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第四节 极限运算法则,一、极限运算法则,定理,证,由无穷小运算法则,得,推论1,常数因子可以提到极限记号外面.,推论2,有界，,二、求极限方法举例,例1,解,小结:,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例2,解,例3,(消去零因子法),解,例5,解,(无穷小因子分出法),小结:,无穷小分出法:以分式中自变量的最高次幂除分 子、分母,以分出无穷小,然后再求极限.,例6,解,商的极限存在，必须,，,解得,例7,解,先变形再求极限.,例8,解,例9,解,左右极限存在且相等,意义：,例8,解:,原式,三、小结 思考,1. 极限的四则运算法则及其推论;,2. 极限求法;,a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.,3. 复合函数的极限运算法则,思考题,在某个过程中，若 有极限， 无极限，那么 是否有极限？为什么？,思考题解答,没有极限,假设 有极限，,有极限，,由极限运算法则可知：,必有极限，,与已知矛盾,故假设错误,一、填空题:,练 习 题,二、求下列各极限:,练习题答案,