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1、第 3 0卷第 1 1期 2 0 1 1年 1 1月 怀化学院学报 J OUR NAL OF HUAI HU A UNI VE RSIT Y Vo 1 3 O No 1 1 NO V 2011 余元公式的两种证明方法 何郁 波 ， 罗思 雯 ( 怀化学院 数学 系 ， 湖南 怀化4 1 8 0 0 8 ) 摘要 ：余元公 式是 数学分析 中一个很 重要 的公 式 ，利用 E u l e r 公式 ，通过广 义积分及无 穷级数 的运算 ，用两种 方 法 证 明 了余 元 公 式 关键词 ： 余元公 式； E u l e r 公式 ； 归结原则 ： 一致 收敛 中图分类号 ：O 1 7 2 2 文
2、献标识码 ：A 文章编号 ：1 6 7 1 9 7 4 3 ( 2 0 1 1 )1 1 0 0 7 1 0 4 数 学 分 析 中 的余 兀 公 式 r( p ) r( 1一p )= s i n p r ， 0 p 1 ( 1 ) 是一个很重要的公式 几乎所6 - 的数学分析教材( 包括高等数学)都做 了简单介绍，但是都没有给出证明 另一方面 ，余元公式却特别重要 ，在概率积分 、欧拉公式 、含参量广义积分的计算和证明方面都有应用 下 面对余元公式做简单 的证 明 1 余元公式 的级数证 明法 引理 1 对 于 0 P 1 ， 有 古 + 毒 + 证 明 记 ，= = + 先计算瑕积分， 。
3、=I J 0 1 + ， = ( 一 1 ) 小 ， 0 ) ， l k 显然级 数( 一1 ) “ 。在区 间( o ， ) ( 1 ) = 上 O 是一致收敛的，因此有 = 鑫 = 塞 而级数 ( 一1 ) 在 0 ， 1 上一致收敛， 当 ：1 时具有左连续性， 从而 p + C l i m l i ra 一 毒 等 = 在 ， = 中 ， 令 y = 了1 ， 利 用 ( 5 ) 得 蠢 = 砉 收稿 日期 ：2 0 1 11 02 9 基金 项 目：怀化学院教改项 目 “ 加 强应 用数 学专业基 础课 程 实验教 学的研究与 实践” 作者简介 ：何郁波 ( 1 9 7 9一) ，男
4、，湖南岳阳人，怀化学院教师，主要研究微分方程数值解 万方数据 7 2 怀化学院学报 F 面 的弓 I 理是 利用 三角 函数 的 F o u r i e r 级 数来计 算 ( 2 )式 右边 的级数 引理 2 若 0 P 1 ， 则 ( -1 ) 1 kk 1 + )= ： r 。 、 证明 因为函数 ( )=c o s p x在 一丌 ， 丌 上的 F o u r i e r 级数为 c o s p = 砉 在 ( 8 )式 中令 = 0 ， 则 得 到公 式 ( 7 ) 证 毕 定理 I 对 于 0 P 0 设 = ( 0 ， 1 ) ， 其 中 ) ，0 ， 则 B ( p ， g )
5、 _ j 。 南 ， 在 ( 9 ) 式 中令 q = 1一P， 则得 B ( p ， 1 一 = j 。 因为 1_ (_ 旦 L) 1： 日( p ， 1一p ) 且 r( 1 )： l ， r( ) 一 、 、 一 所 以由引理 1 和引 理 2即得 余元 公式 2 余元公式的积分证明法 下面给出余元公式的另一种证明方法 引理 3 已知函数 f ( )=1+ ， 则当 m 0 ， 则5 。丁 ： J 一 + C +d b 一 0 c = l i m I N = l i m I N + = = N ： l i m詈I J v 一+ Z JN ： l i m - l n ( + 2 c +
6、d ) I ： + + + b 一 0 c b O ,C b 一 口 0 证 毕 由引理 3 ， 引理 4 ， 利用归结原则， 立即可得下面引理 引理 5 设 P 1 ， 则有公式 I ( p ) = 七 成 立 证 明 首 先设 P = ， 其 中 m， n z 且 n m 令 = ， 则 Z m+l I ( p )=( 2 m+1 ) J 0 由引理 3 及 ( 1 6 ) 、 ( 1 7 ) 式知 ， 当 k：1 ， 2 ， ， n时有 ： 2 r I 南 2m= 毒 + ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) ( 1 9 ) ( 2 0 ) 其中 。 =A +
7、=一 ( 2 +牙 2 m + 1 ) ， 6 =一 一 = ( 2 +面 c 一 1 ( + 以 = ： I I = 1 于是 ： 互 1 一 、 一 6 一 = ( 2 +元 )一 ( 2 一1+ 2 m + 1 ) ( + )=一 ( 2+ J 一元 2 m + 1 ) ( 一贾 ) ( 2 1 ) ( 2 2 ) 在 ( 2 0 )式两边求 ( 一，+o 。 )上的定积分 ，由 ( 2 1 ) 、( 2 2 )式并结合引理 4可得 = ( + 去 d x = lim I N 赫 = 一 2 2m +l ， 7 T 2 3 其中表示 I mx复数 的虚部 因此 ， 当 n ， m Z ，
8、 且 n m 时 ， 则 有 P = 1 由( 1 0 ) ， ( 1 9 ) ， ( 2 3 ) 式 立 即得 m+1 = 南 + 丌 k =l 2 ( 2 4 ) 南 d 一+ 一 1 一 一+ +一 一 C 一 2 0一 + ： 万方数据 7 4 怀化学院学报 2 0 1 1年 1 1月 = 丌 从 而 当 p = 时 ， I t ( 2 4 ) ， ( 2 5 ) 式知 ， ( p )= P k = l s i n ( 2 k一1 ) 0 ： 吾 砉 2 sin 0 c0 s( 2 _ 2 ) 一 = 1 ( 1 ) 而 c o s 2 n O： c o s ( 2 m +1 ) 丌
9、：一1 ， 所 以 )=p s in 0 = ” + 1 显然当n1 时， 广义积分I d t 关于P o 一致收敛， 所以， ( p ) J 0 l +t 结原则 ， 任取实数 P 1 ， 则存在数列 P 使得 p = 1 ， n ， m z ， n m 且 l i ra P =P 由( 2 6 ) 式知 ， 对任意实数 P 1 ， 有 ， ( p )： p “ 证 毕 利用引理 5 ，立即可得到余元公式 ( 1 ) 事实 上 ，当 0 P l 时连续 由归 Two Pr o o f s f o r t h e F o r mu l a o f Co mp l e me n t Va r i
10、 a bl e HE Yu b oLUO S i we n 丌 s l npa ( D e p a r t m e n t o f Ma t h e m a t i c s ，H u a i h u a U n i v e r s i t y ，H u a i h u a ，H u n a n 4 1 8 0 0 8 ) Ab s t r a c t ：I n t h e ma t h e ma t i c a n a l y s i s ，t h e f o r mu l a o f c o mp l e me n t v a ri a b l e i s v e r y i mp o a
11、n gI n t h i s p a p e r ，we u s e E u l e r s f o r mu l a ， g e n e r a l i z e d i n t e g r a l a n d s e ri e s t o g i v e t w o p r o o f s o f t h e f o r mu l a o f c o mp l e me n t v a ria b l e Ke y wo r d s： F o r mu l a o f c o mp l e me n t v a ria b l e ； E u l e r S f o r mu l a； e n d i n g p rin c i p l e； u n i r m c o n v e r g e n c e p 协一 一 p I l = 一 丌 一 p 一 一 p 万方数据 余元公式的两种证明方法余元公式的两种证明方法 作者：何郁波， 罗思雯 作者单位：怀化学院数学系,湖南怀化,418008 刊名： 怀化学院学报 英文刊名：Journal of Huaihua University 年，卷(期)：2011,30(11) 本文链接：