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1、第3章 连续系统的时域分析,例1.对图示电路列写电流的微分方程。,解：由两类约束关系，分别列两回路方程得： 回路1的KVL方程：,回路2的KVL方程：,电阻R的伏安关系： 整理后得：,例2. 对图示电路，写出激励e(t)和响应r(t)间的微分方程。,解：由图列方程,KCL:,KVL:,将（2）式两边微分，得,将（3）代入（1）得,*由以上例题可以得出如下结论： 1.求得的微分方程阶数与电路的阶数一致。 例一：含有4个储能元件，故为四阶电路。 例二：含有2个储能元件，故为二阶电路。,2.无论是电流i(t)或电压U（t）,他们的齐次方程相同。 说明同一系统的特征根相同，即自由频率是唯一的。,2.描
2、述连续时间系统激励与响应关系的数学模型。,一般，对于一个线性系统，其输入与输出之间关系，总可以用下列形式的微分方程来描述：,n阶常系数微分方程,3.n阶常系数微分方程的求解法,全响应= 齐次方程通解 + 非齐次方程特解 （自由响应） （受迫响应）,全响应= 零输入响应 + 零状态响应 （解齐次方程） （叠加积分法）,时域分析法 （经典法）,变换域法 （第五章拉普拉斯变换法）,微分方程求解,描述LTI连续系统激励与响应关系的数学模型是n阶线性常系数微分方程。,上式缩写为：,令,特解是满足微分方程并和激励信号形式有关的解。,激励,特解,或,等于,A,有,所有特征根均不等于,自由响应 （瞬态响应）,
3、强迫响应 （稳态响应）,零输入响应,零状态响应,零状态响应的齐次解,自由响应,式中,零输入响应,3.1.2 零输入响应和零状态响应,1. 零输入响应(Zeroinput response,ZIR )：换路后电路无外施激励源，仅由动态元件的初始储能引起的响应。,经典法,特征方程,特征根,1）一阶系统方程,ZIR应为,2） 二阶系统方程,特征方程,特征根,ZIR应为,式中，系数A1和A2由初始值yzi(0+)和yzi(0+)确定。,零状态响应(Zerostate response,ZSR)：动态元件的初始储能为零，仅由外施激励源引起的响应。,2.零状态响应,一阶连续系统的微分方程的标准形式为,对上
4、式从0-到t积分，得,对因果系统，yzs (0-)=0,若令 则,上式是以为积分变量，以t为参变量的积分，常称之为卷积积分，g1(t)称为一阶系统的特征函数。,例：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t) 求（1）当f(t) = 2e-t时的零状态响应； （2）当f(t) = e-2t时的零状态响应。,解: (1) 特征方程为2+5+6=0, 其特征根1=2，2=3。 齐次解为yh(t)=C1e2t+C2e3t,由表可知，当f(t) = 2et时，其特解可设为 YP(t)=Pet,将其代入微分方程得 Pet+5(Pet)+6Pet=2et 解得 P=1,
5、于是特解为yp(t) = et 零状态响应为： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e2t + C2e3t + et,其中待定常数C1,C2由初始条件确定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 0，y(0) =2C13C21=0 解得C1 =2 ，C2 =1 最后得零状态响应为 y(t) = et2e2t +e3t, t0,（2）齐次解同上。当激励f(t)=e2t时，其指数与特征根之一相重。其特解为 yp(t) = (P1t + P0)e2t,代入微分方程可得 P1e-2t = e2t ,所以P1= 1 但P0不能求得。,全解为 y(t)= C1e2t + C2e3t + te2
6、t + P0e2t = (C1+P0)e2t +C2e3t + te2t,将初始条件代入，得 y(0) = (C1+P0) + C2=0 ， y(0)= 2(C1+P0) 3C2+1=0,解得 C1 + P0 = 1 ,C2=1， 最后得微分方程的全解为 y(t) = te2te2t + e3t , t0 上式第一项的系数C1+P0=1，不能区分C1和P0，因而也不能区分自由响应和强迫响应。,3.2.1 冲激响应 1.定义：当激励为单位冲激函数 时，系统的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，用h(t)表示。,零状态,3.2 阶跃响应与冲激响应,2. h(t)的求解方法 例1.描述某系统的
7、微分方程为 试求该系统的冲激响应h(t)。 解：由冲激响应的定义，当e(t)= 时，,试求该系统的冲激响应h(t)。,解：,3.2.2 阶跃响应 1.定义:当激励为单位阶跃函数(t)时，系统的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用s(t)或g(t)表示。,2.g(t)的求解方法,另外：,3.3.1 卷积的概念与性质,3.3 卷积及其应用,一、 卷积的定义,二、卷积的性质 1.交换律： 2.分配律： 3.结合律：,4.卷积的微分性质 5.卷积的积分性质 由4.5两性质可得,6.卷积的延时性质,函数与冲激函数的卷积,函数与阶跃函数的卷积,例2、,解：,由微分性,延时性,3.3.2 系统的卷积
8、分析法,3.3.3 卷积的计算：图形扫描法,下页动画演示卷积,卷积动画,卷积动画,解： 问：,利用卷积求系统的零状态响应，必须知道系统的冲激响应。虽然利用算子求冲激响应比较方便，但必须利用部分分式展开确定有关系数求取h(t)后，再与输入信号卷积后才能完成。如何直接利用卷积方法求取系统的零状态响应和冲激响应呢？这就是本节所要解决的问题。,3.4 特征函数及其应用,1. 特征函数的概念,强迫函数,则,特征方程,特征根,算子形式的微分方程,如何利用卷积求零状态响应y(t)呢？ 一阶系统,其算子方程为：,即,方程的解为,对于二阶系统，,推广之，若n阶LTI系统的微分方程为,其特征方程的根为,则系统的ZSR为,2.特征函数的应用,故零状态响应,解：,特征方程,特征根,例2 求RLC串联电路以uC(t)为输出的冲激响应。 （1） （2） （3） （4）,解：,（1）,，从而,（3）,（2）,（4）,下面再看二阶系统的阶跃响应。,求例2中的阶跃响应，只要对冲激响应分别积分即可。 （1）,（2）,（3）,（4）,