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1、第五章 线性系统的频域分析与校正练习题及答案2 5-12 已知、和均为最小相角传递函数，其近似对数幅频特性曲线如图5-79所示。试概略绘制传递函数 的对数幅频、对数相频和幅相特性曲线。 解：(1) 则： 图5-79 5-12题图 (2) , (3) (4) 将代入得：对数频率特性曲线如图解5-12(a)所示,幅相特性曲线如图解5-12(b)所示：图解5-12 (a) Bode图 (b) Nyquist图5-13 试根据奈氏判据，判断题5-80图(1)(10)所示曲线对应闭环系统的稳定性。已知曲线(1)(10)对应的开环传递函数如下（按自左至右顺序）。解 题5-13计算结果列表题号开环传递函数闭
2、环稳定性备注10-12不稳定2000稳定30-12不稳定4000稳定50-12不稳定6000稳定7000稳定811/20稳定9101不稳定101-1/22不稳定 5-14 已知系统开环传递函数，试根据奈氏判据，确定其闭环稳定的条件：； （1）时，值的范围；（2）时，值的范围；（3）值的范围。 解 令 ，解出，代入表达式并令其绝对值小于1 得出： 或 （1）时，；（2）时，；（3）值的范围如图解5-14中阴影部分所示。 5-15 已知系统开环传递函数试概略绘制幅相特性曲线，并根据奈氏判据判定闭环系统的稳定性。解 作出系统开环零极点分布图如图解5-15（a）所示。的起点、终点为： 与实轴的交点：
3、令 可解出代入实部 概略绘制幅相特性曲线如图解5-15（b）所示。根据奈氏判据有 所以闭环系统不稳定。 5-16 某系统的结构图和开环幅相曲线如图5-81 (a)、(b)所示。图中 试判断闭环系统稳定性，并决定闭环特征方程正实部根个数。 解 内回路开环传递函数: 大致画出的幅相曲线如图解5-16所示。可见不会包围（-1,j0）点。 即内回路小闭环一定稳定。内回路小闭环极点（即开环极点）在右半S平面的个数为0。 由题5-16图(b)看出:系统开环频率特性包围（-1,j0）点的圈数 N=-1。根据劳斯判据 系统不稳定，有两个闭环极点在右半S平面。5-17 已知系统开环传递函数 试根据奈氏判据确定闭
4、环系统的稳定性。解 作出系统开环零极点分布图如图解5-17(a)所示。 的起点、终点为： 幅相特性曲线与负实轴无交点。由于惯性环节的时间常数，小于不稳定惯性环节的时间常数，故呈现先增大后减小的变化趋势。绘出幅相特性曲线如图解5-17(b)所示。根据奈氏判据 表明闭环系统不稳定。5-18 已知单位反馈系统的开环传递函数，试判断闭环系统的稳定性。 解 作出系统开环零极点分布图如图解5-18(a)所示。当变化时，的变化趋势： 绘出幅相特性曲线如图解5-18(b)所示。根据奈氏判据 表明闭环系统不稳定。 5-19 已知反馈系统，其开环传递函数为 (1) (2) (3) (4) 试用奈氏判据或对数稳定判
5、据判断闭环系统的稳定性，并确定系统的相角裕度和幅值裕度。 解 (1) 画Bode图得： 图解5-19 (1) Bode图 Nyquist图 (2) 画Bode图判定稳定性：Z=P-2N=0-2(-1)=2 系统不稳定。由Bode图得：令： 解得 令： 解得 图解5-19 (2) Bode图 Nyquist图(3) 画Bode图得： 系统临界稳定。 图解5-19 (3) Bode图 Nyquist图 (4) 画Bode图得： 图解5-19(4) Bode图 系统不稳定。5-20 设单位反馈控制系统的开环传递函数为试确定相角裕度为45时的值。 解 开环幅相曲线如图所示。以原点为圆心作单位圆，在点：
6、 即： (1)要求相位裕度 即： (2)联立求解（1）、（2）两式得：， 。 5-21 在已知系统中 试确定闭环系统临界稳定时的。 解 开环系统传递函数为 解法(一):画伯特图如图解5-21所示图解5-21 临界稳定时 由Bode图 法(二) ; 令 , 则 (1)又令 代入(1)得： 解出： （舍去）。故当 1/秒，时，系统临界稳定。 5-22 若单位反馈系统的开环传递函数，试确定使系统稳定的K的临界值。 解 幅频特性为 相频特性为 求幅相特性通过(-1,j0)点时的值即 (1) (2)由(2)式 代入(1)： 解出 : 5-23 设单位反馈系统的开环传递函数 试确定闭环系统稳定的延迟时间的
7、范围。 解 令 (1) (2) 由(1): 解得： , (舍去）将=0.618代入(2)式： 解得：=1.3686,由图可见：当1.3686时，G(j)不包围(-1,j0)点,所以的稳定范围是： 01.36865-24 某最小相角系统的开环对数幅频特性如图5-82所示。要求（1） 写出系统开环传递函数；（2） 利用相角裕度判断系统的稳定性；（3） 将其对数幅频特性向右平移十倍频程，试讨论对系统性能的影响。解（1）由题5-29图可以写出系统开环传递函数如下： （2）系统的开环相频特性为 截止频率 相角裕度 故系统稳定。（3）将其对数幅频特性向右平移十倍频程后，可得系统新的开环传递函数其截止频率
8、而相角裕度 故系统稳定性不变。由时域指标估算公式可得 =所以，系统的超调量不变，调节时间缩短，动态响应加快。5-25 对于典型二阶系统，已知参数，试确定截止频率和相角裕度。解 依题意，可设系统的开环传递函数为绘制开环对数幅频特性曲线如图解5-25所示，得5-26 对于典型二阶系统，已知=15，试计算相角裕度。 解 依题意，可设系统的开环传递函数为 依题 联立求解 有 绘制开环对数幅频特性曲线如图解5-26所示，得 5-27 某单位反馈系统，其开环传递函数 试应用尼柯尔斯图线，绘制闭环系统对数幅频特性和相频特性曲线。 解 由G(s)知：20lg16.7=24.5db交接频率： , , 应用尼柯尔
9、斯曲线得：0.010.050.10.30.631020304050607080100|G|db-15-241319241572-3-7-10-13-16-208885837054-23-94-127-143-151-156-160-163-164-166M (db)-15-4.5-2-.75-0.6-0.501.84.32.3-3.4-7.5-11-16-20694830125-1-11-28-53-110-140-152-158-162-165图解5-27 Bode图 Nyquist图 5-28 某控制系统，其结构图如图5-83所示，图中 图5-83 某控制系统结构图试按以下数据估算系统时域
10、指标和ts。 （1）和c （2）Mr和c（3）闭环幅频特性曲线形状 解 (1) 查图5-56 得 秒 (2) 根据,估算性能指标当 =5 时: L()=0, ()=-111找出: , =6 查图5-62 得 秒 (3) 根据闭环幅频特性的形状 0.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10L(db) 36 18 9.5 5 3 0 -2 -4 -5 -7 -20()-142.5 -130-118.5 -114 -111 -111-112.5-115.5 -118.5 -124 -148M(db) 0 0.68 1 1.05 0 1.1 -2.1 -3.3 -4 -5.5 -19.3令 或 秒
11、5-29 已知控制系统结构图如图5-84所示。当输入时，系统的稳态输出 。试确定系统的参数。解 系统闭环传递函数为 令 联立求解可得 ，。5-30 对于高阶系统,要求时域指标,，试将其转换成频域指标。解 根据近似经验公式 代入要求的时域指标可得所求的频域指标为，。5-31 单位反馈系统的闭环对数幅频特性如图5-85所示。若要求系统具有30的相角裕度，试计算开环增益应增大的倍数。解 由图5-85写出闭环系统传递函数 系统等效开环传递函数 可知原系统开环增益。令相角裕度 =30有 整理可得 解出 所以应增大的放大倍数为 。 5-32 设有单位反馈的火炮指挥仪伺服系统，其开环传递函数为 若要求系统最
12、大输出速度为，输出位置的容许误差小于，试求： （1）确定满足上述指标的最小值，计算该值下系统的相角裕度和幅值裕度； （2）在前向通路中串接超前校正网络 计算校正后系统的相角裕度和幅值裕度，说明超前校正对系统动态性能的影响。 解 (1)确定满足（转/分）=/秒和 的: （1/秒） 作系统对数幅频特性曲线如图解5-32(a)所示：由图可知 算出相角交界频率 (2)超前校正后系统开环传递函数为 作校正后系统对数幅频特性曲线如图解5-32(b)所示，由图得： ， 算出 , ， 。 说明超前校正可以增加相角裕度，从而减小超调量，提高系统稳定性；同时增大了截止频率，缩短调节时间，提高了系统的快速性。 5-
13、33 设单位反馈系统的开环传递函数为试设计一串联超前校正装置，使系统满足如下指标： （1）在单位斜坡输入下的稳态误差； （2）截止频率c7.5(rad/s)；（3）相角裕度45。 解 依指标： 画未校正系统的开环对数幅频特性如图解5-33所示。依图可得：校正前系统相角裕度： 定,作图得： 作图使： , 过C点作20dB/dec直线交出D点（），令（）得E点（）。这样得出超前校正环节传递函数： 且有：校正后系统开环传递函数为：验算：在校正过程可保证： 全部指标满足要求。 5-34 设单位反馈系统的开环传递函数为 要求校正后系统的静态速度误差系数v5(rad/s)，相角裕度45，试设计串联迟后校正
14、装置。解 （I型系统）取 校正前 （系统不稳定）采用串联迟后校正。试探，使取 取 取 取 过作，使；过画水平线定出；过作-20dB/dec线交0dB线于。可以定出校正装置的传递函数 校正后系统开环传递函数 验算： 5-35 设单位反馈系统的开环传递函数为 （1）若要求校正后系统的相角裕度为30，幅值裕度为1012(dB)，试设计串联超前校正装置； （2）若要求校正后系统的相角裕度为50，幅值裕度为3040(dB)，试设计串联迟后校正装置。 解 (1) 依题作图未校正系统的对数幅频特性曲线如图解5-35(a)所示校正前： , (系统不稳定） 超前校正后截止频率大于原系统，而原系统在之后相角下降很
15、快，用一级超前网络无法满足要求。(2) 设计迟后校正装置 经试算在处有 取 对应 在 以下24.436dB画水平线，左延10dec到对应=处,作线交0dB线到E：，因此可得出迟后校正装置传递函数： 试算： 由Bode图： 幅值裕度h不满足要求。为增加，应将高频段压低。重新设计：使滞后环节高频段幅值衰减40dB()。求对应处的 查惯性环节表,在处： 以交0dB线于E：（），得出滞后校正装置传递函数： 在处: 验算： （满足要求）因此确定： 5-36 设单位反馈系统的开环传递函数 要求校正后系统的静态速度误差系数v5(rad/s)，截止频率c2(rad/s)，相角裕度45，试设计串联校正装置。解
16、在以后，系统相角下降很快，难以用超前校正补偿；迟后校正也不能奏效，故采用迟后-超前校正方式。根据题目要求，取 ， 原系统相角裕度 最大超前角 查教材图5-65(b) 得： ， 过作，使；过作20dB/dec线并且左右延伸各3倍频程，定出、，进而确定、点。各点对应的频率为： 有 验算： 5-37 已知一单位反馈控制系统，其被控对象G0(s)和串联校正装置Gc(s)的对数幅频特性分别如图5-86 (a)、(b)和(c)中和所示。要求： （1）写出校正后各系统的开环传递函数； （2）分析各对系统的作用，并比较其优缺点。解 (a) 未校正系统开环传递函数为 采用迟后校正后 画出校正后系统的开环对数幅频特性如图解5-37(a)所示。有 ， 可见 (b) 未校正系统频率指标同(a)。采用超前校正后画出校正后系统的开环对数幅频特性如图解5-37(b)所示。可见 (c) 校正前系统的开环传递函数为 画出校正后系统的开环对数幅频特性，可见采用串联滞后超前校正后 103教辅工具b