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第四部分 常微分方程数值解法,本章主要介绍一阶常微分方程初值问题的数值解法。,初值问题及其数值解的概念,1 引言,常用的一些解析解法：,一阶常微分方程初值问题：,初值问题 的解析解及其数值解的几何意义：,初值问题 的解表示过点 的一条曲线,初值问题 的数值解表示一组离散点列,积分曲线,2 Euler方法,Euler方法的导出,将 在点 处进行Taylor展开,略去 项：,然后用 代替 ，即得,称上述公式为向前Euler 公式。,Euler，1707-1783,18世纪数学巨星,“分析的化身”,若将 在点 处进行Taylor展开,略去 项：,然后用 代替 ，即得,称上述公式为向后Euler 公式。,解：,向前Euler公式：,向后Euler公式：,局部截断误差和阶,如向前Euler方法的局部截断误差,一阶方法,预测：,校正：,隐式的处理：,3 龙格-库塔（Runge-Kutta）方法,若取其一组解,若取其另一组解,类似前面的处理方法，可以得到四级方法,局部截断误差,最常用的一种四阶方法：,解：,经典的四阶Runge-Kutta公式：,4 方程组与高阶方程的数值解法,一、一阶微分方程组初值问题的一般形式,初始条件:,写成向量的形式:,n=2对应的Runge-Kutta公式,作下列变量代换可将其化为一阶方程组的初值问题:,二、高阶微分方程初值问题的一般形式,