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1、基于多元线性回归与正则化算法的电容层析成像电子测量技术ELECTR0NICMEASUREMENTTECHN0LOGY第3O卷第12期2007年12月基于多元线性回归与正则化算法的电容层析成像李金亮何明一曹祥瑞(西北a:,lk大学电子信息学院西安710072)摘要:电容层析成像(ECT)是监测多相流动的一种新技术,其主要技术难点在于克服反演过程中的不适定性,快速而又精确的重建图像.本文提出了一种利用有限元(FEM)以及多元线性回归的方法(MLR)建立ECT系统正向模型,用正则化方法解决ECT系统图像重建这一不适定性问题的图像重建算法,即通过先验知识的引入来降低反演方程的病态程度,改善求解条件以达
2、到克服不适定性的目的,精确的重建图像.仿真结果表明,该方法能快速而且高精度的获得图像重建,具有很强的实用性.关键词:电容层析成像;有限元;多元线性回归;正则化中图分类号:TP216文献标识码:AElectroniccapacitancetomographybasedonmultiplelinearregressionandregularizationIAJinliangHeMingyiCaoXiangrui(CollegeofElectronicInformation,NorthwesternPolytechnicalUniversity,Xian710072)Abstract:Electro
3、nicCapacitanceTomography(ECT)isanewtechniqueformonitoringmultiphaseflow,whosetoughpointfocusesonconqueringillposedcharacteristicininversingprocessSOastoreconstructimagewithfastandaccurateefficiency.ThispaperproposesaschemeusingFiniteElementMethodandMultipleLinearRegressiontomodelECTforwardproblem,us
4、ingregularizationtosolvetheillposedinverseprobleminimagereconstruction.Inordertosolvetheillposedinverseproblem,thismethodintroducesthetranscendentalinformationtoreduceinfectionofillposeproperty.Simulationresultsillustratethatthismethodiscapableofreconstructingthetwo-phaseflowcross-sectionfastandaccu
5、rately,andispractica1.Keywords:electroniccapacitancetomography;finiteelementmethod;multiplelinearregression;regularization0引言1ECT系统简介以及图像重建的基本方法电容层析成像(ECT)是近年来多相流体监测技术发展较快的一个方向,它以多相流动等各种工业过程为主要检测对象,以其简单,响应速度快,安全等优点而受到普遍重视.和医学CT技术相似,ECT技术也属于已知投影数据推知被测对象内部介质分布的积分反演问题,而这类问题是不适定的,测量投影数据的微小扰动均可能导致解的畸变.目前
6、大多采用线性反投影算法来重建图像,而这种算法仅为一种较为粗糙的定性算法,无法满足实际需要.由于ECT系统获得数据有限,信息量小,很难准确稳定的重建图像,为了克服这一缺点,本文提出了一种基于多元线性回归和正则化的ECT图像重建模型,图像重建过程主要分两部分进行,一是正问题模化,即建立电容与介电常数分布间的解析表达,二是利用正则化方法克服逆问题不适定性,获得重建图像.?32?电容层析成像系统由3个部分组成:传感器系统,信号采集系统,电脑成像系统,如图1.传感器系统是由均匀安装于绝缘管道壁外面的多对金属极板构成,为了消除外界电磁干扰,电极板外部设置屏蔽罩并接地,同时为降低相邻极板问的固有电容值,在相
7、邻极板间设置径向屏蔽板并接地,极板,屏蔽板,屏蔽罩之间放入适当介电常数的填充介质;数据采集系统包括多通道数据采集控制,电容/电压转换,A/D转换以及通信接口,由于本文ECT系统电容在0.012pF之问,需要对微弱电容进行检测,因此,电容测量电路的设计和优化是系统的难题之一;电脑成像系统主要工作是接受来自信号采集系统的反馈信息,采用某种算法完成图像重建,即由有限个电容测量值来推知管道内部介质分布情况.成像算法的选择是电脑成像系统的关键之一,目前比较主流的成像算法主要有以下3类:李金亮等:基于多元线性回归与正则化算法的电容层析成像第12期(1)线性反投影算法(LBP),该算法结构简单,成像速度快,
8、但由于该算法基于不合理假设,导致重建图像精度低,无法提供准确的量化信息;(2)迭代法,该算法一般利用IBP算法的重建图像作为迭代初值,进行多次迭代来逼近真实图像,大大降低了图像重建速率,只适用于离线图像重建,并且目前尚没有可接受的迭代结束准则,都是利用固定迭代次数来结束迭代过程;(3)神经网络法,神经网络具有非线性映射的特性,这一特性和ECT传感器敏感场的非线性特性相一致,但由于多相流系统中流型的随机性,使得网络的训练变得极其困难,且该算法对于复杂流型的重建图像也不是很理想.传感器系统I信号采集系统I电脑成像系统图1ECT系统框图2基于有限元方法和多元线性回归方法的ECT正向模型本文以8电极模
9、型为例讨论电容层析成像系统.该系统数学模型是建立在以下假设基础上的:假定传感器空间内自由电荷为零,且传感器敏感场为静电场,并忽略管道内部轴向多相流体分布的变化,则ECT系统横截面可用二维泊松方程来描述:?.?e(x,)?(,)一0(1)式中:e(x,)和(,)分别为管道截面上介电常数与电势的分布函数,其边界条件由测量技术构成,即当电极i(i一1,2,3,8)为源电极(电势为)时,其相应的边界条件为:一,(28)U1(,妒一i,L,一l,z)(,U=It)(工1)(2)式中:.为真空介电常数,rl,为8个电极的空间位置,表示最外面的屏蔽罩,r表示8个径向屏蔽板.在ECT系统正向运算过程中主要解决
10、的问题是获取电极对之间的电容值,从而研究传感器各参数对传感器电容值的影响,并且获得截面中电容敏感场分布,为求解逆运算提供依据.要解决以上问题,就要通过式(1)以及式(2)的边界条件求得电势分布,然后由电势求得电极对之间的电容值.由于介质分布的不均匀性以及径向极板等因素造成的非线性等原因,很难求得电势的解析解,因此常用的方法为基于有限元(FEM)的数值解法.有限元方法首先是于2O世纪5O年代初由工程师们提出的,与其他方法相比,其主要优点在于能够比较容易的处理边界条件.利用有限元方法解决上述二阶偏微分方程问题的具体步骤如下:(1)剖分区域Q将求解区域Q根据实际需要划分成有限个互不重叠的基本元(下面
11、都以三角形区域为例进行分析),基本元称为元素.在网格剖分过程中需要注意的问题有4个:(1)由于极板,管壁,径向屏蔽板附近的电场变化急剧,因此该区域需要细分,管中央附近电场变化平缓,则可以粗分;(2)针对传感器的具体特点,要使所分区域和传感器电极分布具有尽可能相同的对称性,以方便灵敏度计算;(3)对于每一个微元三角形,其最大与最小边长之比应保持在1:1附近,最大不能超过3:1;(4)剖分疏密要逐渐过渡,从而保证收敛性和精度.(2)将基本元和基本节点编号编号的原则是先内部元素后边界元素,先内部节点后边界点;由于节点的编号顺序影响总刚度矩阵的带宽,一般要求所有相邻节点对编号差的最大绝对值越小越好.(
12、3)在每个基本元上构造方程,求得插值函数有限元方法用于近似w的子函数类一般是次数固定的关于.27和Y的分片多项式,并要求这样的分片多项式构成的逼近函数在整个区域内是连续的,且具有一阶或者二阶连续导数.对于三角形元素经常使用关于,Y的线性多项式:(,)一a+bx+(3)有限元方法的具体计算过程是基于具体的网格剖分策略的,本文采用的剖分策略建立在前文所述剖分原则基础之上,具体方法为:将圆形区域在纬向均分成8个区域,对应模型中的8个电极,再径向将圆形区域的分成3个大层,由内向外依次为:第一层为A层,细分成1O层,共800个三角形,该1O层为渐变层,每层厚度由内向外递减;第二层为中间层B层,B层细分1
13、O层,为均匀层;第三层为外层C层,外层细分为4层,共720个小三角形.该层也为渐变层.对于整个圆形区域,共有2401个节点,4608个三角形,如图2所图21/4剖分显示.33.第3o卷电子测量技术有限元的计算过程如下:将式(1)整理成偏微分方程的一般形式即为:pc+pc-tr一oc4结合边界条件式(2),通过有限元分析,代入网格剖分数据,即可求得网格各内部节点插值系数,即节点电势,电势分布情况如图3,图3中突起部分为通电电极,电势向周围顺势递减.图3ECT电势分布在以上求解基础I.结合电场知识以及高斯定理易获得各电极对之间的电容值.从而进一步计算得到电容传感器横截面的电容灵敏场分布.所谓电容灵
14、敏场即为传感器横截面内各微元介电常数的变化对于各电极对之间电容的影响情况,定义如下:Si,i(忌)一Ci,j(k()-C一i,fty?(5)式中:为管道横截面总面积,管道内部充满空气时(e=1)的电容为,管道内充满介质时(ei:一3)的电容为c(1,2,7,j=i,8),得知<c,且二者均为常数,定义第k个微元的介电常数为e,而其他微元的介电常数为时的电容值为C,(忌).通过式(5)求得8电极灵敏场分布如图4.一|一一I罐,矗f,f-图48电极ECT系统的四种电容敏感场基于以上分析,用多元线性回归法建立系统正向模型.8极板系统可提供28个电容测量值,为减少诸多因素?34?对电容值的影响,
15、且使测量数据无量纲化,需要对电容值作归一化处理,令极板间电容值为Cfj,归一化后电容值为G,:!二CN一i一1,2,7,J:i+1,8(6)同时这样处理的目的也是为了便于与图像联系,给图像处理带来便利.将成像区域划分成一定数量的小像素,以获得图像分辨率,结合上述界面剖分策略,本文设定为1568个,并结合有限元分析可以获得下列数据:(1)空管道时28维电容行向量;(2)第忌(忌=1,2,1568)个像素为高介电常数,其余为低介电常数时对应的28维电容行向量;(3)管道内充满高介电常数时对应的28维电容行向量.将以上数据整合为1570X28维归一化矩阵,计为矩阵c,且对应于每一种介电常数分布,可以
16、获得0,1构成的l568维图像数据行向量,当第h个像素为高介电常数时,该向量第k个元素置1,否则置0,因此可获得1570个1568维行向量,整合为矩阵曰,得知曰为列满秩矩阵.令s为回归系数矩阵,.E为误差矩阵,则多元线形回归模型可以表示为:CBS+E(7)结合矩阵论知识可知矩阵s的最小二乘估计为:(BB).BC(8)令AS,则基于多元线性回归算法的ECT正向模型可以表示为:YAX+e(9)式中:x为一个给定介电常数的1568维列向量,第忌个向量为低介电常数时,该向量第k个元素为0,否则为1;y为归一化电容值构成的28维列向量;e对应着模化误差和测量误差.3基于正则化方法的图像重建ECT系统图像
17、重建问题,即由投影数据向量y反推描述介电常数分布的图像灰度向量x,这是一个不适定的求逆问题.由式(9)可知使投影数据y与映射之间误差最小的解为最小二乘解,可以表示为:j一(AA)ATy(10)该算式的稳定性可以由下式给出:(11)jlllllyll式中:x与AY分别为投影数据和最小二乘解的相对扰动,分别为矩阵A最大,最小奇异值.由于该问题是一个不适定性问题,使得矩阵A的条件数很大,即投李金亮等:基于多元线性回归与正则化算法的电容层析成像第12期影数据y的微小扰动会带来解的极大变化,因此需要采取一定的措施来克服这种不稳定性.正则化的实质是在求解过程中将观测数据和先验知识结合在一起考虑,它可以解释
18、为在对观测数据和先验知识的置信度之间的一种折中.结合图像能量有限这一特性,同时为降低算法的复杂性,本文采用xx表示的先验知识来构造约束代价泛函.引入正则化参数>0可得如下正则化解:一argxmin(YAX)+期(12)即:X一(AA+)Ayjy(13)式中:I为单位矩阵,R一(AA+)_1A为成像矩阵,由于>O,矩阵A+,相对于AA的条件数要好,因此可以有效地解决不适定性问题.在正则解中先验知识与投影数据的置信度权重由正则化因子来控制.目前在理论上确定的大小还很困难,过小的起不到有效抑制误差扰动的作用,过大又会导致对投影数据的置信度过低,因此只能通过实验来确定值的大小.本文通过模拟
19、数值实验设定一0.00030.0006.正则化因子确定以后,成像矩阵可以预先计算获得,成像过程只需要一次矩阵乘法,在现今硬件环境中,计算速度非常快,而且该算法的成像分辨率可以根据实际需要进行方便的调节,完全可以满足低分辨率的在线实时成像和较高分辨率的离线成像.4与其他方法图像重建质量的比较如图5,原图像占空比分别为15.98,64.28,26.14,MLRR重建图像的占空比约为17.89,65.O2,27.94,而LBP算法重建图像的占空比仅为22.96,69.56,29.93.从仿真结果可以看出,基于多元线性中心流环流层流原1图像.I_-_-霸_霸嬲鼹蛹翳璧嚣,蕊隧蠡薹銎曩酝蠊LBP萤墓誊磊
20、鬻鳃一重豫璺j蘸-霪誊熏!蝴B目HE目自z!E4日日麟黼蓝翻越懿藕誊馨;E黯鬓誓壤l藩;葺鬻籀戮g薹lIl嚣氍磐鞋翼融譬躺薯|IlMR_R彗蹦l露氍麟翳T图5三种流型的仿真结果对比回归和正则化方法(简称MIRR方法)的ECT图像重建效果优于一般的线性反投影(LBP)算法.MIRR方法还可以有效地克服图像中心重建误差较大的缺点,相对其他图像重建方法,诸如迭代法,神经网络法等具有计算量小,算法简单,易调节等优点.但是该方法也存在不足之处,虽然重建图像与原图像比较接近,但是边缘存在一定的模糊现象,采用门限滤波可以有效地改善成像质量.5结论本文采用有限元算法和多元线形回归方法建立ECT系统的正向模型,
21、采用正则化方法克服逆问题的不适定性来重建图像,获得了较好的效果,该算法计算量与LBP算法计算量相当,但成像精度优于LBP算法,而且算法适应性强,对其他多相流体和极板对数的模型同样有效,同时也适用于阻抗层析成像,因此该方法具有一定的实用价值.同时该方法在成像精度方面还有一定的提升空间,作者还在进一步仿真和研究.参考文献13王烈衡,许学军.有限元方法的数学基础M.北京:科学出版社,2004.2于德浩,汤华中.微分方程数值解法M.北京:科学出版社,2003.3夏建涛,何明一.基于神经网络算法的电容层析成像D_j.西安:西北工业大学,1999.14】YANGwQ,SPINKDM,YORKTA,eta1
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24、的实现作者简介7米根锁.检错码的软件实现及其在通信中的实现.J.兰州铁道学院:自然科学版,2000,19(3)42-44.8潘启敬.计算机网络I-M.北京:中国铁道出版社,1994.II.r?IIII.一IIII?IIIIIIIIIIIIIf?IIIIII._|IIIIIIII-I|III?I|lib-IIIIl-I|III?I|IIII|IllutIII王忠,男,1964年出生,副教授,博士/博士后,主要研究方向为GPS理论及应用,无线与移动通信关键技术,网络通信理论与技术等.(上接第31页)E2JESJ,CAFFERYJR,GORINL,STuBEROverviewofradiolocat
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