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1、1,柱面坐标系,球面坐标系,重积分计算的基本方法, 累次积分法,2,第六节,一、平面图形的面积及立体体积,二、曲面的面积,三、物体的重心,四、物体的转动惯量,五、物体的引力,重积分的应用,3,解：,所求立体的体积为,4,解：,另解：,1. 能用重积分解决的实际问题的特点,所求量是,对区域具有可加性.,分布在有界闭域上的整体量.,2. 用重积分解决问题的方法,-元素法,问题：满足什么条件的量可用重积分解决？,5,元素法的步骤：,把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.,元素法也可推广到三重积分上,6,设曲面S的方程为,曲面S在xoy面上的投影为区,域D，,如图，,设小区域,点(x,y),为S上过
2、点,M(x,y,z)的切平面，,以,的边,界为准线，,母线平行于z轴的,小柱面，,截曲面S为,为,则有,7,-曲面S的面积元素,8,a,b,9,设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,同理可得,曲面面积公式为：,即 设曲面的方程为：,10,解：,曲面方程：,由对称性知：,11,面积为：,12,二、重 心,V 上连续.为求得 V 的重心坐标,先对 V 作分割 T,物体就可用这 n 个质点的质点系来近似代替.由于,质点系的重心坐标公式为,13,14,的重心坐标:,15,重心坐标:,16,例2 求密度均匀的上半椭球体的重心.,故得,即求得上半椭球体的重心坐标为,17,
3、因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故,连续体的转动惯量可用积分计算.,18,得：,19,例3.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径的转动惯量.,解: 建立坐标系如图,半圆薄片的质量,20,21,22,23,G 为引力常数,推广到空间立体 ：,设物体占有空间区域 ,物体对位于原点的单位质量质点的引力,利用元素法,其密度函数,24,曲 线 积 分,对弧长的曲线积分,对坐标的曲线积分,定义,联系,计 算,三代一定,二代一定 (与方向有关),25,与路径无关的四个等价命题,条件,等 价 命 题,(3)在G内，,在单连通区域G上P(x,y),Q(x,y)具有连续的,26,1.定积分与不定积分的联系,牛顿-莱布尼茨公式,2.二重积分与曲线积分的联系,格林公式,27,第二类曲线积分,28,计算中涉及的有关公式,1.两类曲线积分的几何意义,闭区域D的面积,29,30,31,32,解,8.,33,解,34,