDSO. S梯形ABCD(24)3，V四棱锥S ABCD3.二、探索垂直关系1如图所示，在三棱锥P ABC中，已知PA底面ABC，ABBC，E，F分别是线段PB，PC上的动点，则下列说法错误的是()A当AEPB时，AEF一定为直角三角形B当AFPC时，AEF一定为直角三角形C当EF平面ABC时，AEF一
11、定为直角三角形D当PC平面AEF时，AEF一定为直角三角形答案：B解析 已知PA底面ABC，则PABC，又ABBC，PAABA，则BC平面PAB，BCAE.当AEPB时，又PBBCB，则AE平面PBC，则AEEF，A正确当EF平面ABC时，又EF平面PBC，平面PBC平面ABCBC，则EFBC，故EF平面PAB，则AEEF，故C正确当PC平面AEF时，PCAE，又BCAE，PCBCC，则AE平面PBC，则AEEF，故D正确用排除法可知选B.2如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，点F在线段A
12、A1上，当AF_时，CF平面B1DF.答案：a或2a解析 由题意易知，B1D平面ACC1A1，所以B1DCF.要使CF平面B1DF，只需CFDF即可当CFDF时，设AFx，则A1F3ax.由RtCAFRtFA1D，得，即，整理得x23ax2a20，解得xa或x2a.3如图所示，PA圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：AFPB；EFPB；AFBC；AE平面PBC.其中正确结论的序号是_答案：解析 由题意知PA平面ABC，PABC.又ACBC，PAACA，BC平面PAC，BCAF.AFPC，BCPCC，AF平面PBC，AFPB，
13、AFBC.又AEPB，AEAFA，PB平面AEF，PBEF.故正确4.如图所示，已知长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD为正方形，E为线段AD1的中点，F为线段BD1的中点.(1)求证：EF平面ABCD；(2)设M为线段C1C的中点，当的比值为多少时，DF平面D1MB？并说明理由解析：(1)证明：E为线段AD1的中点，F为线段BD1的中点，EFAB.EF平面ABCD，AB平面ABCD，EF平面ABCD.(2)当时，DF平面D1MB.ABCD是正方形，ACBD.D1D平面ABC，D1DAC.AC平面BB1D1D，ACDF.F，M分别是BD1，CC1的中点，FMAC.DFFM.D1DAD，
14、D1DBD.矩形D1DBB1为正方形F为BD1的中点，DFBD1.FMBD1F，DF平面D1MB.5.如图(1)，在RtABC中，C90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图(2) (1) (2)(1)求证：DE平面A1CB.(2)求证：A1FBE.(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由解：(1)D，E分别为AC，AB的中点，DEBC.(2分)又DE平面A1CB，DE平面A1CB.(4分)(2)由已知得ACBC且DEBC，DEAC.DEA1D，DECD.DE平面A1DC.而A1F平面A1DC，(6分)
15、DEA1F.又A1FCD，CDDED，A1F平面BCDE，又BE平面BCDE，A1FBE.(9分)(3)线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQBC.又DEBC，DEPQ.平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE平面A1DC，DEA1C.又P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，A1CDP.又DPDED，A1C平面DEP.(12分)从而A1C平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C平面DEQ.(14分)6如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是CD、A1D1的中点(1)求证：AB1BF；(2)求证：AEBF；(3)
16、棱CC1上是否存在点P，使BF平面AEP？若存在，确定点P的位置，若不存在，说明理由解析：(1)证明：连接A1B，则AB1A1B，又AB1A1F，且A1BA1FA1，AB1平面A1BF.又BF平面A1BF，AB1BF.(2)证明：取AD中点G，连接FG，BG，则FGAE，又BAGADE，ABGDAE.AEBG.又BGFGG，AE平面BFG.又BF平面BFG，AEBF.(3)存在取CC1中点P，即为所求连接EP，AP，C1D，EPC1D，C1DAB1，EPAB1.由(1)知AB1BF，BFEP.又由(2)知AEBF，且AEEPE，BF平面AEP.7如图(1)所示，在RtABC中，ABC90，D为
17、AC的中点，AEBD于点E(不同于点D)，延长AE交BC于点F，将ABD沿BD折起，得到三棱锥A1BCD，如图(2)所示(1)若M是FC的中点，求证：直线DM平面A1EF.(2)求证：BDA1F.(3)若平面A1BD平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由解：(1)证明：在题图(1)中，因为D，M分别为AC，FC的中点，所以DM是ACF的中位线，所以DMEF，则在题图(2)中，DMEF，又EF平面A1EF，DM平面A1EF，所以DM平面A1EF.(2)证明：因为A1EBD，EFBD，且A1EEFE，所以BD平面A1EF.又A1F平面A1EF，所以BDA1F.(3)直线A1B与直线CD不能垂直理由如下：因为平面A1BD平面BCD，平面A1BD平面BCDBD，EFBD，EF平面BCD，所以EF平面A1BD.因为A1B平面A1BD，所以A1BEF，又EFDM，所以A1BDM.假设A1BCD，因为A1BDM，CDDMD，所以A1B平面BCD，所以A1BBD，这与A1BD为锐角矛盾，所以假设不成立，所以直线A1B与直线CD不能垂直