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1、例1 解 多元函数 解 例2 法一 方程组各方程两边微分, 得 分析 变量4个,方程3个,独立自变量1个.由题意 选x为独立自变量. 法二 方程组各方程两边对x求导, 得 例3 解 分析 拉格朗日乘数法.法一 得 即得唯一驻点 根据题意距离的最小值一定存在, 且有 故必在取得最小值.唯一驻点, 法二 设P(x, y, z)为旋转抛物面 几何法. 法向量 上的任一点. 法三为旋转抛物面上任一点, 为平面上任一点. 由两点间距离公式有 令 试求 和 . 解题思路 再代入上式即得. 例4 解 则 设曲面上的任意点为且在此点的 法向量 上的任意一点处的切平面 都过原点. 例5 则 切平面方程为: 即证
2、. 上的任意一点处的切平面都过原点. 解 例6 此方向导数等于梯度的模? 此方向导数等于梯度的模? 例1 解 先去掉绝对值符号，如图 二、三重积分 例2 解 例3 解 例 证 例 解 由于被积函数含有抽象函数, 因此要采用 法一 故无法直接积出. 一些技巧. 奇函数奇函数 法二（画第二象限部分） （如图） 则有 对称性 作曲线 思考题 解 令 不能直接积出, 改变积分次序. 法一 故 法二 设 则 则 例5 解 证 所以, 例4 解 例6 解 例7 旋转曲面方程为 旋转曲面方程 设函数 连续且恒大于零, 其中 (1) 讨论 在区间 内的单调性. (2) 证明 例8 (1) 解 因为 球 极坐标
3、 (1) 讨论 在区间 内的单调性. 设函数 连续且恒大于零 所以, 单调增加. (1) 讨论 在区间 内的单调性. (2) 证 因 (2) 证明 要证明 只需证明即 令 则 故 单调增加. 因为所以 因此, (2) 证明 设函数 连续且恒大于零 思路: 闭合 非闭闭合 非闭 补充曲线或用公式 解 无穷级数 例 解 分母 根据级数收敛的必要条件， 级数 分子 分母 发散 正 解 从而有 级数 级数 收敛； 发散; 所以,原级数也发散 例 解 即原级数 如果收敛, 是条件收敛还是绝对收敛? 发散,发散 非绝对收敛 由莱布尼茨定理是交错级数, (1) 所以此交错级数收敛， 故原级数是 (2) 条件
4、收敛 例 解 两边逐项积分 收敛半径为 收敛域为 设此级数的和函数为s(x), 则有 例 解 分析 的和函数展开 的幂级数. 是 的展开式 , 设法用已知展开式来解. 解 故知 可知 例 A. 条件收敛B. 绝对收敛 C. 发散D.收敛性不能确定 绝对收敛. 对一切满足 阿贝尔定理 绝对收敛. 证 由已知条件知 因此,所以, 由级数收敛的必要条件, 例 解 例 例 证明在区间 上有 恒等式 并求级数 分析 欲证之等式等价于 这是要证明一个三角级数在指定区间内收 敛于一函数.这是傅里叶级数的反问题.证明这 类题的一般方法是将所给函数在指定区间内展 成傅里叶级数,看它是否等于给定的级数. 的和. 得 得 由于x2为偶函 数, 证故 解 例 得 处处收敛. 收敛 发散 解 例 可设 收敛半径 逐项求导 积分 得 得 求 的收敛 域与和函数. 提示 解 令 收敛域为 当 时, 收敛, 当 时, 收敛, 又设(逐项求导即可得) 和函数为 (逐项求导即可得)设 设 解 展开区间