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1、命题及其关系,1.1.1 命题,思考,下列语句的表述形式有什么特点?你能判断 它们的真假吗? （1） 125; （2） 3是12的约数; （3） 0.5是整数; （4）对顶角相等; （5）3 能被2整除; （6）若x2=1,则x=1.,语句都是陈述句，,并且可以判断真假。,一般地,在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,判断为真的语句叫真命题。,判断为假的语句叫假命题。,命题的概念,如何判断一个语句是不是命题？,7是23的约数吗? X5. -2a3. 画线段AB=CD.,开语句,判断一个语句是不是命题，关键看这语句是否符合“是陈述句”和“可以判断真假” 这两个条
2、件。,有些语句中含有变量，在不给定变量的值之前，我们无法确定这语句的真假，这样的语句叫开语句。,疑问句,祈使句,今天天气如何？ 你是不是作业没交？ 这里景色多美啊！ -2不是整数。 43。 x4。,看看下列语句是不是命题？,不是（疑问句） 不是（疑问句） 不是（感叹句） 是 是 不是（开语句）,例1 判断下面的语句是否为命题?若是命题，指出它的真假。,(1) 空集是任何集合的子集.,(2)若整数a是素数,则a是奇数.,(3)指数函数是增函数吗?,(4)若平面上两条直线不相交,则这两条直线平行.,(5),(6)x15.,（是，真）,（是，真）,（是，假）,（是，假）,（不是命题）,（不是命题）,
3、练习 判断下列语句是否是命题 .,（1）求证 是无理数。 （2） （3）你是高二学生吗？ （4）并非所有的人都喜欢苹果。 （5）一个正整数不是质数就是合数。 （6）若 ，则 （7）x+30.,(1)(3)(7)不是命题，(2)(4)(5)(6)是命题。,“若p则q”形式的命题,命题“若整数a是素数，则a是奇数。”具有“若p则q”的形式。,通常,我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题的结论。 “若p则q”形式的命题是命题的一种形式而不是唯一的形式,也可写成“如果p,那么q” “只要p,就有q”等形式。,“若p则q”形式的命题的书写,对于一些条件与结论不明显的命题,一般采取先添补一些
4、命题中省略的词句, 确定条件与结论。 如命题:“垂直于同一条直线的两个平面平行”。 写成“若p则q”的形式为： 若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行。,例2 指出下列命题中的条件p和结论q：,若整数a能被2整除，则a是偶数； 菱形的对角线互相垂直且平分。,解：1) 条件p：整数a能被2整除， 结论q：整数a 是偶数。,2) 写成若p，则q 的形式：若四边形是菱形， 则它的对角线互相垂直且平分。 条件p：四边形是菱形， 结论q：四边形的对角线互相垂直且平分。,例3 把下列命题改写成“若p则q”的形式,并判定真假。,若两个平面垂直于同一直线，则这两个平面平行。,若两个三角形全等，则这两个三
5、角形的面积相等。,若一个数是3，则这个数能被2整除。,真,假,真,（4） 负数的立方是负数,若一个数是负数，则这个数的立方是负数。,真,（5） 对顶角相等,（6） 能被2整除的整数是偶数,（7） 菱形的对角线互相垂直且平分,若两个角是对顶角，则这两个角相等。,若一个整数能被2整除，则这个整数是偶数。,若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分。,真,真,真,练习,1、将命题“a0时，函数y=ax+b的值随x值的增加而增加”改写成“p则q”的形式，并判断命题的真假。,解:a0时，若x增加，则函数y=ax+b的值也随之增加，它是真命题,在本题中，a0是大前提，应单独给出，不能把大前提也放在命题的条
6、件部分内,2、把下列命题改写成“若p,则q”的形式，并判断它们的真假.,（1）等腰三角形两腰的中线相等； （2）偶函数的图象关于y轴对称； （3）垂直于同一个平面的两个平面平行。,(1)若三角形是等腰三角形，则三角形两边上的中线相等。这是真命题。,(2)若函数是偶函数，则函数的图象关于y轴对称，这是真命题。,(3)若两个平面垂直于同一平面，则这两个平面互相平行。这是假命题。,3. 把下列命题改写成“若p则q”的形式,并判定真假。,(1) 负数的平方是正数. (2) 偶函数的图像关于y轴对称. (3)垂直于同一条直线的两条直线平行 (4) 面积相等的两个三角形全等. (5) 对顶角相等.,真命题
7、 真命题 假命题 假命题 真命题,命题及其关系,1.1.2 四种命题,下列四个命题中，命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？,若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； 若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； 若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数； 若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。,观察命题(1)与命题(2)的条件和结论之间分别有什么关系？,若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； 若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；,互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题叫做互逆命题。 原 命 题：其中
8、一个命题叫做原命题。 逆 命 题：另一个命题叫做原命题的逆命题。,即 原命题:若p,则q,逆命题:若q,则p,例如，原命题：同位角相等，两直线平行。 逆命题：两直线平行，同位角相等。,观察命题(1)与命题(3)的条件和结论之间分别有什么关系？,若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； 3. 若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数.,原命题:若p,则q,为书写简便,常把条件p的否定和结论q的否定分别记作 “p” “q”。 互否命题,否命题:若p,则q,例如，原命题：同位角相等，两直线平行。 否命题：同位角不相等，两直线不平行。,观察命题(1)与命题(4)的条件和结论之间分别有什么关系
9、？,若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； 4. 若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数.,原命题: 若p, 则q,逆否命题: 若q, 则p,互为逆否命题,例如，原命题：同位角相等，两直线平行。 逆否命题：两直线不平行，同位角不相等。,原命题,逆命题,否命题,逆否命题,四种命题形式: 原命题: 逆命题: 否命题: 逆否命题:,若 p, 则 q 若 q, 则 p 若p, 则q 若q, 则p,例 设原命题是“当c 0 时，若a b ，则ac bc ”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假：,解： 逆命题：当c 0 时，若ac bc ，则a b 逆命题为真,否命题：当
10、c 0 时，若a b ，则ac bc 否命题为真,逆否命题：当c 0 时，若ac bc ，则a b 逆否命题为真,写出下列命题的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假,(1)若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除； (2)若一个三角形的两条边相等，则这个三角形有两个角相等； (3)奇函数的图像关于原点对称.,原命题：若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除；,逆命题：若一个整数能被5整除，则这个数的末位数字是0.,否命题：若一个数的末位数字不是0 ,则这个整数不能被5整除.,逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个数的末位数字不是0.,(1),真命题,假命题,真命题,假命题,
11、原命题：若一个三角形有两条边相等，则这个三角形有两个角相等；,逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等.,否命题：若一个三角形没有两条边相等，则这个三角形没有两个角相等.,逆否命题：若一个三角形没有两个角相等，则一个三角形没有两条边相等.,真命题,真命题,真命题,真命题,(2),原命题：奇函数的图像关于原点对称.,逆命题：若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数.,否命题：若一个函数不是奇函数，则这个函数的图象不关于原点对称.,逆否命题：若一个函数的图象不关于原点对称，则这个函数不是奇函数.,原命题：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象关于原点对称.,真命题,真命题,
12、真命题,真命题,(3),定义：一般地，对于两个命题，如果一个命题的 分别是另一个命题的 ，那么我们把这样的两个命题叫做 其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆 命题,条件和结论,结论和条件,互逆命题,定义：一般地，对于两个命题，如果一个命题的 恰好是另一个命题的 ，那么我们把这样的两个命题叫做 其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题,条件和结论,条件的否定和结论的否定,互否命题,定义：一般地，对于两个命题，如果一个命题的 恰好是另一个命题的结论的 和条件的 ，那么我们把这样的两个命题叫做互为 其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题,条件和结论,否定,否定,逆否命题,