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1、向量的范数,例1 考虑下面的两个线性方程组：,其解分别为：,和,在对方程组的解进行误差分析、讨论解方程组的迭代法的收敛性以及讨论方程组的“优劣”时，需要利用向量与矩阵的范数的概念。,定义：设X=(x1,x2,xn)T Rn ,则定义:,(1)向量的2范数：,(2)向量的范数：,(3)向量的1范数：,定义 设向量XRn ,若X的实值函数N(X)=X,满足条件:,(1)非负性: X0 ,且X=0的充要条件为X=0;,(2)齐次性: kX =|k |X, kR；,(3)三角不等式:对任意 X,YRn ,都有: X+YX+Y,则称N(X)=X为Rn上的向量 X 的范数。,矩阵范数和条件数,定义:设矩阵
2、ARnn ,若A的实值函数N(A)=A,满足条件:,(1)非负性: A0 ,且A=0当且仅当 A=0;,(2)齐次性: A=| |A, R;,(3)三角不等式:A+BA+B;,(4)柯西施瓦茨不等式:ABAB.,则称A为矩阵A的范数.,定义：设向量XRn ,矩阵ARnn ,且给定一种向量范数Xp ,则称,为由向量范数派生的矩阵算子范数.,定理：设A=(aij)nn,则对应于3种常见的向量范数，有3种矩阵范数,列和的最大值,行和的最大值,是ATA的最大特征值，也称为谱范数,矩阵范数的一些性质：,证：,x为A的特征向量,#证毕,定义：设A=(aij)nn,的特征值为r，定义A的谱半径为：,条件数和病态矩阵,若矩阵A的条件数较大，则称A为病态矩阵。,注意到,因为：,条件数,很小,条件数表示了对误差的放大率,同样，类似有,注：一般判断矩阵是否病态，并不计算A1，而由经验得出。 行列式很大或很小（如某些行、列近似相关）； 元素间相差大数量级，且无规则； 主元消去过程中出现小主元； 特征值相差大数量级。,精确解为,A1 =,解：考察 A 的特征根,39206 1, 测试病态程度：,此时精确解为,2.0102 200%,为对称矩阵,