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1、理 数圆锥曲线1. (2014大纲全国,9,5分)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,则cosAF2F1=()A.B.C.D.答案 1.A解析 1.由题意得解得|F2A|=2a,|F1A|=4a,又由已知可得=2,所以c=2a,即|F1F2|=4a,cosAF2F1=.故选A.2. (2014大纲全国,6,5分)已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若AF1B的周长为4,则C的方程为()A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1答案 2.A解析 2.由题意及椭圆的定义知4a=4,则a=,
2、又=,c=1,b2=2,C的方程为+=1,选A.3. (2014重庆,8,5分)设F1、F2分别为双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.3答案 3.B解析 3.设|PF1|=m,|PF2|=n,依题意不妨设mn0,于是mn=m=3n.a=n,b=nc=n,e=,选B.4. (2014广东,4,5分)若实数k满足0k9,则曲线-=1与曲线-=1的()A.焦距相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等答案 4.A解析 4.0k0,25-k0.-=1与-=1均表示双曲线,又
3、25+(9-k)=34-k=(25-k)+9,它们的焦距相等,故选A.5. (2014福建,9,5分)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是()A.5B.+C.7+D.6答案 5.D解析 5.设Q(cos ,sin ),圆心为M,由已知得M(0,6),则|MQ|=5,故|PQ|max=5+=6.6.(2014山东,10,5分)已知ab0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为()A.xy=0B.xy=0C.x2y=0D.2xy=0答案 6.A解析 6.设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为
4、e1和e2,则e1=,e2=.因为e1e2=,所以=,即=,=.故双曲线的渐近线方程为y=x=x,即xy=0.7.(2014天津,5,5分)已知双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案 7.A解析 7.由题意得=2且c=5.故由c2=a2+b2,得25=a2+4a2,则a2=5,b2=20,从而双曲线方程为-=1.8.(2014山东青岛高三第一次模拟考试, 10) 如图，从点发出的光线，沿平行于抛物线的对称轴方向射向此抛物线上的点，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点，再
5、经抛物线反射后射向直线上的点，经直线反射后又回到点，则等于（ ）A B CD答案 8. B解析 8.由题意可得抛物线的轴为轴，所以所在的直线方程为，在抛物线方程中，令可得，即从而可得，因为经抛物线反射后射向直线上的点，经直线反射后又回到点，所以直线的方程为，故选B9.(2014安徽合肥高三第二次质量检测，4) 下列双曲线中，有一个焦点在抛物线准线上的是（ ） A. B. C. D. 答案 9. D解析 9. 因为抛物线的焦点坐标为，准线方程为，所以双曲线的焦点在轴上，双曲线的焦点在轴且为满足条件. 故选D.10. (2014江西,15,5分)过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(a
6、b0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于_.答案 10.解析 10.设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1.、两式相减并整理得=-.把已知条件代入上式得,-=-,=,故椭圆的离心率e=.11. (2014湖南,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则=_.答案 11.1+解析 11.|OD|=,|DE|=b,|DC|=a,|EF|=b,故C,F,又抛物线y2=2px(p0)经过C、F两点,从而有即b2=a2+2ab,-2-1=0,又1,=1+.12.(2014安徽,14,5分)设F1,F2分别是椭圆E
7、:x2+=1(0b1)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2x轴,则椭圆E的方程为_.答案 12.x2+y2=1解析 12.不妨设点A在第一象限,AF2x轴,A(c,b2)(其中c2=1-b2,0b0).又|AF1|=3|F1B|,由=3得B,代入x2+=1得+=1,又c2=1-b2,b2=.故椭圆E的方程为x2+y2=1.13.(2014浙江,16,4分)设直线x-3y+m=0(m0)与双曲线-=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是_.答案 13.解析 13.由得A,由得B,则
8、线段AB的中点为M.由题意得PMAB,kPM=-3,得a2=4b2=4c2-4a2,故e2=,e=.14. (2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，12) 抛物线+12y=0的准线方程是_.答案 14. y=3解析 14. 抛物线的标准方程为：，由此可以判断焦点在y轴上，且开口向下，且p=6，所以其准线方程为y=3.15. (2014大纲全国,21,12分)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.()求C的方程;()过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一
9、圆上,求l的方程.答案 15.查看解析解析 15.()设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=.所以|PQ|=,|QF|=+x0=+.由题设得+=,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C的方程为y2=4x.(5分)()依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m0).代入y2=4x得y2-4my-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.故AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).又l的斜率为-m,所以l的方程为x=-y+2m2+3.将上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.设M(x3
10、,y3),N(x4,y4),则y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).故MN的中点为E,|MN|=|y3-y4|=.(10分)由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,从而|AB|2+|DE|2=|MN|2,即4(m2+1)2+=.化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.(12分)16. (2014四川,20,13分)已知椭圆C:+=1(ab0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.()求椭圆C的标准方程;()设F为椭圆C的左焦点,T为直线x=-3上任意一点,过F作TF的
11、垂线交椭圆C于点P,Q.(i)证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);(ii)当最小时,求点T的坐标.答案 16.查看解析解析 16.()由已知可得解得a2=6,b2=2,所以椭圆C的标准方程是+=1.()(i)由()可得,F的坐标是(-2,0),设T点的坐标为(-3,m).则直线TF的斜率kTF=-m.当m0时,直线PQ的斜率kPQ=,直线PQ的方程是x=my-2.当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,其判别式=16m2+8(m2+3)0.所以
12、y1+y2=,y1y2=,x1+x2=m(y1+y2)-4=.所以PQ的中点M的坐标为.所以直线OM的斜率kOM=-,又直线OT的斜率kOT=-,所以点M在直线OT上,因此OT平分线段PQ.(ii)由(i)可得,|TF|=,|PQ|=.所以=.当且仅当m2+1=,即m=1时,等号成立,此时取得最小值.所以当最小时,T点的坐标是(-3,1)或(-3,-1).17. (2014广东,20,14分)已知椭圆C:+=1(ab0)的一个焦点为(,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.答案 17.查看解析解
13、析 17.(1)由题意知c=,e=,a=3,b2=a2-c2=4,故椭圆C的标准方程为+=1.(2)设两切线为l1,l2,当l1x轴或l1x轴时,l2x轴或l2x轴,可知P(3,2).当l1与x轴不垂直且不平行时,x03,设l1的斜率为k,且k0,则l2的斜率为-,l1的方程为y-y0=k(x-x0),与+=1联立,整理得(9k2+4)x2+18(y0-kx0)kx+9(y0-kx0)2-36=0,直线l1与椭圆相切,=0,即9(y0-kx0)2k2-(9k2+4)(y0-kx0)2-4=0,(-9)k2-2x0y0k+-4=0,k是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的一个根,同理,-是
14、方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的另一个根,k=,整理得+=13,其中x03,点P的轨迹方程为x2+y2=13(x3).检验P(3,2)满足上式.综上,点P的轨迹方程为x2+y2=13.18. (2014江西,20,13分)如图,已知双曲线C:-y2=1(a0)的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐近线上,AFx轴,ABOB,BFOA(O为坐标原点).(1)求双曲线C的方程;(2)过C上一点P(x0,y0)(y00)的直线l:-y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=相交于点N.证明:当点P在C上移动时,恒为定值,并求此定值.答案 18.查看解析解析 18.(1)设F(c,0),因为
15、b=1,所以c=,直线OB的方程为y=-x,直线BF的方程为y=(x-c),解得B.又直线OA的方程为y=x,则A,kAB=.又因为ABOB,所以=-1,解得a2=3,故双曲线C的方程为-y2=1.(2)由(1)知a=,则直线l的方程为-y0y=1(y00),即y=.因为直线AF的方程为x=2,所以直线l与AF的交点为M;直线l与直线x=的交点为N,则=.因为P(x0,y0)是C上一点,则-=1,代入上式得=,所求定值为=.19. (2014陕西,2017,13分)如图,曲线C由上半椭圆C1:+=1(ab0,y0)和部分抛物线C2:y=-x2+1(y0)连接而成,C1与C2的公共点为A,B,其
16、中C1的离心率为.()求a,b的值;()过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),若APAQ,求直线l的方程.答案 19.查看解析解析 19.()在C1,C2的方程中,令y=0,可得b=1,且A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆C1的左,右顶点.设C1的半焦距为c,由=及a2-c2=b2=1得a=2.a=2,b=1.()解法一:由()知,上半椭圆C1的方程为+x2=1(y0).易知,直线l与x轴不重合也不垂直,设其方程为y=k(x-1)(k0),代入C1的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*)设点P的坐标为(xP,yP),直线l过点B,x=1是方程(
17、*)的一个根.由求根公式,得xP=,从而yP=,点P的坐标为.同理,由得点Q的坐标为(-k-1,-k2-2k).=(k,-4),=-k(1,k+2).APAQ,=0,即k-4(k+2)=0,k0,k-4(k+2)=0,解得k=-.经检验,k=-符合题意,故直线l的方程为y=-(x-1).解法二:若设直线l的方程为x=my+1(m0),比照解法一给分.20.(2014江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1、F2分别是椭圆+=1(ab0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连结BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连结F1C.(1)若点C的坐标为,且B
18、F2=,求椭圆的方程;(2)若F1CAB,求椭圆离心率e的值.答案 20.查看解析解析 20.设椭圆的焦距为2c,则F1(-c,0),F2(c,0).(1)因为B(0,b),所以BF2=a.又BF2=,故a=.因为点C在椭圆上,所以+=1,解得b2=1.故所求椭圆的方程为+y2=1.(2)因为B(0,b),F2(c,0)在直线AB上,所以直线AB的方程为+=1.解方程组得所以点A的坐标为.又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为.因为直线F1C的斜率为=,直线AB的斜率为-,且F1CAB,所以=-1.又b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故e2=.因此e=.21.(2014辽宁,2
19、0,12分)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图),双曲线C1:-=1过点P且离心率为.()求C1的方程;()椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点,直线l过C2的右焦点且与C2交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程.答案 21.查看解析解析 21.()设切点坐标为(x0,y0)(x00,y00),则切线斜率为-,切线方程为y-y0=-(x-x0),即x0x+y0y=4,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=.由+=42x0y0知当且仅当x0=y0=时x0y0有最大值,即S有最小值,因此点P的坐标为(,)
20、.由题意知解得a2=1,b2=2,故C1的方程为x2-=1.()由()知C2的焦点坐标为(-,0),(,0),由此设C2的方程为+=1,其中b10.由P(,)在C2上,得+=1,解得=3,因此C2的方程为+=1.显然,l不是直线y=0.设l的方程为x=my+,点A(x1,y1),B(x2,y2),由得(m2+2)y2+2my-3=0,又y1,y2是方程的根,因此由x1=my1+,x2=my2+,得因=(-x1,-y1),=(-x2,-y2).由题意知=0,所以x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+4=0.将,代入式整理得2m2-2m+4-11=0,解得m=-1或m=-+1. 因此
21、直线l的方程为x-y-=0或x+y-=0.22.(2012太原高三月考，20,12分)已知曲线C:x2+=1.()由曲线C上任一点E向x轴作垂线,垂足为F,动点P满足:=3,求P点的轨迹方程,并讨论其轨迹的类型;()如果直线l的斜率为,且过点M(0,-2),直线l与曲线C交于A、B两点,又=-,求曲线C的方程.答案 22.()设E(x0,y0),P(x,y),则F(x0,0),=3,(x-x0,y)=3(x-x0,y-y0),代入曲线C中得x2+=1为所求的P点的轨迹方程.(2分)当=时,P点轨迹表示:以(0,0)为圆心,半径r=1的圆;(3分)当0时,P点轨迹表示:中心在坐标原点,焦点在y轴
22、上的椭圆;(5分)当0,且+20,(8分)2或0且-2,x1+x2=,x1x2=.又=x1x2+(y1+2)(y2+2)=3x1x2=-.(10分)解得=-14,(11分)曲线C的方程是x2-=1.(12分)22.23.(2012山西大学附中高三十月月考，21，12分）设椭圆的离心率，右焦点到直线的距离为坐标原点.（I）求椭圆的方程；（II）过点作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于两点，证明：点到直线的距离为定值，并求弦长度的最小值.答案 23.（I）由题意得，.由题意得椭圆的右焦点到直线即的距离为，椭圆C的方程为（II）设，直线AB的方程为则，直线AB的方程与椭圆C的方程联立得消去得整理得则
23、是关于的方程的两个不相等的实数根，整理得，O到直线AB的距离即O到直线AB的距离定值. 8分，当且仅当OA=OB时取“=”号.，又，,即弦AB的长度的最小值是23.24.(2012广东省“六校教研协作体”高三11月联考,20，14分）已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.（）求椭圆的方程；（）已知动直线与椭圆相交于、两点，若线段中点的横坐标为，求斜率的值；已知点，求证：为定值.答案 24.（1）由题意得2分解得，所以椭圆C的方程为.4分（2）设，直线方程与椭圆C的方程联立得消去，整理得，6分则是关于的方程两个不相等的实数根，恒成立，7分又中点的横坐标为，所以，解得.9分则，由知，所以，11分12分.14分24.