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1、WWW.51DX.ORG名校之路 源自金程2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案一、选择题:18 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1) 设 lim an = a ，且 a 0 ，则当 n 充分大时有 ()n(A)aa(B)a a -1(D) a 0 ，当 n N 时，nan 12 a .故选(A).(2) 下列曲线有渐近线的是（ ）(A) y = x + sin x(B)y = x 2 + sin x(C) y = x + sin1(D)y = x2 + sin1xx【答案】(C)
2、【金程解析】本题主要考查渐近线的定义、分类及求法：x + sin1sin1C 选项：limx= lim1 + limx= 1 + 0 =1 ，又 lim x + sin1- x = lim sin1= 0 ，x xx xxx xxx所以 y = x + sin 1x 存在斜渐近线 y = x . 故选(C).对于(A) (B) (D)均可验证没有渐近线.(3) 设 P (x ) = a + bx + cx 2 + dx3 ,当 x 0 时,若 P (x ) - tan x 是比 x3 高阶的无穷小,则下列试题中错误的是 ()(A)a = 0(B)b =1(C)c = 0(D)d = 16【答案
3、】(D)【金程解析】当 x 0 时由已知可得 P (x ) = a + bx + cx 2 + dx3 是无穷小，所以 a = 0 .而 limp ( x ) - tan x= limbx + cx 2+ dx 3 - tan x= limb + 2cx - sec2 x+ dx 3x 33x2x 0x 0x0所以 lim(b + 2cx - sec 2 x ) = 0, b =1.x0原式 = limb + 2cx - sec 2x+ d = lim2c-1+ d = 0, c = 0, d =1.故选(D).3 x 23 x33x 0x0经济学金融考研论坛 WWW.51DX.ORG名校之路
4、 源自金程(4) 设函数 f ( x) 具有二阶导数， g ( x ) = f (0)(1 - x ) + f (1)x ，则在区间 0,1 上()(A)当 f ( x) 0 时， f ( x ) g ( x)(B)当 f ( x) 0 时， f ( x ) g ( x)(C)当 f ( x) 0 时， f ( x ) g ( x)(D)当 f ( x) 0 时， f ( x ) g ( x)【答案】(D)【金程解析】本题考查函数单调性与凸凹性的判别.令 F ( x) = g ( x) - f ( x) = f (0)(1 - x) + f (1) x - f ( x) ，则 F (0) =
5、F(1) = 0 , F ( x ) = - f (0) + f (1) - f ( x) , F ( x ) = - f ( x) .若 f ( x) 0 ，则 F ( x) 0 ， F ( x) 在0,1 上为凸的.又 F (0) = F(1) = 0 ，所以当 x 0,1 时， F ( x) 0 ，从而 g ( x ) f ( x) .故选(D).0ab0a00b(5) 行列式 0cd0 = ()c00d(A) ( ad -bc)2 (B) -( ad -bc)2(C) a 2 d 2 -b 2 c2(D)b 2 c 2 - a 2 d 2【答案】(B)【金程解析】本题考查行列式的计算和
6、展开定理.由行列式的展开定理按照第一列展开0 a b 0 a 0 0 b 0 c d 0 c 0 0 d= - aab0- cab0= - ad ( ad - bc) + bc( ad -bc)c d 000b00dcd0= -( ad - bc)2 .故选(B).(6) 设 a1 , a2 , a3 均为三维向量，则对任意常数 k , l ,向量组 a1 + ka3 , a2 + la3 线性无关是向量a1 , a2 , a3 线性无关的 ()(A)必要非充分条件(B)充分非必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件【答案】(A)【金程解析】本题主要考查向量的线性无关性.经济学金融
7、考研论坛 WWW.51DX.ORG名校之路 源自金程 10 (a + kaa + la ) = (aaa ) 01 .1323123 kl 10) 记 A = (a1 + ka 3a 2 + la3 )，B = (a1 a 2a3. 若a1 , a 2 , a3 线)，C = 01l k性无关，则 r ( A) = r ( BC ) = r (C) = 2 ，故a1 + ka 3 , a 2 + la3 线性无关.) 反例. 令a3 = 0 ，则a1 , a2 线性无关，但此时a1 , a 2 , a3 却线性相关.综上所述，对任意常数 k , l ，向量a1 + ka 3 , a 2 + l
8、a3 线性无关是向量a1 , a 2 , a3 线性无关的必要非充分条件. 故选(A).(7) 设随机事件 A 与 B 相互独立，且 P ( B) = 0.5 ， P ( A - B) = 0.3 ，则 P ( B - A) =()(A) 0.1(B) 0.2(C) 0.3(D) 0.4【答案】(B)【金程解析】本题考查随机事件的减法公式 . 由于 P ( A - B) = 0.3， 且A 与 B 独立，P ( B ) = 0.5，P( A - B) = P( A) - P( AB) = P( A) - P( A) P( B)= P( A) - 0.5 P( A) = 0.5 P( A) =
9、0.3，则 P ( A )= 0 .，6则 P( B - A) = P( B) - P( AB) = P( B) - P( A) P( B) = 0.5 - 0.5 0.6 = 0.5 - 0.3 = 0.2 . 故选(B).(8) 设 X 1 , X 2 , X3 为来自正态总体 N (0, s 2 ) 的简单随机样本，则统计量 S = X 1 - X 2 服从2 X 3的分布为 ()(A)F (1,1)(B) F (2,1)(C) t(1)(D) t(2)【答案】(C)【金程解析】本题考查数理统计的三大分布.因为 X 1 , X 2 ,X3 来自总体 X N (0, s 2 ) ，则X 1
10、 - X 2与2X 1- X 2X3独立. X 1 - X 2N (0, 2s ,) ，则N (0，1) .2s经济学金融考研论坛 WWW.51DX.ORG名校之路 源自金程X 32X 1 - X 2X3s22N (0，1) ,则c（1）.利用分布的典型模式得到（t1）,ss2X23s 2即 X 1 - X 2 （t1）.故选(C).2 X31二、填空题：914 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 设某商品的需求函数为 Q = 40 - 2 p （ p 为商品的价格），则该商品的边际收益为_.【答案】 20 - Q【金程解析】本题考查导数的经济意义. 价格
11、 p = 40 - Q ，收益函数 R = P Q = 40 - Q Q ，22故边际收益为 dQdR = 20 - Q .(10) 设 D 是由曲线 xy + 1 = 0 与直线 y + x = 0 及 y = 2 围成的有界区域，则 D 的面积为_.【答案】 32 - ln 2213【金程解析】本题考查定积分的应用-求面积. S = 1 ( y - y )dy = 2 - ln 2 .a 1(11) 设 0 xe 2 x dx = 4 ，则 a =_.1【答案】 2x1【金程解析】本题考查定积分的参数计算.因为 xe 2 x dx = ( 2 - 4)e 2 x + C则 0a xe 2
12、x dx = ( 2x - 14 )e 2 x 0a = ( a2 - 14 )e2a + 14 ，又 0a xe2 x dx= 14 所以 ( a2 - 14 )e2a = 0即 a = 121 1 ex2(12) 二次积分 0 dy y ( x - e y 2 )dx = _.【答案】 12 ( e -1)【金程解析】本题考查二重积分的计算.经济学金融考研论坛 WWW.51DX.ORG名校之路 源自金程01 dy y1 (e x 2- e y 2 )dx = 01 dy y1ex2dx - 01 dy y1 e y 2 dxxx= 01 dx 0xex2dy - 01 (1 - y )e
13、y 2 dy= 01 e x 2 dx - 01 (1 - y )e y 2 dyx= 01 ye y 2 dy = 12 e y 2 10 = 12 (e -1)(13) 设二次型 f (x1 , x2 , x3 ) = x12 - x22 + 2ax1 x3 + 4x2 x3 的负惯性指数是 1 ，则 a 的取值范围_.【答案】-2, 2【金程解析】本题考查二次型的相关概念.二次型化标准形可以选择正交变换法和配方法，本题可采用配方法： f (x1 , x2 , x3 ) = ( x1 + ax3 )2 - ( x2 - 2 x3 )2 + (4 - a 2 )x32因为二次型负惯性指数为
14、1，所以 4 - a2 0 ，即-2 a 2 . 2x, q x 2q,(14)设总体 X 的概率密度为 f (x;q ) = 3q 2其中q 是未知参数，其他,0,nX 1 , X 2 , X n 为来自总体 X 的简单样本，若 E ( c X i2 ) = q 2 ，则 c = _.i=1【答案】25n【金程解析】本题考查样本期望的计算.E ( X 2 ) = -+ x 2 f ( x; q)dx = q2q x 2 32qx2 dx= 3q2 2 14 x4 q2q = 5q22 ，n5n2E c X i2 = ncE ( X 2 ) =q 2 c = q 2 ， c =.2i=15n三
15、、解答题：1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)求极限 limx+x 1 t 2 e t - 1 - t dt1 .2+1 xln 1x 【金程解析】本题考查极限的计算.经济学金融考研论坛 WWW.51DX.ORG名校之路 源自金程x 1x 1 1 t 2(e t -1) - t dt1 t 2(e t- 1) - t dtlim= lim11x +x 2 ln(1+)x+x2xx11=tt- 1 - tt-1x= limeet1= lim x 2 (e- 1) - x= lim= lim=.xt 22
16、t2t2x+t 0 +t 0 +t 0+(16)(本题满分 10 分)设平面区域D =(x, y)1 x 2 + y 2 4, x 0, y 0 ,计算x sin (p)x 2+ y2dxdy .x + yD【金程解析】本题考查二重积分的计算和性质.因为区域 D 关于 y = x 对称，满足轮换对称性，则有x sin(px 2 + y 2 )dxdy = y sin(px 2 + y2 )dxdyDx + yDx + y x sin(p) I = x sin(px 2+ y 2 )dxdy =1x 2 + y 2 )+y sin(p x 2+ y2dxdyx + y2x + yx + yDD1
17、1psin(p)dxdy =dq 12 sin p r rdr=x 2+ y 2022D21 p1222=( -) 1rd cosp r = - cos p r r |1-1cosp rdr 4p4= - 1 2 + 1 - p1 sin p r |12 = - 34 4(17)(本题满分 10 分)设函数 f (u) 具有连续导数， z = f (e x cos y) 满足cos y xz - sin y yz = (4 z + e x cos y) ex .若 f (0) = 0, f (0) = 0 ，求 f (u) 的表达式.【金程解析】本题考查多元函数偏导数的计算和微分方程的求解，属
18、于综合性题目.容易计算： xz = f ( e x cos y ) e x cos y, yz = f ( e x cos y ) ( -e x sin y), cos y xz - sin y yz = f (e x cos y ) e x cos 2 y + f (e x cos y ) e x sin2 y经济学金融考研论坛 WWW.51DX.ORG名校之路 源自金程= f (e x cos y ) ex ,由已知， f (e x cos y ) e x = (4 f + e x cos y )ex ,即 f - 4 f = e x cos y, 令 e x cos y = t ，则 f
19、 (t ) - 4 f (t ) = t ，这是一阶线性微分方程。 4 dt -4dt114t由公式得 f (t ) = e tedt + C = -t -+ Ce.416由 f (0) = 0 得 C = 161 . f (t ) = - 14 t - 161 + 161 e4t . f (u ) = - 14 u - 161 + 161 e4u .(18)(本题满分 10 分)求幂级数 ( n + 1)( n + 3)xn 的收敛域及和函数.n=0【金程解析】本题考查幂级数的收敛域的概念与和函数的求法.(I) 因为 an = ( n + 1)( n +3)lim an+1 =1 ，所以 R
20、=1nan当x = 1 时， ( n + 1)( n + 3)xn 发散. 故收敛域为（-1,1）n=0（II）记 S ( x ) = ( n + 1)( n + 3) x n = ( ( n + 3) x n +1 ) = ( g ( x)n = 0n=0xg ( x ) = ( n + 3)x n +1 = ( n + 2)x n +1 + xn+1 = ( xn+2 ) +1- xn = 0n = 0n=0n=0= (x 2) +x=3 x - 2x2， -1 x 1- x(1 - x)211- x S ( x ) = 3 x - 2 x 2 =3 - x, -1 x 1(1 - x )
21、 2(1 - x)3(19)(本题满分 10 分)设函数 f ( x ), g( x) 在区间 a , b 上连续，且 f ( x) 单调增加， 0 g ( x) 1，证明：(I) 0 ax g (t) dt x - a , x a , b；b(II) aa + a g (t)dt f ( x ) dx ab f ( x) g( x) dx .【金程解析】本题考查不等式的证明和积分的性质.（I）由积分中值定理得： ax g (t )dt = g (x )(x - a ) , x a , x经济学金融考研论坛 WWW.51DX.ORG名校之路 源自金程0 g (x) 1， 0 g (x )(x
22、- a ) ( x - a) 0 ax g (t )dt ( x - a)（II）令 F (u ) = au f (x ) g (x ) dx - aa +au g ( t ) dt f (x ) dxF (u ) = f (u ) g (u )- f (a + au g (t )dt ) g (u ) = g (u ) f (u )- f (a + au g (t )dt )由（I）知 0 u g tdt u - a) a a + u g t d t ua ( )(a ( )又由于 f (x)单增，所以 f (u )- f (a + au g (t )dt ) 0 F (u ) 0，F (u
23、)单调不减， F (u ) F (a) = 0取 u = b ，得 F (b) 0 ，即（II）成立.(20)(本题满分 11 分) 1 - 23- 4 设矩阵 A = 01-1 1 ， E 为三阶单位矩阵.(I)求方程组 Ax = 0 的一个基础解系；(II)求满足 AB = E 的所有矩阵 B .【金程解析】本题考查线性方程组基础解系和矩阵方程的计算. 1 -2 3 -4 1 0 0 1 -2 3 -4 1 0 0 (A E ) = 0 1 -1 1 0 1 0 0 1 -1 1 0 1 0 1 2 0 -3 0 0 1 0 4 -3 1 -1 0 1 1 -2 3 -4 1 00 1 0
24、 0 1 26 -10 1 -1 1 01-2-1-3 0 01 01,0 0 1 -3 -1 -4 100 1-3-1-41(I) Ax = 0 的基础解系为x = ( -1, 2, 3,1)T(II) e1 = (1, 0, 0 )T , e2 = ( 0,1, 0 )T , e3 = (0, 0,1)TAx = e1 的通解为 x = k1x + ( 2, -1, -1, 0 )T = ( 2 - k1 , -1 + 2 k1 , -1 + 3k1 , k1 )T Ax = e2 的通解为 x = k 2x + ( 6, -3, -4, 0 )T = ( 6 - k 2 , -3 + 2
25、 k 2 , -4 + 3k 2 , k2 )T Ax = e3 的通解为 x = k3x + ( -1,1,1, 0 )T = ( -1 - k3 ,1 + 2k3 ,1 + 3k3 , k3 )T 2 - k16 - k 2- 1 - k3-1 + 2 k - 3 + 2 k1 + 2k（ k , k , k B = 123为任意常数） -1 + 3k - 4 + 3k1 + 3k123123 k1k 2k3(21)(本题满分 11 分)经济学金融考研论坛 WWW.51DX.ORG名校之路 源自金程 111 001证明 n 阶矩阵 111与 002相似.100n 11【金程解析】本题考查相
26、似矩阵的概念和判定. 1 12已知 A = (11)， B = (0 01)， 1 n则 A 的特征值为 n ， 0 ( n -1重).A 属于 l = n 的特征向量为 (1,1,1)T ； r ( A) =1，故 Ax = 0 基础解系有 n -1个线性无关的解向量，即 A 属于 l = 0 有 n -1 个线性无关的特征向量；故 A 相似于对角阵 n0L = .0B 的特征值为 n ，0 ( n -1重)，同理 B 属于 l = 0 有 n -1个线性无关的特征向量,故 B相似于对角阵 L .由相似关系的传递性， A 相似于 B .(22)(本题满分 11 分)设随机变量 X 的概率分布
27、为 P X = 1 = P X = 2 = 12 , 在给定 X = i 的条件下，随机变量Y 服从均匀分布U (0, i ) , (i =1, 2) .(I)求 Y 的分布函数 FY ( y ) ；(II)求 EY .【金程解析】本题考查随机变量分布函数和期望的计算.(I)设 Y 的分布函数为 FY (y) ，则FY ( y ) = P Y y = P X = 1P Y y | X = 1+ P X = 2P Y y | X = 2= 12 P Y y | X = 1+ 12 P Y y | X = 2当 y 0 时， FY ( y) = 0 ；当 0 y 1时， FY ( y) = 12 (y + 2y ) = 34y ；当1 y 2 时， FY ( y) = 12 (1 + 2y ) ；经济学金融考研论坛 WWW.51DX.ORG名校之路 源自金程当