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1、2016年下学期高二培优班数学综合训练五一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是满足题目要求的)（1）函数的定义域为（A） （B） （C） （D）（2）已知为圆的直径，于，为的中点，与相交于点，切线与的延长线交于点.若圆的半径为1，则的长为A B C D（3）已知向量，若与共线，则的值为（A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3（4）已知命题，命题，则下列判断正确的是（A）命题是假命题（B）命题是真命题（C）命题是假命题 （D）命题是真命题（5）某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，则所选的4人中至少有1名女生的概率为（A） （
2、B） （C） （D）（6）已知函数，则不等式的解集为（A） （B） （C） （D）（7）如图1，圆柱形容器内盛有高度为6cm的水，若放入3个相同的铁球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为（A）4cm （B）3cm （C）2cm （D）1 cm （8）已知函数的图象在点A处的切线与直线垂直，记数列的前n项和为，则的值为（A） （B） （C） （D）（9）函数在的图象的大致形状是（10）实数满足条件则的取值范围为（A） （B） （C） （D）（11）某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积为(A) (B) (C) (D)16 （12）在平面直角坐标系中，过原
3、点O的直线与曲线交于不同的两点A、B，分别过A、B作x轴的垂线，与曲线交于点C、D，则直线CD的斜率为（A）3 （B）2 （C）1 （D）二、填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）（13）在中，内角，所对的边分别是,则的值为_ (14)已知双曲线两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率为 . (15)执行如图3所示的程序框图，则输出的k值为 .(16)已知等差数列满足，则前项和取最大值时，的值为 . 三、解答题:（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）(17)（本小题满分1分）已知如图4，ABC中，AD是BC边的中线，且. ()求ABC的面积；()若，求A
4、D的长. （）（本小题满分12分）已知函数()求函数的最小正周期；()若，求的值.（19）（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，且，AB=PC=2，PA=PB=.（）求证：平面平面；（）设H是PB上的动点，求CH与平面PAB所成最大角的正切值.（20）(本小题满分12分)已知椭圆：的离心率为，若动点A在椭圆上，动点B在直线上.（为椭圆的半焦距）（）求椭圆的方程；（）若(为坐标原点)，试探究点到直线AB的距离是否为定值；若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.（本小题满分1分）如图，在四棱锥中, 平面,为的中点, 在上,且.()求证：平面;()求平面与平面所成锐
5、二面角的余弦值;()点是线段上异于两端点的任意一点,若满足异面直线与所成角，求的长.（本小题满分1分）已知数列满足，且()求的通项公式；()设，求数列的前2项和;（）设，证明：.2016年下学期高二培优班数学综合训练五题号123456789101112答案BCDACBBADAC解析：（6）如右图，易得所求不等式的解集为，（7）设球的半径为，依题意得. (8)依题意知的图象在点A处的切线斜率，故，（9）由可排除（C）、(D)，由可排除（B）,故选(A).(10)设，则为可行域内的点与原点连线的斜率，易得，故.（11）该几何体为一底面边长为2，高为3的长方体挖去两个圆柱（圆柱的底面半径为1）得到的
6、组合体，故其表面积为：.(12)设直线的方程为，且，故，则.二、填空题：题号13141516答案或2621解析： (16)由得，由，所以，数列前21项都是正数，以后各项为负数，故取最大值时，n的值为21.三、解答题：（17）解：()，,-2分即，-3分.-5分()解法1：由得，延长AD到E，使AD=DE，连结BE，-6分BD=DC, 四边形ABEC为平行四边形，,且-8分设，则，在ABE中，由余弦定理得：,-10分解得，即AD的长为.-12分【解法2：由得，在ABC中，由余弦定理得：,得，-7分由正弦定理得：，得，-9分 ，-10分在ADC中，解得.-12分】【解法3：由得，在ABC中，由余弦
7、定理得：,得，-7分在ABC中，,-9分在ADC中，由，解得.-12分】.解析：() 3分， 4分因此的最小正周期为， 5分()解：由（1）可知 所以 7分 ，得 8分 从而 9分 11分 12分 13分（19）解：()证明：取AB中点O，连结PO、CO，-1分由PA=PB=，AB=2，知PAB为等腰直角三角形，PO=1，POAB，-2分由AB=BC=2，知ABC为等边三角形，-3分由得,POCO，-4分又，PO平面ABC，-5分又平面PAB，平面平面-6分（）解法1：如图，连结OH，由（）知，CO平面PAB，为CH与平面PAB所成的角，-7分在RtCOH中，-8分要最大，只需取最小值，而的最
8、小值即点O到PB的距离，这时，-10分故当最大时，.即CH与平面PAB所成最大角的正切值为.-12分【解法2：由（）知PO平面ABC，如图所示，以O为原点，OC、OB、OP所在的直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则，-7分设点H的坐标为，则，即，-8分则，为平面PAB的法向量，设CH与平面PAB所成的角为，则,-10分当时，取最大值，-11分又，此时最大，即CH与平面PAB所成最大角的正切值为.-12分】(20)解：()依题意得：- -1分 得，-2分又，解得-3分所求椭圆的方程为.-4分（）依题意知直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，（1）若，则直线的方程为，设，则由，-6分由，-7
9、分，-8分,-9分设点O到直线AB的距离为，则.-10分(2)若，则A点的坐标为或，B点的坐标为，这时，-11分综上得点到直线AB的距离为定值，其值为1.-12分【解法二：设A、B的坐标、，-5分由点A在椭圆C上和分别可得：和，-6分设点O到直线AB的距离为，则有-7分,-8分-11分所以点到直线AB的距离为定值，其值为1.-12分】. 解：以A为原点，建立如图的空间直角坐标系 2分()设, 3分 ,平面的法向量 4分 又平面平面 5分()设平面的法向量，即 令 7分平面的法向量设二面角所成的锐二面角为 平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 9分()令 10分 11分 或1（舍） 13分. 解：()当时，构成以1为首项，2为公差的等差数列则 2分 当时，构成以2为首项，2为公比的等比数列 则 4分 是奇数，；是偶数，. () 5分 6分 8分 9分() 10分对时恒成立， （） 11分当时 13分当时 综上，对于原不等式成立. 14分15