《空间点、线、面的关系学案.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《空间点、线、面的关系学案.doc（5页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系1.平面的基本性质公理1：如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2：过_的三点，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有_过该点的公共直线.2.空间中线与线、线与面及面与面之间的位置关系3.公理4和等角定理(1)公理4：平行于_的两条直线互相平行.用符号表示：设a,b,c为三条直线，若ab,bc，则ac.(2)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应_，那么这两个角_.4.异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a,b，经过空间任一点O作直线aa,bb，把a与b所成的_叫做异面直线所成的角(或
2、夹角).(2)范围：_.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)如果两个不重合的平面,有一条公共直线a，就说平面,相交，并记作=a.( )(2)两个平面,有一个公共点A，就说,相交于过A点的任意一条直线.( )(3)两个平面,有一个公共点A，就说,相交于A点，并记作=A.( )(4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.( )(5)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.( )(6)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.( ) 1.有以下命题：若平面与平面相交，则它们只有有限个公共点；经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；经过两条相交直线有且只有一个平面；两两相
3、交且不共点的三条直线确定一个平面.其中，真命题的个数是( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)12.若三条不同的直线a，b，c满足ab,a，c异面，则b与c ( )(A)一定是异面直线 (B)一定是相交直线(C)不可能是平行直线 (D)不可能是相交直线3.下列命题：两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；两条直线不异面，则这两条直线相交；分别在两个平面内的直线是异面直线；一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行.其中正确命题的个数为( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)34.l1,l2,l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 ( )(A)l1l2,l
4、2l3l1l3(B)l1l2,l2l3l1l3(C)l1l2，l2l3l1,l2,l3共面(D)l1,l2,l3共点l1,l2, l3共面5.下列命题中不正确的是_(填序号).没有公共点的两条直线是异面直线；分别和两条异面直线都相交的两直线异面；一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面.考向 1 平面的基本性质及其应用【典例1】(1)给出以下命题：不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；依次首尾相接
5、的四条线段必共面.正确命题的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(2)如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，BAD=FAB=90，BCAD且BC=AD，BEAF且BE= AF，G，H分别为FA，FD的中点.证明：四边形BCHG是平行四边形；C，D，F，E四点是否共面？为什么？【互动探究】本例第(2)题的条件不变，如何证明“FE，AB，DC交于一点”？【拓展提升】1.证明三点共线的两种方法2.证明三线共点的思路考向 2 空间中两直线的位置关系【典例2】(1)下列命题中正确的是( )两条异面直线在同一平面内的射影必相交；与一条直线成等角的两条直线必平行
6、；与一条直线都垂直的两直线必平行；同时平行于一个平面的两直线必平行.(A) (B)(C) (D)以上都不对(2)如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点.问：AM和CN是否是异面直线？说明理由.D1B和CC1是否是异面直线？说明理由.【变式训练】设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是_(填序号).若AC与BD共面，则AD与BC共面；若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线；若AB=AC，DB=DC，则AD=BC；若AB=AC，DB=DC，则ADBC.考向 3 异面直线所成的角【典例3】已知三棱锥A-BCD中，AB=CD，且直
7、线AB与CD成60角，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角.【互动探究】把本例中的条件“AB与CD成60角”改为“ABCD”，结果如何？【解析】当ABCD时，MEN=90，EMN=45，即异面直线AB和MN所成的角为45.【拓展提升】1.找异面直线所成的角的三种方法(1)利用图中已有的平行线平移.(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移.(3)补形平移.2.求异面直线所成角的三个步骤(1)作：通过作平行线，得到相交直线.(2)证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角.(3)算：通过解三角形，求出该角.1.(2013益阳模拟)如图是某个正方体的展开图，l1,l2是两条侧
8、面对角线，则在正方体中，l1与l2( )(A)互相平行件 (B)异面且互相垂直(C)异面且夹角为 (D)相交且夹角为 2.(2013娄底模拟)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是( )【解析】选D.在A图中分别连接PS，QR，易证PSQR，P，S，R，Q共面.在B图中过P，Q，R，S可作一正六边形，如图，故P，Q，R，S四点共面.在C图中分别连接PQ，RS，易证PQRS，P，Q，R，S共面.D图中PS与RQ为异面直线，P，Q，R，S四点不共面，故选D.3.(2012浙江高考)已知矩形ABCD，AB=1，BC= .将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进
9、行翻折，在翻折过程中( )(A)存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直(B)存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直(C)存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直(D)对任意位置，三对直线“AC与BD”“AB与CD”“AD与BC”均不垂直【解析】选B.找出图形在翻折过程中变化的量与不变的量.对于选项A，过点A作AEBD，垂足为E，过点C作CFBD，垂足为F，在图(1)中，由边AB，BC不相等可知点E，F不重合.在图(2)中，连接CE，若直线AC与直线BD垂直，又ACAE=A，B平面ACE，BDCE，与点E，F不重合相矛盾，故A错误.对于选项B，若ABCD，又ABAD，ADCD=D，AB平面A
10、DC，ABAC,由ABBC可知存在这样的等腰直角三角形，使得直线AB与直线CD垂直，故B正确.对于选项C，若ADBC，又DCBC，ADDC=D，BC平面ADC，BCAC.已知BC= ，AB=1，BCAB，不存在这样的直角三角形.C错误.由上可知D错误，故选B.4.(2013怀化模拟)给出命题：异面直线是指空间既不平行又不相交的直线；两异面直线a,b,如果a平行于平面,那么b不平行于平面；两异面直线a,b,如果a平面，那么b不垂直于平面；两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线.上述命题中，真命题的序号是_.【解析】易知正确；两条异面直线可以平行于同一个平面；若b,则ab,这与a,b为异
11、面直线矛盾；两条异面直线在同一个面内的射影可以是：两条平行直线、两条相交直线、一点一直线.答案:1.如图，M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题：过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行.其中真命题是( )(A) (B) (C) (D)【解析】选C.由于两相交直线可确定一个平面，设直线l过M点，与AB，B1C1均相交，则l与AB可确定平面，l与B1C1可确定平面，又AB与B1C1为异面直线，l为平面与平面的交线，如图所示.GE即为l，又平面与平面有唯一交线，故正确.由于DD1过点M，DD1AB，DD1B1C1，BB1为AB，B1C1的公垂线，DD1BB1，又过点M有且只有一条直线与BB1平行，故正确.显然正确.过M点有无数个平面与AB，B1C1都相交，故错误.2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为_.【解析】设正方体的棱长为a.连接A1E，EF，可知D1FA1E,异面直线AE与D1F所成的角可转化为AE与A1E所成的角，在AEA1中，cosAEA1= 答案: