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1、6.4 平面及其方程,6.4.1,6.4.2 两平面间的夹角,6.4.3 点到平面的距离,一个平面的法向量有无穷多个, 它们之间都是相互平行的,6.4.1 平面方程,如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量,设平面 的一个法向量,且平面过点M0(x0, y0, z0).,下面建立平面有 的方程,1 平面的点法式方程,平面的点法式方程,平面 上任一点M (x, y, z)的坐标都满足上面的方程, 而当点M (x, y, z) 不在平面 上时, 点M (x, y, z)的坐标不满足该方程,设M (x, y, z)是平面 上的任一点,(6.15),例1 设一平面过点M0(1, 0,
2、2)平面的法向量为,求此平面方程.,解 根据平面的点法式方程，得所求平面方程为,即,2 平面的一般方程,由平面的点法式方程,反之，三元一次方程,表示一平面。,这是因为：,以上两式相减 , 得平面的点法式方程,为平面的一般方程.,任取一组满足上述方程的数,则,显然方程与此点法式方程等价,的平面,此方程称,因此方程的,图形是法向量为,平面方程的几种特殊情况：,(1) D = 0, 平面通过坐标原点；,(2) A = 0, 平面平行于x 轴；,(3) A = B = 0, 平面平行于xoy 面或垂直于z 轴；,(4) A = D = 0, 平面通过x 轴.,解,所求平面方程为,化简得,例2,求过三点
3、,的平面方程.,取,-6(x-1)-3(y-0)+3(z+1)=0,2x+ 3y- 3z- 3=0.,例3,一平面过两个点M1(1,-5,1)及M2(3,2,-2),且平行于y 轴,求其方程.,解,由于所求平面与y 轴平行,故其方程的形式,设为Ax+Cz+D=0,因为点M1 和M2 都在上,其坐标,应当满足的方程,将这两个点的坐标代入到这个方,方程中,得到,A+C+D=0,3A-2C+D=0,解这个方程组,得,将这个结果代入到平面方程中,得,3x+2z- 5 = 0.,3 平面的截距式方程,设平面为,将三点坐标代入得,将,代入所设方程得,（通常取锐角）,两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.
4、,6.4.2 两平面间的夹角,设,由两向量夹角余弦公式有,特殊的：,/,例4,解 由两平面夹角的余弦公式得,求两平面x-4y+z-2=0与2x-2y-z-5=0的夹角.,6.4.3 点到平面的距离,设P0(x0, y0, z0)是平面 Ax+By+Cz+D = 0外一点, 求P0到平面的距离.,在平面上任取P1(x1, y1, z1), 则,于是得到点到平面距离公式,由于P1(x1, y1, z1)在平面上, 故,Ax1+By1+Cz1+D = 0,A(x1 x0)+B(y1 y0) +C(z1 z0),= Ax1 + By1 + Cz1 A x0 By0 Cz0,= A x0 By0 Cz0
5、 D,例5 求点P0 (-1,2,3)到平面x+2y-2z-6= 0的距离.,解,由点到平面的距离公式得,= 3,练习1,练习2 求通过,x轴和点,的平面方程.,练习3,练习4,练习5,求平行于平面,而与三个坐,标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.,取法向量,化简得,所求平面方程为,解,练习1,练习2 求通过,轴和点,的平面方程.,解 由于平面通过,轴，从而它的法线向量垂直,于是法线向量在,轴上的投影为零，,又由平面通过,轴，它必须通过原点，,因此可设这平面的方程为,代入所设方程并除以,得所求方程为,由平面过点(6, 3, 2)知,练习3,设平面为,由平面过原点知 D =0,所求平面方程为,解,于是,练习4,设平面为,由所求平面与已知平面平行得,解,化简得,令,所求平面方程为,代入体积,于是,练习5,解,设所求平面得一个法线向量为,又因所求的平面垂直于已知平面,所以有,由平面的点法式方程,可知，所求平面方程为,得,所以，所求的平面方程为：,