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1、1.2.4 平面与平面的位置关系,两个平面可能有哪些位置关系呢? 现观察长方体A-C1的各个面的关系:,有一条公共直线,没有公共点,画两个相交平面的要点是： 先画表示两个平面的平行四边形的相交两边， 再画表示两个平面交线的线段,命题1如果两个平面平行，那么其中一个平面 内的所有直线一定都和另一个平面平行 命题2如果一个平面内的所有直线都和另一个 平面平行，那么这两个平面平行,1.平面平行,平面平行的判定定理: 如果一个平面内的两条相交直 线分别平行于另一个平面,那么这两 个平面平行.,例1.如图,在长方体A-C1中. 求证:面AB1D1/面BDC1,判断下列命题的正误： 1垂直于同一直线的两直
2、线平行 2分别在两个平行平面内的两条直线都平行 3如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行 4如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行,证明：,B1D1AB1=B1,面AB1D1 面BDC1,线线,线面,面面,例1.如图,在长方体A-C1中. 求证:面AB1D1/面BDC1,证法2：,A1CBD,BDBC1=B,A1C面BDC1,变形1:如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， E,F,G分别为A1D1, A1B1, A1A的中点 求证：面EFG面BDC1,变形2:若O为BD上的点 求证：OC1 面EFG,O,面面,由上知 面EFG面BDC
3、1,线面,OC1 面EFG,变形3:如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， E,F,M,N分别为A1B1, A1D1, B1C1, C1D1 的 中点,求证：面AEF面BDMN,思考:如果两个平面平行,那么; 1.一个平面内的一条直线是否平行于另一个平面? 2.分别在两平面内的两条直线的位置关系是_.,两平行平面的性质定理: 如果两个平行平面同时和第三 个平面相交,那么它们的交线平行.,例2.求证:如果一条直线垂直于 两个平行平面中的一个,那么它 也垂直于另一个平面.,A,B,判断下列命题是否正确？,1、平行于同一直线的两平面平行,2、垂直于同一直线的两平面平行,3、与同一直线成等角
4、的两平面平行,4、垂直于同一平面的两平面平行,5、若,则平面内任一直线a ,定义: 与两平行平面都垂直的直线叫做这两个平行平面的公垂线.夹在两平行平面之间的公垂线段叫做两平行平面间的距离.,练习: 1.判断下列命题是否正确.说明理由; (1)一平面内两条直线分别平行于另一个平面,则这两平面平行; (2)一平面内无数条直线分别平行于另一个平面,则这两平面平行; (3)平行于同一条直线的两个平面平行； (4)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行； (5)过平面外一条直线必能作出与已知平面平行的平面。,复习回顾,1.在平面几何中角是怎样定义的？,从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。,或:
5、一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。,二面角,2.在立体几何中,异面直线所成的角是怎样定义的？,直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a /a, b/ b,我们把相交直线a 和 b所成的锐角 （或直角）叫做异面直线所成的角。,3.在立体几何中,直线和平面所成的角是怎样定义的？,平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做这条直线和这个平面所成的角。,思考：异面直线所成的角、直线和平面所成的角与有什么共同的特征？,它们的共同特征都是将三维空间的角转化为二维空间的角,即平面角。,一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面。,一条直线上的一个点把这条
6、直线分成两个部分，其中的每一部分都叫做射线。,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。,这条直线叫做二面角的棱。,这两个半平面叫做二面角的面。,平面角由射线-点-射线构成。,二面角由半平面-线-半平面构成。,l,A,B,P,Q,二面角的表示,l,二面角 l ,二面角CAB D,二面角的画法,角,图形,构成,表示法,O,顶点,边,边,A,B,二面角,从平面内一点出发的两条射线所组成的图形.,从空间一条直线出 发的两个半平面所 组成的图形.,定义,射线,点,射线,半平面,棱,半平面,AOB,二面角,a,或,AB,a,棱,面,面,A,B,以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于
7、棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。,平面角是直角的二面角叫做直二面角.,二面角的度量,l,二面角的平面角的三个特征:,1.点在棱上,2.线在面内,3.与棱垂直,二面角的大小的范围:,二面角的平面角的作法：,1、定义法,3、垂面法,2、三垂线定理法,练习：指出下列各图中的二面角的平面角：,二面角B-BC-A,l,二面角-l-,O,E,O,O,二面角A-BC-D,D,A,O,D,例1 已知锐二面角 l ，A为面内一点，A到 的距离为 2 ，到 l 的距离为 4，求二面角 l 的大小。,解：,过 A作 AO于O，过 O作 OD l 于D，连AD,则由三垂线定理得 AD l,AO=2
8、 ，AD=4, AO为 A到的距离 ， AD为 A到 l 的距离,ADO就是二面角 l 的平面角,sinADO=, ADO=60,二面角 l 的大小为60 ,在Rt ADO中，,AO AD,l,二面角的计算：,1、找到或作出二面角的平面角,2、证明 1中的角就是所求的角,3、计算出此角的大小,一“作”二“证”三“计算”,在正方体AC1中，求二面角D1ACD的大小？,此法为三垂线找平面角的方法,在正方体AC1中，E，F分别是AB，AD的中点，求二面角C1EFC的大小？,E,F,过正方形ABCD的顶点A引SA底面ABCD，并使平面SBC，SCD都与底面ABCD成45度角，求二面角BSCD的大小？,
9、A,B,C,A,M,已知：如图ABC的顶点A在平面M上的射影为点A， ABC的面积是S， ABC的面积是S，设二面角A-BC-A为,求证：COS = S S,3.两平面垂直,平面垂直的判定定理: 如果一个平面经过另一个平面 的一条垂线,那么这两平面垂直,平面垂直的性质定理: 如果两个平面互相垂直,那么 在一个平面内垂直于它们交线的 直线垂直于另一个平面.,D,B,A,E,例3.求证:如果两个平面垂直,那么经 过第一个平面内的一个点垂直于第二 个平面的直线必在第一个平面内。,1、三条侧棱相等,2、侧棱与底面所成的角相等,3、侧面与底面所成的角相等,4、顶点P到ABC的三边距离相等,5、三条侧棱两两垂直,6、相对棱互相垂直,7、三个侧面两两垂直,外心,外心,内心,内心,垂心,垂心,垂心,四面体ABCD中，面ADC面BCD，面ABD 面BCD，设DE是BC边上的高， 求证： 平面ADE 面ABC,面ADC面BCD,面ABD 面BCD,AD 面BCD,AD BC,DE BC,BC 面ADE,面ABC 面ADE,C,D,B,A,E,C,D,B,A,E,