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1、19 90 年 l 月宇航学报 第一期 用前馈加反馈控制实现输出跟踪 杨涤冯文剑吴瑶华 (哈尔滨工业大学航天学院) 文摘本 文提 出一种前 馈加反馈 模型跟踪 控制 方案 , 使得线性时不变装置输 出 对参考模 型 系统输 出具 有 良好 的跟踪特性 。 根据 这种控 制方案形成 的 控制器 由参考 模型 系统伏态(或估 计状态) 的 前馈和 受控装置状态(或估 计状 态)反馈两部分组 成 。 前馈 增益和反馈增 益计 算简单且设计过程高度程序 化 。 一个设计 实例显示了这 种控制方案的优越性 。 一 、 引论 在控制领域中 大量 存在对参考成型(又称指令发生 器 、 预定 的 轨 迹)输出
2、信 号跟踪问 题 。 飞机沿着一条理 想的近似于 指数 曲线着 陆 , 雷 达天线跟踪一 个 运动着的飞行 器 ” 都是这 方面 的典型 例子 。 线性控制系统的跟 踪问题 许多文献巾已有论述 ” 一【 ” 。 这些文献中采用 的控 制方案几 乎都是 利用LQG理 论 实现 模型 显式或 隐式跟 踪七献6虽然 采用了模型状态前 馈控制概念 , 但在一 般情况下调 整前 馈增益费时且 跟踪动态 特性不 理 想 , 跟踪信号 局限于时 间多项式函数 。 本文研 究将参考模型系统模型化 为无 激励项 (或 存在随机干扰)的 线性定常系统 。 指令 发生器 的输出信号不仅 包含 时间 多项式函数 ,
3、同时也 包 含时间指数函数 、 正弦函数等 。 考虑 的受控装置可以是确定性 线性 系统 , 也可以是 随机 线性 系统 , 允许受控装置本身不稳定 。 当 指令发生器 的 状态和受控装置状态不能 精确 获得时 , 可以利用状 态观测器理论或 卡尔曼滤波 器理 论进行在 线估计 。 控制器中前 馈增益通过求解李稚普诺夫型 线性代数 矩阵方程获得 , 而 反馈增益可以按照LQ理论 或状态反馈极 点配 置方法得到 。 根据 这 种控 制方案编写了通用的 计算讥程序 , 使设计过程大为简化 。 跟踪 问题数学描述 在第二节给出 。 第三节 叙述控制 器设 计方法 , 同 时还将这种设计方法 推广到其
4、它控制问题中 。 第四节研 究 了一 个具体设 计实 例 。 在第五节 , 给 出了一些结论及进 一步要研究 的 间题 。 本文 19 88年4 月2 5 日收到 二 、 问题数学描述 . 1 .旅无滋助项,考徽组抽出 考虑受控装置数学模型 为 分= A二+B u 二 (0) 二。 ( i ) 夕=C二+D u (幻 其中 二 为 n 维 状态向量 , “ 为P维控制向量 , y 为 P维输出 向量 。 A , B , C , D 是相应 维数实矩阵 . 系统(A , B)可控 。 参考模型系统动力学模型 为 全,=A ox, x 二 (o) x 。 ( 3 ) y 二 “ C oX。 ( 4
5、 ) 这里 二。为。 : 维状态向量 , y 。 为P维输出向 量 。 y 。, y , 。 维 数 相等 。 ,二 是扩展 的状态向 量 , 可以取参考模型阶跃输入 、 斜坡输入等作为 状态变量 , 但形式要求如( 3 )所示 。 设计的 目标是寻找控制律 “ () t , 使得跟踪误差趋于零 , 即 lim夕(t)一夕 , (t)= o( 5 ) 、, 了 、, 了 了00 了、了龟、产.、 2 . 2 眼赚存在随机千扰 的今考橄型抽出 受控装置动力学模型同 2 . 1节 ( 1 ) , ( 2 )式 。 随机参考模型状 态方程是 云二一A二x 。 + 才 二 y , , 一C ,x二 之
6、二= H .劣, +犷, 其中平 , , 犷二是相应维数高斯型白噪声向量 。 z。 是P维测 量方程 。 设计目标是寻找控制律以O , 使得跟踪误差均 方值趋于零 , 即 limEy (t) 一y 。 (t) r y(t) 一y , (t) o ( 9 ) 三 、 控 制器设计 、 .户 J、 . 1 ,J 11,工 J任 /.、了 . 、 3 . 1 前该增益计算 考虑采用参考模型系统状 态直接前馈的概念 , 令 “ =犷x , +占 “ x一 X x 。 +占劣 ( 1 0 ) , l (1 )式年犷 , x分别是要 确定的P x 。: 维 , 。 x 。: 维实常数矩阵 , 使得 y一y
7、 . 十占y 这里面 , 占x , 6y 分别是受控装置偏离理想跟踪的控制 , 状态 、 输出偏差 。 将 ( 3 ) , (10) , (11)代入( 1) 中 , 经整理后得 占云 (AX +B V一XA 二)二, +A 占、+ B占u 将 ( 2 ) , ( 4 ) , (11) , (10)代入 (12)中得 占y二 (CX +D犷一C , ) 二,+ C占x+Dd u 我们选取矩阵厂 、 万满足 (10) (11) (1 2) A X + B 犷二 X A , (1 5) CX+D厂=C , (16) 通过上两式李雅普诺夫型线性代数矩阵方程 , 可求出 X 、 犷 。 将( 1 5)
8、 , (1 6) 代入(1 3) 、 (14)中可导出 占云一A dx+B占 “ (17) d夕=C占 x +D占 “ ( 25) 从方程( 11 ) 中可求出初始条件 6x (0 ) j二(o) x (o) 一X二。 (o)(19) (1 7)一(19 )描述 了受控装置输出偏离参考模型输出的扰动动力学模型 。 如果受控装置( 1 ) , ( 2 )稳定 , 则取 加 二0 。 这 时控制律为 “ (t) =厂x 二 (t)(2 0) 即利用参考模型状态 直接前馈作为输入 。 从(1 7) 一 (19)可导出旅() t” 0 , 占州) t” 0 , (州) t一 y 。 ( t) )。 O
9、 , 从而实现对参考模型输出跟踪 。 这种情况 的控制方案见图一所示 。 3 . 2 反债增益计算 要是受控装置(1) , ( 2)本身不稳定或者跟踪偏差dy ()t随着时间增长衰减 得慢且跟踪 动态特性不理想 , 我们可以通过 LQ理论来综合 (17 ) 一(1的间题 , 以获得满意的模型跟踪特 性 。 考虑二次型指标为 I f , 。 _. 二八。 _. 。 , 。 。、, J = . 万 1气oy 叼 Oy 一 O“ 式 0“)口不 乙 。,O ( 2 1) 这 里 Q 是对称半正 定矩阵 , R是对称正定矩阵 。 ( 17)一 (1 9) , (22)问题 的解是 j “ 一 K占二
10、(2 2) K一 R 于 , (B T S+D T QC) (23) S矩阵是代数黎卡提方程的解 SA : +ArS一SB R 丁 , B T S+Q : =0 (2 4) A : 一A一BR子 , C T QD ( 2 5) Q : =C T QC 一C T QDR丁 , D T QC (26) R : R+D z QD ( 2 7) 这 里假定A : 是正半定阵 , 任一满足 F F 丁 一刀 : 的F阵 , (A 、, F) 完 全可观 。 R0 , Q异。保证 R : ) o 。 可以证明(A , B)可控保证(A :, B)可控 t, 。 除了用 LQ 理 论综合(17)一(19 )
11、 , (21 )我们也 可以用熟知的状态反馈极点配置方法计算 ( 22)式中K 阵 。 将 (2 2) 、 (11)式代入 (1 0) 中得控制律 。 一厂x 。 一 K(二 一X二 , ) “ 一 (U + 尤X) x 二 一Kx (28) (29) 从上述讨论中知道 , 控制器由参考模型 系统状态前馈和受控装置状态反馈两部分构成 。 厂 , X矩阵可通过解(15 ) , (1 6)方程得到 , 而 K 阵可通 过LQ理 论 或状 态反馈极点配置方法 获得 。 通过调整加权阵 Q 、 R , 不使。过度饱和就可获得满意的跟踪特性 。 受控装置 闭环特征 方程为 de t (几I一A 十BK
12、)一。 一 (3。) 显然稳定 , 且当K 一。时 , 控制律 (25 ) 、 (2的就变成了 3 . 1中控制方程(20 ) 。 在这种情况 下控制方案见图二所示 。 3 . 3 采用眼跳.位积分进行反该 在一般情况下 , 我们可以通过引入跟踪偏差的积分反馈来补偿受控装置及参考模型不确 定性和非模化的干扰1 8 1 。 为此 , 我们引入一个新的状态向量亡 , 定义如下 : 亡= y一 y 。 =己y =C 占x+ D占 。 (3 1) 相应地 二 次型指标变 成 ,一冬 一 ( 丁 Q: +。“ 丁 R占 。 d ) 才 乙 _, 。 (32) 根据 LQ 理论 , 联立(1 7) , (
13、3 1) , (3 2)最优问题 的解是 _ 。 _ 厂劣一X义二勺 一 K 了一 K i!:。 (一x 二) 、 ( 3 3 , 显然 K 尸阵计 算不 影响犷 、 X阵计算 。 3 . 4 当 受控装 t状 态及参考摸型状态不 能精确获得时控制伸设计 假定 Z () t是受控装置的测量向量 , 根据估计理论 我们能在线估计受控装置状态向量 . 枯 计状态方程如下 : 奋 一姓企+刀“+乙(z一万忿)全(o ) o (3 4) 我们可以通过观测器理论或卡尔曼滤波器确定L矩阵 。 参考模型系统 ( 6 ) , ( 8 )估计方程为 全 二二 A 二汾二+ L , (Z一H 。 全。 ) , 沦
14、,(o)一 。 (35) 同理可通过卡尔曼滤波器确定L , 。 这 时控制律变为 “ (犷+K X ) 淦。一K念 (3 6) 我们可以证明由于装置状态估计器及参考模型状态估计器 引入会带来附加的过渡跟踪误 差 。 控制方块图见图三所示 。 3 . 5 在非导 润节点及千扰渐近消除控制问肠 中的应用 非零调节 点问题是 2 . 1 节中参考模型跟踪 一间题的一 种简单 情况 , 即参考模型状态方程为 云二O x, (0 ) 一 夕 。 一希望的输出 (3 7) y 二=二。 (3 8) 在这种情况下 , A 二一 O , C 二= I 单位矩阵 , 则(1 5) , (16)方程简化成 AX+
15、B 厂二 0 (39) C尤+D犷二C 二二 I (4 0) 控制器设计同 3 . 2一3 . 4 节 。 对于 干扰渐近消除问题 , 我们考虑受控装置 , 干扰模型状 态方程如下 牙A 二+ B。+厂脚 (4 1) 88 、 ,户、 、户 矛、.产 、 . 矛 夕 J任哎J丹匕月了月 任d 二 44 叮 了 、了 .、.了 .、 了 .、 、 尸 宁、 了 城 一 O J J任J任 了 、 、 了气 、 y二Cx+ D “ 十J切 功A。协 其中 田为 干扰向量 , 常值干扰为 其中一特例 . 同样可令 万 X 功+占x u =犷切+己“ 根据上面几节讨论方法得 AX一XA , +B犷-一厂
16、 CX+D厂二 一J 占云A 占 义十 B己 “ y 一d夕=C 占x十Dj“ 根据 LQ 理论或状态 反馈极点配置 方法得 占u= 一尤d尤 则控制律 “ 一 (厂+KX)切 一K x 当占x 0 , d。 一, 0 时 , y” 0从而实现对于干扰。 渐近消除 。 ( 42) (43) 图一 装置稳定模型跟踪 图二 增稳模型跟踪 U U U U U U U U U U U U U H H H , , , , , 图三装置及模型状态不能精确测且时跟踪 89 四 、 设计实 例 已知受控装置模型参数为 100 n 一 n甘 0 一 1 0 1 C= 0 0 一 01 01o j Un 护 !
17、l | 一一 A 参考模型状态方程为 用 赵 l . w el n1U 1 尸 . ! 十 一 l ,.1 1 几 : 一”I T L分二:JL一0 。 08一0 . 3999 上 X 用- X曰之 y 。 x二 , 这里 。 二 1为阶跃输入 。 为了变成2 . 1节中 ( 3 )标准形式 , 引入状态变量 二 , 二 。. 则 分, : 二o x 。, (0) 二1 参考模型参数为 01 0 卜0 8 一0 。 39 9 91 000 c 二一 100 n U 一 厂|l | |L 一一 而 A 初始条件是 x (0)二 0 , x二 : (0) = x 。: (0) =0 , x o3
18、(0)一 1 用作者编写的计算机程序得如下结果 0 。 9 2 0 . 0 3 19 9 1 0 一 0 。 399 9 1 . 079 92 0 1 一0 . 399 9 0 / 犷一一 0 . 1 669 3一0 . 7 99772 . 0 79 92 / | l|s es e| 、 一 一 X 由于受控装置开环极点是之一凡 2 一0 , 几 , 一 算反馈增益阵得 K=4 . 14122 . 8 7 790 . 330 94 . 5 33 5 加权阵取为 O=2 0 R l 控制律为 。二 (犷+KX) 万。一 K x 犷+KX4 . 066 485 . 18弓575 。 0 7 0 2
19、5 闭环极点为 兄 : .: 一 0 . 397 8 6士1 . 681 97) , 只 , . = 一1 . 0 411+0 . 6 4 2 7 8) 士jl . 4 1 4 , 即装置本 身不稳定 。 用LQ理论计 事 图四 闭合回路仿真结果 数值仿真结果 如图四所 示 。 从图中看出受控装置输出对参考模型输出具有很好的跟踪特 性 , 五 、 结束语 一种前馈加反馈控制策略已被提出 , 使受控装置输出对参考模型输出具有良好的跟踪特 性 。 设计实例证明了这 种控制方案的有效性 。 这种控制策略的 一个 显著优点是允许受控装置 本身不稳定 , 指令发生器包 含的信号多样化 , 可以是 多 项
20、式 、 指数函数和 三 角函数等 。 给定系统的 动 、 静态跟踪 指标 , 怎样同时 计算出前馈和反馈增益矩阵 , 并使控制不过度 饱和是需 要进一步研究 的课题 。 参 考文献 l 21 3 】 4 5 1 16 7 1 8 1 F itts , J . M . : AidedT raekingas AP Pliedte 111起11Ae e u r a cyPointingsystems , I E EE Tra n s o n Ae r osPa c e a n dEle c to r n iesSystem s, Vo】 . 9 , M a 1973 . A n de r son ,
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26、) a n d the f e ed- ba eko f the eo ntr olled Pla nt state s ( orestimatedstote s . T he e o mPuta tio n f o r bo th f e ed一 f ow ard gain s an d f e edba ek g ain s 15 simP leand the de sig n P r oeedur e 15 high ly syste miz ed . Ad esignexam Pleshowe s the adva ntangeof the e o ntrol logie ei f fe ie n tly . Su B J E e T TE RMs M o d elo utput tr a eking , Lin e a r t:me一一in varia nt p lant , R ef e e r ne e m odelsyste m , Fe edf ow ard Plu s f e edbacke ontr o lIogie , K a lm an i flte r , State o bsev r er ,