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1、第三节 三重积分,一 三重积分的概念,类似二重积分解决问题的思想, 采用,引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀,的物质,求分布在 内的物质,可得,“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”,解决方法:,的质量 M .,密度函数为,定义.,存在,称为体积元素,若对 ,任意取点,则称此极限为函数,在上的三重积分.,在直角坐标系下常写作,三重积分的性质与二重积分相似.,性质:,例如,中值定理.,在有界闭域 上连续,则存在,使得,V 为 的,体积,下列“乘积和式” 极限,设,在有界闭区域,上有界，,作任意分割:,二 三重积分在直角坐标系下计算,设,则对任意固定,从而,特别如果,先定后重,同理如
2、果,其中 为三个坐标,例1. 计算三重积分,所围成的闭区域 .,解:,面及平面,例2,计算三重积分,其中,是由,曲面,围成的空间区域。,解,例3,化三重积分,为直角坐标下,的三次积分。,解,2）,由,围成的区域,解,2）,是由,围成的区域。,解,如果区域,落在平面,之间，,则,先重后定,例4 计算三重积分,其中,围成的闭区域。,是由曲面,解,对于,三 重积分在柱坐标系下计算,就称为点M 的柱坐标.,直角坐标与柱面坐标的关系:,坐标面分别为,圆柱面,半平面,平面,如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为,因此,其中,适用范围:,1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ;,2) 被积函数用柱面坐标表
3、示时变量互相分离.,定限原则,其中为由,例5 计算三重积分,所围,解: 在柱面坐标系下,及平面,柱面,成半圆柱体.,例6 计算三重积分,解: 在柱面坐标系下,所围成 .,抛物面,原式 =,其中由,例7 计算三重积分,其中由,所围成 .,解,四 三重积分在球坐标系下计算,球坐标与直角坐标之间的关系：,球坐标下坐标面,球面,半圆锥面,半平面,如图，球坐标下体积元素为,适用范围:,1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单;,2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.,其中,例8 计算三重积分,解: 在球面坐标系下,所围立体.,其中,与球面,例9 将三重积分,化为球,坐标下的三次积分,1）,解,2）,解,3）,解,例10 设,计算,解,原式 =,奇函数,则三重积分为零，,使用对称性时应注意：,说明,1 积分区域关于坐标面的对称性；,例11 设由曲面,和,所围成 , 计算,解,利用对称性,用球坐标,