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1、工 程 数 学作业之一解答作业一：线性代数一问答题1叙述三阶行列式的定义。a11a12a13答：定义 1：用 32 个数组成的记号 a21a22a23表示数值：a31a32a33a22a23a21a23a21a22a11 a32a33a12 a31a33a13 a31a32称为三阶行列式，即：a11a12a13a22a23a21a23a21a22a21a22a23 a11a12a13a32a33a31a33a31a32a31a32a33a11a1n定义 2：用 n2 个数组成的记号 D表示数值：an1anna22a23a2 na21a23a2n( 1)1 1 a11a32a33a3 n ( 1
2、)1 2 a12a31a33a3nan 2an 3annan1an3anna21a22a2, n 1( 1)1 n a1na31a32a3, n 1an1an 2an ,n 1称为 n 阶行列式。2叙述 n 阶行列式的余子式和代数余子式的定义，并写出二者之间的关系。答：定义：在 n 阶行列式 D 中划去 aij 所在的第 i 行和第 j 列的元素后，剩下的元素按原来相对位置所组成的（n1）阶行列式，称为 aij 的余子式，记为 M ij ，即a11a1, j 1a1, j 1a1nM ij ai1,1ai1, j 1ai1, j 1ai1,nai1,1ai1, j 1ai1, j 1ai1,n
3、an1an, j 1an , j 1ann( 1)i jM ij称为 aij的代数余子式，记为 Aij ，即Aij ( 1)i jM ij3叙述矩阵的秩的定义。答：定义：设 A 为 m n 矩阵。如果 A 中不为零的子式最高阶为 r，即存在 r 阶子式不为零，而任何 r+1 阶子式皆为零，则称 r 为矩阵 A 的秩，记作（秩） r或 R（A ） r4叙述对称阵、可逆矩阵的定义。答：定义1：满足条件aija ji(i,j1,2, n)的方阵( aij )n n 称为对称阵。其特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等。定义 2：对于 n 阶方阵 A ，如果存在 n 阶方阵 B，使得 AB BA=
4、E ，其中 E 为 n 阶单位阵，则称 A 为可逆阵，称 B 为 A 的逆矩阵。5叙述矩阵的加法运算、数乘运算定义。答：定义 1：设两个 mn 矩阵a11a1nb11b1nA，Bam1amnbm1bmna11b11a1nb1n则称 mn 矩阵为矩阵A 与B 的和，记作A Bam1bm1amnbmn定义2：以数k 乘矩阵A 的每一个元素所得到的矩阵，称为数k 与矩阵A 的积，记作kA ，如果A (aij )m n ，那么kA=k (aij ) m n(kaij ) m n ,即ka11ka12ka1nkA=ka21ka22ka2 nkam1kam2kamm6叙述向量组的线性相关和线性无关的定义。
5、答：定义：设有向量组1 ,2 ,s,如果存在一组不全为零的数k1 , k2 ,ks, 使得k1 1k22kssO成立，则称向量组1 ,2 ,s, 线性相关。否则，即仅当 k1k2ks0 时 ， 才 有k1 1k2 2kssO 成 立 ，则 称 向 量 组1 ,2 ,s ,线性无关。7齐次线性方程组的基础解系是什么？a11 x1a12 x2a1n xn0答：定义：设 T 是a21 x1a22 x2a2n xn0的所有解的集合，若 T 中存在一an1 x1an 2 x2annxn0组非零解 1 , 2 , ,s , 满足（ 1） 1 , 2 , , s , 线性无关；（ 2）任意 T ，都可用 1
6、 , 2 , , s , 线性表出则称 1, 2 , , s , 是此方程组的 一个基础解系8试述克莱姆法则的内容。答：克莱姆法则：如果线性方程组a11x1a12 x2a1n xnb1a21x1a22x2a2n xnb2an1 x1an2 x2annxnbn的系数aij(i ,j1,2, n)构成的行列式D0 ,则此线性方程组有唯一解：x1D1 , x2DD2D, xnDnD,其中，D j (j1,2, n)是将系数行列式D 中第j列元素对应地换为常数项b1, b2 ,bn 得到的行列式a11a1, j 1b1a1, j1a1,na21a2, j 1b2a2, j1a2,nD jan 1an,
7、 j 1bnan, j 1ann二填空题（共8 题，每题 4 分，共计 32 分）1111行列式 D1114111若 A 是对称矩阵，则 ATAO。2a11a12a13a11a12a133设 A a21a22a23 ，则 3a213a223a2318|A|a31a32a336a316a326a334设 A, B 均为 3 阶矩阵，且 | A | | B |3，则 2 ABT72。1321311 5设行列式 D102，则 D 中元素 a23 的代数余子式 A23 =1126 n 阶行列式 D n 中元素 aij 的代数余子式 Aij 与余子式 M ij 之间的关系是Aij ( 1) i jM i
8、j 。7设矩阵 A 中的 r 阶子式 Dr0 ，且所有r+1阶子式（如果有的话）都为 0，则 r ( A)r 。10010018设 A 0 2 0 ，则 A 100。0012001a11 x1a12 x2a1n xn0a21 x1a22 x2a2 n xn0的系数行列式 | D | 0 ，9如果齐次线性方程组an1 x1an2 x2ann xn0那么它有只有零解10齐次线性方程组 AX 0 总有0解；当它所含方程的个数小于未知量的个数时，它一定有非零解。11用消元法解线性方程组AXb ，其增广矩阵 A 经初等行变换后 ,化为阶梯阵1531A0234 ，00st0000则(1)当 s=0,t0时
9、 ,AXb 无解 ;(2)当 s=0,t =0 时 ,AXb 有无穷多解 ;(3)当 s 0 , t 是任意实数时,AXb 有唯一解 .三计算题x1331计算行列式3x 5366x4解：原行列式可化为： (xx53333x 51)6x434( 3)66 x6 ( x2) 2 ( x4) x312x1612133132计算行列式1316 1001311922212131211解：原行列式可化为：1131610529 6100160214312905505295291424211214 1214 15（ 50209）6556556555520021113计算行列式4211 201102999812
10、1221022102解：原行列式可化为：001300132011029998201102039512051205212102395201395201 102 201102395 2(2)125251512 2600 1400 600 -18002311234设矩阵 A111, B112，求 AB 。0110112311235611解： AB 111 112 24 6011011101561161156| AB | 24 6( 1) 0624101425125已知行列式3714 ，写出元素 a43 的代数余子式 A43 ，并求 A43 的46125927值252解： A43 ( 1)4 3 M
11、43374462743437(22( 5)22)6446 541201116设 A2114， B21 ，求 ( I A) B 。020101143112100012010201解： ( I A)0100 211 4 221400100201021100011431143002011154(I A) B22142125021101531430129025321585437求矩阵 A742的秩。1041123253211742017420解： A585432532109521174201123271564034112358543027156317420095210000000000所以，矩阵的秩为
12、2x12x2x34x408解齐次线性方程组2x13x24 x35x40x14x213x314x4。0x1x27x3 5x40解：对系数矩阵施以初等变换：121412141214A 2345 0123 01 231413140612180000117503690000105210520123 01230000000000000000与原方程组同解的方程组为：x15x32x40x2x33x40所以：方程组的一般解为x15x32x4（其中， x3 , x4 为自由未知量）x22x33x43x1x2x309试问取何值时，齐次线性方程组2 x2x30 有非零解？x1x22x30解：系数行列式为：3111
13、2112021046021112021008所以，当8 时，该齐次线性方程组有非零解x1x23x3110解线性方程组3x1x23x31 。x15x29 x30解：对增广矩阵施以初等行变换：113111311131A313104620462159004610003所以，原方程组无解。2x1 5x2 3x32 x4111解线性方程组8x25x34x4。5x13解：对增广矩阵施以初等行变换：2 5 3 21 25321A9511585430222531121229510212215311114722209995215210109991999与原方程组同解的方程组为：x11 x34 x47999x25
14、 x32 x41999所以：方程组的一般解为x11 x34 x47999( x3, x4 是自由未知量 ) ;5 x32 x41x299901221312设矩阵 A 114, B5，解矩阵方程 AX BT 。2103621123解： A 142 1 ； BT153113622B T . 则有 X A 1 BT2112365由于 AX4 2 115916311367132222四应用题7某工厂采用三种方法生产甲乙丙丁四种产品，各种方案生产每种产品的数量如下列矩阵所示：甲 乙 丙 丁5974 方法一A 7 8 9 6 方法二4 6 5 7 方法三若甲乙丙丁四种产品的单位成本分别为 10、 12、8、15（万元），销售单位价格分别为 15、16、14、17（万元），试用矩阵运算计算用何种方法进行生产获利最大？1015解：设单位成本矩阵 C12，销售单价矩阵为 P16，则单位利润矩阵为814151755974511144B P C，从而获利矩阵为 L AB 7896133，于是可知，6465768822采用第二种方法进行生产，工厂获利最大。