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1、抓住和式实质，巧解数列习题人教版新课标高中数学必修5 第 69 页有一道习题： 已知 a33， S39 ， 求a1与 q 。22从学生们的作业中发现了一类典型错解，见解答一； 但欣喜的是也有几个学生解答简洁，结果也完全正确，见解答二。解法一解法二a3a1q23(1)解： S3a1a2a329解：a1a1 qa1 q2(1)a1 (1q3 )92S3(2)1q223又 a3a1q(2)( 2) (1)整理得 ， 2q33q21 02(1)(2)整理得2q 2q 1 0q1q1解得舍去 或()2解得q1或q112将 q2 代入 (1)得 a16。q时，a13 ；q1 时，a1。1226本题编排在新
2、课 等比数列的前n 项和之后，学生自然会受到一定的暗示，那就是用等比数列前n 项和公式和通项公式，列出关于基本量a1 和 q 的两个方程，然后解方程组即可。这本是一种通法， 但为什么那么多学生出错呢？关键是应用等比数列前n 项公式时缺少分类讨论的意识，对于公比为1 的情况，往往忽视，导致丢解。其实解法一还有一个难点，就是解关于 q 的三次方程。 由于学生在初中没有学习立方差公式，高中也没有学， 故处理（ 2）式时不能将 (1q) 约去，从而得到一个关于q 的三次方程，这个方程让学生耗时多，有的学生甚至无法解出。 而解法二， 避开了分类讨论， 避开了三次方程， 简洁正确地解决了该题。能 做 到
3、这 两 点 ， 是 由 于 没 有 用 等 比 数 列 的 前 n 项 和 公 式 ， 而 是 利 用 了“ S3a1a2a3a1a1qa1q2 ”。其实在有关等比数列的问题中涉及到和的问题时，若能抓住等比数列前n 项和的实质前n 项相加， 则能避开等比数列的求和公式，从而避开分类讨论，有时还能避开高次方程，从而将问题巧妙解决。下面就举例谈谈和式的巧妙处理。例 1: （人教版新课标高中数学必修5 第 66 页练习题）如果一个等比数列前5 项的和等于 10，前 10 项的和等于 50，那么前 15 项的和等于多少？解 ：设这个等比数列的公比为 q1S10a1a2 a3a4a5(a6a7 a8a9
4、a10 )S5q 5 S5(1 q5 )S550(1)同理 ： S15S10q10 S5因为 S510，所以由 (1)得 q54,从而 q1016代入 (2)得S15S10q10 S550160210这里的解答也没有利用前n 项和公式， 而是抓住了前n 项和的实质， 将 S10 写成了前 10项和的形式，然后利用an=am?qn-m 将 S10 转化为 (1+ q5) S5，对于 S15 同样处理，避免了讨论公比是否可能为1，轻松解决了问题，而且这种解法稍加引申拓展，可以得到关于等比数列前n 项和的两个性质：nSm; (2)q时，S2 nSn，S3n，成等比数列 。(1)Sm n Sn q1S
5、nS2n这样得到的性质，来得自然， 学生印象深刻， 而且知道性质的用法以及在什么情况下可用。例2：一个有穷等比数列的首项为1，项数为偶数，如果其奇数项的和为85，其偶数项的和为170，求此数列的公比。解：设该数列的公比为q ，项数为 n。由题意a1a3an 185(1)a2a4an 170 (2)由得a1q a3qan 1q170(3)(2)(3) (2) 得q =2故该数列的公比为2。本题求公比时没有将奇数项（偶数项）的和用求和公式表示，仍然是抓住了和的实质奇数项（偶数项）相加，两式相除，很快将公比求出。可见，涉及到和的问题，如果有几个不同的和式，相加的项数又相同，细心观察和式中相加的项的特
6、点，也许能找到避开求和公式的解题途径。从本题也可以得到等比数列的一个性质：若项数为偶数，S偶 与 S奇 分别为偶数项和奇数项的和，则S偶q 。S奇例 3：设数列 an 是公比为 q 的等比数列，Sn 是它的前 n 项和，若Sn 是等差数列，求公比 q 。解： Sn 是等差数列2Sn 1Sn Sn Sn 1 (n N * 且n 2)an 1an (n N * 且 n 2)又数列 an 是公比为 q的等比数列公比 qan 11an该题从 Sn 的实质入手，将和式之间的关系转化为项的关系，得到an 1 an ，从而求出公比。这种“简洁”是用求和公式无法达到的。在等比数列的习题中， 类似的题目很多，
7、大致可以分为如下几类：一类是和式体现的项数较少，可直接写成几项的和（如本文第一段中的习题）；一类是和式体现的项数有某种规律，或相等，或成倍数关系，常利用a? n-m 进行处理（如例1 和例 2）；一类是利用和的n=am q实质，将和的关系转化为项的关系（如例3）。等差数列也有上面这些类型，而且可以采用相似方法处理。 本文只针对等比数列来讲，是因为它前n 项和公式涉及到分类讨论，涉及到q n ，从而导致它的计算相对于等差数列来说要难。在具体的问题中，若能抓住等比数列的实质，抓住求和实质，细心观察，勤于思考，而不是简单地套用公式，则能避开难点，简洁有效地解决问题。在当前使用新教材，学生们解高次方程
8、的能力比较弱的情况下，这种处理尤显重要。 当然本文并不是说不要掌握等比数列的前 n 项和公式， 相反地， 我们应该熟练掌握公式，树立分类意识，遇到必须要用公式解决时，必须解决得干净利落。总而言之，数学的学习不仅仅是公式的简单套用，而是要具体问题具体分析，灵活运用所学知识解决问题。最后提供几个练习题：1、 设等比数列 an 的公比 q 1， 前 n项和为 Sn， 已知 a3 2， S4 5S2， 求 an 的通项公式 。2、设等比数列的 an 前 n 项和为Sn ，若 S3S62S9 ，求公比 q 的值。3、 在等比数列 an 中， a1a2a3 60， a4 a5a6 30， 求 S9。4、设等比数列的前n项和为Sn， 求证 ：Sn 2S2n 2Sn (S2 n S3n ) 。5、设等比数列 a 的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4n倍，且第二项与第四项的积是第3项与第 4 项和的 9 倍，问数列 lg an 的前多少项和最大？(取 lg2=0 . 3， lg3=0 . 4)6、设 a 是由正数组成的等比数列，S 是其前 n 项和 .nn1求证 ： (lg Sn lg Sn 2 ) lg Sn 1。23参考答案：1、 an1( 2) n 1 或 an 2 ( 1) n 1212、q323、 1054、略5、前 5 项和最大6、略4