工程数学期末复习.doc

《工程数学期末复习.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《工程数学期末复习.doc（15页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、工程数学（本）期末复习提要中央电大师范部数学教研室开放教育土木工程本科专业与水利水电工程本科专业的“工程数学（本）”课程的内容包括大学数学线性代数和大学数学概率论与数理统计（李林曙主编，中央电大出版社出版）两本教材的全部内容。在这里介绍一下教学要求，供同学们复习时参考。第1章： 阶行列式理解 阶行列式的递归定义。掌握利用性质计算行列式的方法。性质1性质2性质3性质4性质5性质6性质7知道克莱姆法则。第2章：矩阵了解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的运算。 矩阵的运算满足以下性质 掌握方阵乘积行列式定理。 是同阶方阵，则有： 若是阶行列式，为常数，则有：了解零矩阵，单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，上（下）

2、三角矩阵，对称矩阵，初等矩阵的定义及性质。理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件。 若为阶方阵，则下列结论等价 可逆满秩存在阶方阵使得熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，会解简单的矩阵方程。 用初等行变换法求逆矩阵： 用伴随矩阵法求逆矩阵： （其中是的伴随矩阵） 可逆矩阵具有以下性质： 了解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。 将矩阵用初等行变换化为阶梯形后，所含有的非零行的个数称为矩阵的秩。第3章：线性方程组了解向量的概念及线性运算，了解向量组线性相关与线性无关的概念，会判断向量组的线性相关性。 对于向量组，若存在一组不全为零的常数，使得 则称向量组线性相关

3、，否则称线性无关。了解极大线性无关组和向量组秩的概念，掌握其求法。 向量组的一个部分组如满足 线性无关； 向量组中的任一向量都可由其线性表出。则称这个部分组为该向量组的一个极大线性无关组。理解线性方程组的相容性定理及齐次线性方程组有非零解的充分必要条件，掌握齐次与非齐次线性方程组解的情况的判别方法。 线性方程组有解的充分必要条件是：。 元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：。熟练掌握齐次线性方程组基础解系和通解的求法。了解非齐次线性方程组解的结构，熟练掌握求非齐次线性方程组通解的方法。 第4章：矩阵的特征值及二次型理解矩阵的特征值、特征多项式及特征向量的定义，掌握特征值与特征向量的求法。设

4、为阶方阵，若存在数和非零维向量，使得则称数为的特征值，称为相应于特征值的特征向量。 称为的特征多项式，的特征值就是特征方程的根。了解矩阵相似的定义，了解相似矩阵的性质。设都是阶方阵，若存在可逆方阵，使得则称是的相似矩阵，或称与相似，记为。 相似矩阵有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。了解正交矩阵的定义和性质，掌握实对称矩阵对角化的方法。若阶方阵满足则称是正交矩阵。 理解二次型定义、二次型的矩阵表示、二次型的标准形的矩阵描述，掌握用配方法化二次型为标准形的方法。 了解正定矩阵的概念，掌握正定矩阵的判定。第1章：随机事件与概率 了解随机事件的概念。 学习随机事件的概念时，要注意它的两个特点：

5、在一次试验中可能发生，也可能不发生；即随机事件的发生具有偶然性。 在大量重复试验中，随机事件的发生具有统计规律性。 掌握随机事件的关系和运算，掌握概率的基本性质。 要了解必然事件、不可能事件的概念，事件间的关系是指事件之间的包含、相等、和、积、互斥（互不相容）、对立、差等关系和运算。 在事件的运算中，要特别注意下述性质： 概率的主要性质是指 对任一事件，有 对于任意有限个或可数个事件，若它们两两互不相容，则 了解古典概型的条件，会求解简单的古典概型问题。 在古典概型中，任一事件的概率为 其中是所包含的基本事件个数，是基本事件的总数。 熟练掌握概率的加法公式和乘法公式，理解条件概率，掌握全概公式

6、。 加法公式：对于任意事件，有 特别地，当时有 条件概率：对于任意事件，若，有 称为发生的条件下发生条件概率。 乘法公式：对于任意事件，有 （此时）或 （此时） 全概公式：事件两两互不相容，且，则 理解事件独立性概念，会进行有关计算。 若事件满足 （当时）或 （当时）则称事件与相互独立。与相互独立的充分必要条件是 第2章：随机变量极其数字特征 理解随机变量的概率分布、概率密度的概念，了解分布函数的概念，掌握有关随机变量的概率计算。 常见的随机变量有离散型和连续型两种类型。离散型随机变量用概率分布来刻画，满足： 连续型随机变量用概率密度函数来刻画，满足： 随机变量的分布函数定义为 对于离散型随机

7、变量有 对于连续型随机变量有 了解期望、方差与标准差的概念，掌握求随机变量期望、方差的方法。 期望：随机变量的期望记为，定义为 （离散型随机变量，是的概率分布） （连续型随机变量，是的概率密度） 方差：随机变量的方差记为，定义为 （离散型随机变量） （连续型随机变量） 随机变量函数的期望：随机变量是随机变量的函数，即，若存在，则在两种形式下分别表示为 （离散型随机变量，是的概率分布） （连续型随机变量，是的概率密度） 由此可得方差的简单计算公式 期望与方差的性质 若为常数，则 若为常数，则 若为常数，则 掌握几种常用离散型和连续型随机变量的分布以及它们的期望与方差。熟练掌握正态分布的概率计算，

8、会查正态分布表（见附表）。 常用分布： 二项分布的概率分布为 特别地，当时，叫做两点分布。 均匀分布的密度函数为 正态分布的密度函数为 其图形曲线有以下特点： ，即曲线在x轴上方。 ，即曲线以直线为对称轴，并在处达到极大值。 在处，曲线有两个拐点。 当时，即以轴为水平渐近线。 特别地，当时，表示是服从标准正态分布的随机变量。 将一般正态分布转化为标准正态分布的线性变换： 若，令，则，且Y的密度函数为 服从标准正态分布的随机变量的概率为 那么一般正态分布的随机变量的概率可以通过下列公式再查表求出 常见分布的期望与方差： 二项分布： 均匀分布： 正态分布： 了解随机变量独立性的概念，了解两个随机变

9、量的期望与方差及其性质。 对于随机变量，若对任意有 则称与相互独立。 对随机变量，有 若相互独立，则有 第3章：统计推断 理解总体、样本，统计量等概念，知道分布，分布，会查表。 所研究对象的一个或多个指标的全体称为总体，组成整体的基本单位称为个体，从总体中抽取出来的个体称为样品，若干个样品组成的集合称为样本。样本中所含的样品个数称为样本容量。 统计量就是不含未知参数的样本函数。 掌握参数的最大似然估计法。 最大似然估计法：设是来自总体（其中未知）的样本，而为样本值，使似然函数 达到最大值的称为参数的最大似然估计值。一般地，的最大似然估计值满足以下方程 了解估计量的无偏性，有效性概念。 参数的估

10、计量若满足 则称为参数的无偏估计量。 若都是的无偏估计，而且，则称比更有效。 了解区间估计的概念，熟练掌握方差已知条件下单正态总体期望的置信区间的求法，掌握方差未知条件下单正态总体期望的置信区间的求法。 当置信度确定后，方差已知条件下单正态总体期望的置信区间是 其中是总体标准差，是样本均值，是样本容量，由确定。 方差未知条件下单正态总体期望的置信区间是 其中称为样本标准差，满足。 知道 假设检验的基本思想，掌握单正态总体均值的检验方法，会作单正态总体方差的检验方法。 单正态总体均值的检验方法包括检验法和检验法。 检验法：设是正态总体的一个样本，其中未知，已知。用检验假设（是已知数），。 选取统

11、计量（其中），。对给定的显著性水平，查标准正态分布数值表得到，使得 因为，故若，相当于小概率事件发生了，则拒绝（即接受）；否则接受（此时称相容）。 检验法：设是正态总体的一个样本，其中,均未知。用检验假设（是已知数），。 选取统计量（其中，称为的样本方差，它是的无偏估计量），服从自由度为的分布。对给定的显著性水平，查分布的临界值表得到临界值，使得 若，相当于小概率事件发生了，则拒绝（即接受）；否则接受（此时称相容）。工程数学（本）样题一、单项选择题（每小题3分，本题共21分）1.设，则（）(A) 4 (B) 4 (C) 6 (D) 62.已知，则（ ）(A) (B) (C) (D) 3.向量组

12、的极大线性无关组是（ ）(A) (B) (C) (D) 4.若是线性方程组的解，是线性方程组的解，则有（ ）(A) 是的解 (B) 是的解(C) 是的解 (D) 是的解5.设为阶矩阵，若等式（）成立，则称和相似(A) (B) (C) (D) 6.若随机事件,满足，则结论（ ）成立(A) 与是对立事件 (B) 与相互独立(C) 与互不相容 (D) 与互不相容7. 设是来自正态总体的样本，则（ ）是统计量(A) ； (B) ；(C) ； (D) 二、填空题（每小题3分，共15分）1.设矩阵，则 2.含有零向量的向量组一定是线性的3.若是的特征值，则是方程 的根 4.设随机变量的密度函数，则5.若参

13、数的估计量满足，则称为的 三、计算题（每小题10分，共60分） 1.设矩阵，是3阶单位矩阵，且有，求矩阵2. 求线性方程组的全部解3. 用配方法将二次型化为标准型4.一批产品分别来自甲、乙、丙三个厂家，其中50%来自甲厂、30%来自乙厂、20%来自丙厂，已知这三个厂家的次品率分别为0.01，0.02和0.04。现从这批产品中任取一件，求取出的产品是合格品的概率.5.设，试求；（已知）6.某钢厂生产了一批管材，每根标准直径100mm，今对这批管材进行检验，随机取出9根测得直径的平均值为99.9mm，样本标准差s = 0.47，已知管材直径服从正态分布，问这批管材的质量是否合格（检验显著性水平，）

14、 四、证明题（本题4分）设,是两个随机事件，试证：关于期末考试的说明本课程期末考试采用闭卷笔试形式，卷面满分为100分，开放教育本科的卷面成绩加平时作业成绩满60分为及格。考试时间均为120分钟。试题类型分为单项选择题、填空题、计算题和证明题。单项选择题的形式为四选一，即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程和推理过程；计算题和证明题要求写出文字说明、演算步骤或推证过程。三种题型分数的百分比为：单项选择题和填空题36%，计算题和证明题64%（其中若有证明题，分数约占4%）。综合练习题一、填空题行列式。设二阶矩阵，其伴随矩阵。设均为4阶矩阵，且，。若为

15、矩阵，为矩阵，为矩阵，则为矩阵。一个向量组中如有零向量，则此向量组一定线性。若，则。设互不相容，且，则。连续型随机变量的密度函数是，则。设为随机变量，已知，那么。样本是由若干个组成的集合。参数的估计量满足，则称为的无偏估计量。二、单项选择题由得到的矩阵中的元素（）。A. 53； B. 12； C. 26； D. 15（）。A. ； B. ；C. ； D. 若是对称矩阵，则条件（）成立。A. ； B. ；C. ； D. 设均为阶方阵，则等式（）成立。A. ； B. ；C. ； D. 设为阶矩阵，既是又是的特征值，既是又是的属于的特征向量，则结论（）成立 A. 是的特征值 B. 是的特征值 C.

16、是的特征值 D. 是的特征向量对任意两个事件，等式（）成立。A. ； B. ；C. ； D. 若等式（）成立，则事件相互独立。A. ； B. ；C. ； D. 下列函数中，能作为随机变量密度函数的是（）。A. ； B. ；C. ； D. 设随机变量，则（）。A. 1；B. ；C. 0D. 设是来自正态总体的样本，则（）是统计量。A. ； B. ； C.； D. 设是来自正态总体（均未知）的样本，则统计量（）不是的无偏估计。A. ； B. ；C. ； D. 三、计算应用题设，解矩阵方程。设向量组，判断此向量组的线性相关性，并求出它的一个极大线性无关组。线性方程组为 讨论为何值时，此方程组有解、无

17、解，有解时求其通解。化二次型 为标准形，并求出所做的满秩变换。为两事件，已知，求。某篮球运动员一次投篮投中篮框的概率为0.8，该运动员投篮4次，求投中篮框不少于3次的概率；求至少投中篮框1次的概率。设随机变量具有概率密度求。设，计算；。设来自指数分布，密度为 求的最大似然估计。设来自正态总体的样本值： 5.1 5.1 4.8 5.0 4.7 5.0 5.2 5.1 5.0求的置信度为0.95的置信区间。某糖厂用自动打包机打包，每包标准重量100kg，每天需检查一次打包机工作是否正常，某日开工后测得九包糖的重量分别为（单位：kg）99.3 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 101.2 100.5 99.5问：该日打包机工作是否正常?综合练习题参考答案一、填空题，相关，0.7，0，18，样品，二、单项选择题BACBDBCBDAD三、计算应用题 线性相关，是一个极大线性无关组或（此两条件不能同时满足）时无解；且有无穷多解，通解为 （为任意常数）， 满秩变换为0.25, 0.583, 0.75该日打包机工作正常