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1、“双剑合璧双剑合璧”巧解题巧解题 浅谈数形结合的解题方法 初二（5）班 陈衍宇 老子说过：“天下大事，必作于细，天下难事，必作于易。 ”因 此，解答数学题也是这样。我们应当从简单的情况做起，就要数形 结合，使得题目更加直观明了，此外，数形结合思想能转化思维角 度，迅速解题。笔者在硏究难题时，摸索出一系列数形结合的解题 方法，现展示出来与诸君共享。 从数形中寻找规律从数形中寻找规律 n 条直线最多能将平面分成多少份呢？要解决这个问题，可以 从简单的情况做起： 设 n 条直线最多能将平面分成 an份。 当 n=1 时，如图 1，显然 a1=2： 则有 a1=2=1+1 当 n=2 时，如图 2，则
2、 a2=4： 则有 a2=4=1+1+2 当 n=3 时，如图 3，则 a3=7： 则有 a3=7=1+1+2+3 图 1 图 2 图 3 依此类推，在增加第 n 条直线时，一条直线至多被前（n-1）条 直线分为 n 段，每段将原来平面被分成的部分分为两份，即； an= an-1+n= an-2+（n-1）+n= =1+1+2+n=1+ 2 ) 1( nn 由上述得出的方法是：解决类似循环的题目时，要结合图形的 规律来突破难关，快速解出难题。 列表简化。列表简化。 有这么一道题：某学校举办数学竞赛，、五 位同学得了前五名，发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次排列情 况。 说：“第三名，第五名”
3、； 说：“第四名，第五名” ； 说：“第一名，第四名” ； 说：“第一名，第二名” ； 说：“第三名，第四名” 。 老师说：“每个名次都有人猜对” 。问这五位同学的名次是怎样 排列的？ 看到这一大堆数据，相信大家也觉得头昏脑胀吧。为了能让这 些条件与结论之间的联系明朗化，我们不如列表格： 判断者名次一二三四五 由上表可见，被猜为第二名的只有一人，则可以断定是第 二名，而不是第三名，并由此推知是第三名。由是第三名推知 是第一名，继而确定是第五名，最后可知是第四名。 因此，五位同学的名次排列为：是第一名，是第二名， 是第二名，是第四名，是第五名。 当遇到大量且模糊的条件时，不妨列个表，既使条件一目
4、了然， 促进做题效率，让难题简化到我们能解决的水平，又提高了我们分 析题目的能力，多多益善。 巧画函数图象巧画函数图象 当我们学到用一次函数图象来解题时，觉得复杂且有偏差，不 好使用。事实上，某些较为复杂的行程问题，往往数量关系不明， 难以建立等量关系，如果我们通过建立一次函数模型，则可将隐藏 于文字中的数量关系，利用函数图象直观地显现出来，这就为解决 复杂的行程问题提供了一条简单有效的解题途径。请看下面一个例 子： 一巡逻艇和一货轮同时从港口出发前往相距公里的 港口，巡逻艇和货轮的速度分别为时速公里和公里，巡 逻艇不停的往返于、两港口巡逻（巡逻调头时的时间忽略不计） 。 ）货轮从港口出发以后
5、直到港口与巡逻艇一共相遇了几次？ ）出发多少时间，巡逻艇与货轮第三次相遇，此时离港口多少 米？ 解析：）由题意可画出巡逻艇（实线） 、货轮（虚线）行驶路 程与时间关系图象。如图所示，它们图象有四个交点（不包括原 点） ，因而货轮从港口出发以后直到港口与巡逻艇一共相遇次。 100 80 60 40 20 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -140 -160 -180 -200 -220 y(km) -551015 x(h) y1=20 x C F E O D A B 图 4 ）先观察出第三次相遇在图中是哪两条直线的交点。如图 ，设、所在直线的方程为 y2 =kx+b，又 E（3
6、，100） ， F（4，0） ，代入求得 k=-100，b=400，故 y2=-100 x+400.又 OD 所在 的方程为 y1 =20 x，联立，得： y=-100 x+400 y=20 x 解之得： x= 3 10 y= 3 200 即 C（，） 3 10 3 200 答：出发时巡逻艇与货轮第三次相遇，这时离 A 港口千米。 3 10 3 200 上面的例子，巧妙地将行程问题转化为一次函数的图象问题， 思路清晰，关系明了，使我们看到了数形结合的威力。其中，数形 结合也是用函数图象解题的一大特点，对于继续学习数学很重要。 数形结合是一种极富数学特点的信息转换，它能使抽象思维和 形象思维相互作用。只要八方贤人各抒己见，数形结合解题方法还 远不止这些。所以碰到难题时，请不要愄惧，一定要多开动脑筋， 化难为易，难题自然迎刃而解。