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1、名校名 推荐一、填空题1.设向量 a，b 满足 |ab|10，|ab|6，则 ab_.2解析由|ab|10得|ab| 10，又 |ab| 6，所以 a22ab b26，由 得 4ab 4，则 ab1.答案1 2.(2015 北京卷 )在 ABC 中，点 M ，N 满足 AM 2MC，BNNC.若MN xAByAC，则 x_；y_. 1 1 解析MNMCCN3AC2CB1 1 3AC2(ABAC)1 1 ， x1， y12AB6AC26.1 1答案 2 6已知， ，为圆上的三点，若1 O AC ，则与AC的夹角为3.AB CAO2(AB)AB_.1 解析由AO2(ABAC)，可得 O 为 BC
2、的中点，故 BC 为圆 O 的直径，所以 AB与AC的夹角为 90.答案904.已知 O 是平面上的一定点， A，B，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P，则点的轨迹一定通过的满足 OP OA (AB AC ，(0)PABC)_(填重心、垂心、内心或外心 ).解析 ，即，根据平行四边形由已知，得 OP OA (ABAC)(ABACAP)法则，设 ABC 中 BC 边的中点为 D，知 ABAC2AD，所以点 P 的轨迹必过ABC 的重心 .故填重心 .答案重心1名校名 推荐已知，均为单位向量，33，则向量 a，b 的夹角为5.a b(2a b) (a 2b)2_.解析因为 a，b 均为单位向量
3、， 所以 (2a b) (a2b)223ab 323，解得 ab 3，所以 cosa，bab 3，又 a，b 0， ，所以 a，b2|a|b|2 6 .答案66.(2014 江苏卷 )如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB8， 3PD，APBP2，则ABAD的值是 _.AD5，CP1 解析由题图可得， AP AD DP AD4AB，3 3BPBCCPBC4CD AD 4AB.1 3 APBPAD4AB AD4AB 21 3 2AD2ADAB16AB 2，1 3故有 2252ADAB16 64，解得 ADAB22.答案22是边长为的等边三角形，已知向量，满足22a， AC 2ab，7. A
4、BCa bAB则下列结论中正确的是 _(写出所有正确结论的编号 ).a 为单位向量； b 为单位向量； a b； bBC； (4ab) BC.解析 224， |a|1，故 正确；AB 4|a| ，故BCACAB(2ab) 2a b，又 ABC 为等边三角形， |BC |b| 2错误； 1 11bACAB，ab2AB(ACAB)2 22cos 60222 1 0，故 错误；2名校名 推荐BCb，故 正确； 2 2(AB AC ABACAB 4 4 0，) (AC)(4ab) BC，故 正确 .答案8.(2016 淮安月考 )如图，在 ABC 中，C90，且 ACBC3，点 M 满足 BM 2MA
5、，则 CMCB_.解析法一如图，建立平面直角坐标系 .由题意知： A(3， 0)，B(0，3)，设 M(x，y)，由 BM2MA，x 2（ 3 x），x2，得解得y 3 2y，y1，即 M 点坐标为 (2， 1)，(0，3) 3.所以 CMCB(2，1)法二 2 2 22 CMCB(CB BM CB CBBA CB 3CB(CACB) CB3)1 23CB 3.答案3二、解答题3x3xxx9.已知向量 a cos 2 ， sin 2， b cos 2， sin 2，且 x0， 2 .(1)求 ab 及 |ab|；3(2)若 f(x)ab 2|a b|的最小值是 2，求 的值 .解(1)abco
6、s3xcosxsin3xsinxcos 2x，22223xx23xx 2|ab|cos2 cos 2sin 2sin 2 22cos 2x2 cos2 x，因为 x 0， 2 ，所以 cos x 0，3名校名 推荐所以 |ab|2cos x.(2)由(1)，可得 f(x)ab2|ab| cos 2x4cos x，22即 f(x)2(cos x) 1 2.因为 x 0， 2 ，所以 0 cos x1.当 0 时，当且仅当 cos x0 时， f(x)取得最小值 1，这与已知矛盾；2当 01 时，当且仅当 cos x时，f(x)取得最小值 12，由已知得 1231 22，解得 2；当 1 时，当且
7、仅当 cos x1 时， f(x)取得最小值 14，由已知得 14351 2，解得 8，这与 1 相矛盾 .综上所述 2.10.设向量 a(3sin x， sin x)，b(cos x，sin x)，x 0， 2 .(1)若|a| |b|，求 x 的值；(2)设函数 f(x)ab，求 f(x)的最大值 .解(1)由 |a|2 (3sin x)2(sin x)24sin2x，|b|2(cos x)2(sin x)21，及 |a|b|，得 4sin2x 1.1又 x0， 2，从而 sin x2，所以 x 6 .(2)f(x) ab 3sin xcos xsin2x3111 2 sin 2x2cos
8、 2x 2 sin 2x62，当 x， 时， sin2x取最大值 1.3026所以 f(x)的最大值为 32.11.(2016 南师附中调研 ) ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c.向量 m (a， 3b)与 n(cos A， sin B)平行 .(1)求 A；(2)若 a7，b2，求 ABC 的面积 .4名校名 推荐解 (1)因为 m n，所以 asin B 3bcos A 0，由正弦定理，得 sin Asin B 3sin Bcos A 0，又 sin B 0，从而 tan A 3，由于 0A ，所以 A 3 .(2)法一由余弦定理，得 a2 b2 c22bccos A，而 a 7， b 2， A 3，得 74c22c，即 c22c 3 0，因为 c0，所以 c3，故 ABC 的面积为 S1332bcsin A2 .法二 由正弦定理，得7 2，sin Bsin 321从而 sin B7，又由 a b，知 AB，所以 cos B27，故 sin C sin(A B)sinB73321 sin Bcos 3cos Bsin314 .133所以 ABC 的面积为 S2absin C 2 .5