《大学课件-概率论与数理统计-协方差与相关系数.PDF》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大学课件-概率论与数理统计-协方差与相关系数.PDF（14页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、称()( )( )E XE XY E Y 为 X ,Y 的协方差. 记为 ()cov( , )( )( )X YE XE XYE Y= 称 )(),cov( ),cov()( YDYX YXXD 为（X , Y ）的协方差矩阵 可以证明 协方差矩阵 为 半正定矩阵可以证明 协方差矩阵 为 半正定矩阵 协方差和相关系数的定义协方差和相关系数的定义 定义定义 若D (X ) 0, D (Y ) 0 ,称 )()( ),cov( )()( )()( YDXD YX YDXD YEYXEX E= 为X ,Y 的 相关系数，记为 )()( ),cov( YDXD YX XY = 事实上， ),cov(
2、=YX XY 若 , 0= XY 称 X ,Y 不相关. 无量纲 的量 若若 ( X ,Y ) 为离散型，为离散型， 11 cov(, )()( ) ijij ij X YxE XyE Y p = = 若若 ( X ,Y ) 为连续型，为连续型， cov( , )( )( ) ( , )X Yx E Xy EY f x y dxdy + = 协方差和相关系数的计算协方差和相关系数的计算 ?)()()(),cov(YEXEXYEYX= ()()()( 2 1 YDXDYXD= 例2例2 设 ( X ,Y ) N ( 1,12;2,22 ;), 求XY 解dxdyyxfyxYX),()(),cov
3、( 21 + + = dsdtest tts 22 2 2 1 )( )1 (2 1 + + dudteutt t u 2 2 2 2 1 )1 (2 )( + + + 2 21 12 uts= = 令 2 21 12 s x = 1 1 t y = 2 2 dtetdue t u 2 2 2 2 1 2)1 (2 2 21 12 + + = 21 = = XY 若 ( X ,Y ) N ( 1,12, 2, 22, ), 则X ,Y 相互独立X ,Y 不相关 协方差的性质 ?cov( , )cov( ,)X YY X= ? ? ? ),cov(),cov(YXabbYaX= ),cov(),
4、cov(),cov(ZYZXZYX+=+ )(),cov(XDXX= 协方差和相关系数的性质协方差和相关系数的性质 ()() ( )E XYE X E Y= ?)()(| ),cov(| 2 YDXDYX 当D(X ) 0, D(Y ) 0 时，当且仅当 0 ( )()1P YE Yt XE X= 时, 等式成立 Cauchy-Schwarz不等式 证证 令 2 ( )( )( )g tE YE Yt XE X= )(),cov(2)( 2 XDtYXtYD+= 0)(tg对任何实数 t , 0)()(4),(cov4 2 YDXDYX 即 )()(| ),cov(| 2 YDXDYX 等号成
5、立0)(=tg有两个相等的实零点 = )( )( )( ),cov( 0 XD YD XD YX t 0)()( 2 0 =XEXtYEYE 0)( 0 =tg 即 显然0)()( 0 =XEXtYEYE 0)()( 0 =XEXtYEYD 1 0)()( 0 =XEXtYEYP 10)()( 0 =XEXtYEYP 即1)()( 0 =XEXtYEYP 即 Y 与 X 有线性关系的概率等于1, 这种 线性关系为 1 )( )( )( )( = = XD XEX YD YEY P 完全类似地可以证明 )()()( 222 YEXEXYE 当E(X 2) 0, E(Y 2 ) 0 时,当且仅当
6、1)( 0 =XtYP 时, 等式成立. 相关系数的性质 ? ? 1| XY 1|= XY Cauchy-Schwarz不等式 的等号成立 即Y 与X 有线性关系的概率等于1， 这种线性关系为 1 )( )( )( )( = = XD XEX YD YEY P () 1PYX = 即 1= XY 0),cov(YX 1 )( )( )( )( = = XD XEX YD YEY P 1= XY 0),cov(YX 1 )( )( )( )( = = XD XEX YD YEY P ()1= XYP ()1= XYP 若X , Y 是两个随机变量, 用X 的线性函数 去逼近 Y 所产生的平均平方误差为 2 )(baXYE+ 当取 ）（XE XD YD YE XEaYEb XD YX a XY )( )( )( )()( , )( ),cov( = = = 平均平方误差最小. ?0= XY X , Y 不相关 0),cov(=YX )()()(YEXEXYE= )()()(YDXDYXD+= X ,Y 相互独立X , Y 不相关 若 ( X , Y ) 服从二维正态分布， X , Y 相互独立X , Y 不相关