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1、直线与圆滚动练习1.两圆交于点A(1,3)和 B(m,1) ，两圆的圆心都在直线x yc 0 上，则m c 的值等于2_.2.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 x2 y2 4 上有且仅有四个点到直线12x5y c 0 的距离为 1，则实数 c 的取值范围是 _.3.直线 l ：y 1 k(x 1)和圆 x2 y22y 0 的位置关系是 _.4.过点 (3,1) 作圆 (x 1)2 y2 1 的两条切线， 切点分别为A，B，则直线 AB 的方程为 _.5.若过点 A(a， a)可作圆 x2 y2 2ax a2 2a 3 0 的两条切线，则实数a 的取值范围为_.解析圆方程可化为 (x a)2
2、 y2 32a，32a03由已知可得2，解得 a 3 或 1a32a6.若圆 x2y2 4 与圆 x2 y2 2ay 6 0 (a0) 的公共弦长为2 3，则 a_.解析方程 x2 y2 2ay 6 0 与 x2 y2 4.11相减得2ay 2，则 y a.由已知条件22 3 2 a，即 a 1.7.已知两圆C1： x2 y2 2x 10y 24 0，C2： x2 y2 2x2y 8 0，则以两圆公共弦为直径的圆的方程是_.解析圆 C1 的圆心为 (1， 5)，半径为50，圆 C2 的圆心为 ( 1， 1) ，半径为10，则两圆心连线的直线方程为2x y3 0，由两圆方程作差得公共弦方程为x
3、2y 4 0，两直线的交点 ( 2,1)即为所求圆的圆心，由垂径定理可以求得半径为5，即所求圆的方程为(x 2)2 (y 1)2 5.8.设 M( x， y)|y2a2 x2，a0 ，N ( x， y)|(x 1)2 (y3)2 a2， a0 ，则 MN ?时， a 的最大值与最小值分别为_、 _.解析因为集合M ( x，y)|y2a2 x2， a0 ，第1 页 共 6 页所以集合M 表示以 O(0,0)为圆心，半径为r 12a 的上半圆 .同理，集合N 表示以 O(1，3)为圆心，半径为r 2 a 的圆上的点 .这两个圆的半径随着a 的变化而变化，但OO 2.如图所示，当两圆外切时，由2a
4、a2，得 a22 2；当两圆内切时，由2a a 2，得 a 22 2.所以 a 的最大值为222，最小值为22 2.2x y2 0，9.如果点 P 在平面区域x 2y1 0，上，点 Q 在曲线 x2 (y 2)2 1 上，那么PQ 的最x y2 0小值为 _.2x y 2 0，解析由点 P 在平面区域x 2y 1 0，上，画出点 P 所在的平面x y 20区域 .由点 Q 在圆 x2 (y2) 2 1 上，画出点Q 所在的圆，如图所示.由题意，得PQ 的最小值为圆心(0， 2) 到直线 x2y 1 0 的距离减|0 2 2 1|5，此时垂足 ( 去半径 1.又圆心 (0， 2)到直线 x2y
5、1 0 的距离为12 221,0)在满足条件的平面区域内，故PQ 的最小值为 51.10.设 m，n R，若直线 (m1)x(n1)y20 与圆(x1)2(y 1)21 相切，则m n 的取值范围是 _.解析 圆心 (1,1)到直线 (m1)x( n 1)y 2 0 的距离为|m n| 1，m 1 2 n 1 21所以 mn 1mn (m n)2，所以 m n 2 2 2或 m n 2 2 2.411.已知直线 y kx b 与圆 O： x2 y2 1 相交于 A，B 两点，当 b 1 k2时， OAOB等于_.解析设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，将 y kx b 代入 x2 y
6、2 1 得 (1 k2)x22kbx b2 10，故 x1 x2 2kb， x1x2b2 11 k2，1 k2 x12 b2 12k2 b22b2从而 OAOB21 221 212 b2 1 1.x y y (1 k )x x kb( x x ) b1 k21 k2第2 页 共 6 页12.圆 (x3) 2 (y 3)2 9 上到直线3x 4y 11 0 的距离等于1 的点有 _个 .|9 12 11|解析 因为圆心到直线的距离为 2，5又因为圆的半径为 3，所以直线与圆相交，圆上到直线的距离为1 的点有 3 个 .13.过点 ( 2，0)引直线 l 与曲线 y1 x2相交于 A、 B 两点，
7、 O 为坐标原点，当AOB 的面积取最大值时，直线 l 的斜率等于 _.11sin AOB1解析 S AOB OAOBsinAOB2.当 AOB 时，2222SAOB 面积最大 .此时 O 到 AB 的距离 d 2 .设 AB 方程为 y k(x 2)(k1，故 m 2.216. 已知点 P(0,5)及圆 C： x2 y2 4x 12y24 0.(1)若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的线段长为4 3，求 l 的方程；(2)求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程 .第3 页 共 6 页解 (1) 如图所示， AB 4 3，将圆 C 方程化为标准方程为 (x 2)2 (y 6)2 16，
8、 圆 C 的圆心坐标为 (2,6)，半径 r 4，设 D 是线段 AB 的中点， 则CD AB， AD 2 3， AC 4.C 点坐标为 ( 2,6).在 Rt ACD 中，可得 CD 2.设所求直线l 的斜率为k，则直线l 的方程为y 5 kx，即 kx y5 0.|2k 6 5|3由点 C 到直线 AB 的距离公式： 2，得 k224.k 1故直线 l 的方程为 3x 4y 20 0.又直线 l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x0. 所求直线 l 的方程为 x 0 或 3x 4y20 0.(2) 设过 P 点的圆 C 的弦的中点为 D (x， y)，则 CD PD ，即 CD PD
9、 0，217.已知以点C(t， t )( t R，t0) 为圆心的圆与x 轴交于点 O，A，与 y 轴交于点 O，B，其中O 为原点 .(1)求证： OAB 的面积为定值；(2) 设直线 y 2x 4 与圆 C 交于点 M，N，若OM ON，求圆 C 的方程 .22422 224(1) 证明 圆 C 过原点 O， OC t t2.设圆 C 的方程是 (x t) (y t ) t t 2，令 x0，得 y 0， y t ；令 y0，得 x 0， x 2t，12412114 S OAB 2OAOB 2 |t | |2t| 4，即 OAB 的面积为定值 .(2) 解OM ON，CM CN， OC 垂
10、直平分线段MN .121或 t 2. kMN 2， kOC . t，解得 t 22t2当 t 2 时，圆心 C 的坐标为 (2,1) ， OC5，此时 C 到直线 y 2x 415.圆 C 与直线 y 2x 4 不相交，5第4 页 共 6 页 t 2不符合题意，舍去. 圆 C 的方程为 ( x 2)2 (y1) 2 5.18.已知矩形ABCD 的对角线交于点 P(2,0)，边 AB 所在直线的方程为x 3y 6 0，点 (1,1)在边 AD所在的直线上 .(1)求矩形 ABCD 的外接圆的方程；(2) 已知直线 l ：(1 2k)x (1 k)y 5 4k0(k R )，求证：直线 l 与矩形
11、 ABCD 的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l 的方程 .解 (1) lAB：x 3y 60 且 AD AB，点 ( 1,1)在边 AD 所在的直线上， AD 所在直线的方程是y 1 3(x 1)，x 3y6 0，即 3x y 2 0.由得 A(0， 2).AP 4 4 22，3x y2 0， 矩形 ABCD 的外接圆的方程是( x 2)2 y2 8.(2) 直线 l 的方程可化为 k(2x y 4) x y 5 0，l 可看作是过直线 2x y 4 0 和 xy 5 0 的交点 (3,2)的直线系，即 l 恒过定点 Q(3,2)，由 (3 2)2 22 58 知点 Q 在圆 P
12、内，所以 l 与圆 P 恒相交 .设 l 与圆 P 的交点为 M， N，则 MN 2 8 d2(d 为 P 到 l 的距离 )，设 PQ 与 l 的夹角为 ，则 d PQsin 5sin ，当 90 时， d 最大， MN 最短 .此时 l 的斜率为 PQ 的斜率的负倒数，即12，1故 l 的方程为 y 2 2(x 3)， x 2y 7 0.19.(2013 江苏 )如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A(0,3)，直线 l： y 2x 4.设圆 C 的半径为 1，圆心在 l 上.(1) 若圆心 C 也在直线 y x1 上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线的方程；(2) 若圆 C 上存在点
13、M，使 MA 2MO ，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围 .解 (1) 由题设，圆心 C 是直线 y 2x4 和 y x1 的交点，解得点 C(3,2)，于是切线的斜率必存在 .设过 A(0,3) 的圆 C 的切线方程为ykx 3，由题意， |3k 1| 1，解得 k0 或3，k2 14故所求切线方程为y 3 或 3x 4y 12 0.第5 页 共 6 页(2) 因为圆心在直线 y 2x 4 上，所以圆 C 的方程为 (x a)2 y 2(a 2)2 1.设点 M (x，y)，因为 MA 2MO ，所以x2 y 3 2 2x2 y2，化简得 x2 y2 2y 3 0，即 x2 (y 1)2
14、 4，所以点 M 在以 D(0 ， 1)为圆心， 2 为半径的圆上 .由题意，点 M(x， y)在圆 C 上，所以圆 C 与圆 D 有公共点，则 |2 1| CD 2 1，即 1 a2 2a 3 2 3.由 5a2 12a 8 0，得 a R；由 5a2 12a0，得 0a12.512所以点 C 的横坐标 a 的取值范围为0， 5 .20.已知圆 O： x2 y2 4 和点 M (1，a).(1) 若过点 M 有且只有一条直线与圆O 相切，求实数a 的值，并求出切线方程 .(2) 若 a 2，过点 M 的圆的两条弦 AC ，BD 互相垂直，求 AC BD 的最大值 .解 (1) 由条件知点 M
15、 在圆 O 上，所以1 a2 4，则 a 3.当 a3时，点 M 为 (1，3)， kOM 3， k 切 3，3y33此时切线方程为3 (x 1).即 x 3y4 0，当 a3时，点 M 为(1， 3)， kOM33， k 切3 .3此时切线方程为y3 3(x 1).即 x3y 40.所以所求的切线方程为x3y 4 0 或 x3y 4 0.(2) 设 O 到直线 AC，BD 的距离分别为d ， d (d ， d 0)，121222 OM2 3.又有AC 22， BD 22，所以AC BD 22则 d d4 d4 d4 d1212122 4 d2.222222222则 (AC BD ) 4 (4 d1 4 d2 24 d1 4 d2) 4 5 216 4 d1 d2d1d2 4(5 2221 222229，4 d1 2121 24d ).因为2d d d d3，所以 d d622525当且仅当 d1 d2 2 时取等号，所以4 d1d2 2，所以 (ACBD) 4 (5 22) 40.所以 AC BD 210，即 AC BD 的最大值为 210.第6 页 共 6 页