高中数学解题学科方法_参数法.doc

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1、学科方法参数法 参数观点是运动、变化思想在数学中的重要体现参数是解析几何中最活跃的元素，也是解题的一种主要方法解析几何中的许多解题技巧都来源于参数观点(一)参数法解题的基本步骤参数法解题的步骤是：(1)设参，即选择适当的参数(参数的个数可取一个或多个)；(2)用参，即建立参数方程或含参数的方程；(3)消参，即通过运算消去参数，使问题得到解决例1 已知抛物线y2=2px(p0)，在x轴的正半轴上求一点M，使过M的弦P1P2，满足OP1OP2【解】 如图25，设M(m，0)(m0)、P1(x1，y1)、P2(x2，y2) OP1OP2，即y1y2=-x1x2 (y1y2)24p2x1x2从而(-x

2、1x2)2=4p2x1x2 x10，x20， x1x2=4p2 设直线P1P2的方程为y=k(x-m)，把它代入y2=2px中，整理，得k2x2-2(k2m+p)x+k2m2=0由韦达定理，得x1x2=m2 把代入中，得m2=(2p)2 m0，p0，m=2p于是所求的点M的坐标为(2p，0)【解说】 本例选点P1、P2的坐标为参数，利用已知条件建立x1，x2，y1，y2，m，p的关系式，消去参数，求得m的值OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|OP|=|OR|2当点P在l上移动时，求动点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线(1995年全国高考理科压轴题)【解】 如图26，设动点Q(x，y

3、)(x，y不同时为零)又设|OR|=|OQ|，|OP|=u|OQ|，(，u0)，由于Q、R、P三点共线，所以点R(x，y)、点P(ux，uy) |OQ|OP|=|OR|2， u|OQ|2=2|OQ|2又|OQ|0，同理，由P在l上，可得于是由、，可得动点Q的轨迹方程为且长轴平行于x轴的椭圆，去掉坐标原点利用已知条件|OQ|OP|=|OR|2巧妙地消去参数，这里参数是一个过渡，起桥梁作用这种解法比高考命题者提供的答案简明(二)解题技巧的一个源泉参数观点是产生解题技巧的一个源泉，解析几何的许多解题技巧都起源于参数其中“设而不求”和“代点法”就是最突出的两个1设而不求例3 如图27，过圆外一点P(a

4、，b)作圆x2y2=R2的两条切线，切点为A、B，求直线AB的方程【解】 设A、B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则切线AP、BP的方程分别为x1x+y1yR2，x2x+y2yR2 这两条切线都过点P(a，b)， ax1by1=R2，ax2by2=R2由以上二式可以看出，点A、B在直线axby=R2上，又过A、B只有一条直线， 直线AB的方程为axby=R2【解说】 本例中把A、B的坐标作为参数虽然设了A、B的坐标，但并没有去求它的值，而是利用曲线与方程的概念，巧妙地“消去”参数，这就是所谓的“设而不求”2代点法例4 求抛物线y2=12x的以M(1，2)为中点的弦所在直线的方程【解

5、法1】 设弦的两个端点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则由中点坐标公式，得y1y24 即(y1y2)(y1-y2)=12(x1-x2) 即直线AB的斜率k=3故直线AB的方程为y-2=3(x-1)即 3x-y-1=0【解法2】 弦的中点为M(1，2)， 可设弦的两个端点为A(x，y)、B(2-x，4-y) A、B在抛物线上， y2=12x，(4-y)2=12(2-x)以上两式相减，得y2-(4-y)2=12(x-2+x)，即 3x-y-1=0，这就是直线AB的方程【解说】 以上两种解法都叫做代点法它是先设曲线上有关点的坐标，然后代入曲线方程，最后经适当变换而得到所求的结果 习题22 用参

6、数法解证下列各题：1已知椭圆9x216y2=144内有一点P(2，1)，以P为中点作弦MN，则直线MN的方程为 A9x-8y260B9x8y-260C8x-9y+26=0D8x9y-26=02点D(5，0)是圆x2y2-8x-2y+7=0内一点，过D作两条互相垂直的射线，交圆于A、B两点，求弦AB中点M的轨迹方程且OPOQ，求m的值4已知射线OA、OB分别在第一、四象限，且都与Ox轴成60的轨迹5已知两点P(-2，2)、Q(0，2)以及一条直线l：y=x设长为程(要求把结果写成普通方程)(1985年全国高考理科试题)6已知椭圆的中心在原点，对称轴合于坐标轴，直线y=-x1与 习题22答案或提示

7、 1仿例4，选(B)2设M(x，y)，A(xx0，yy0)，B(x-x0，y-y0)，把A、B=03仿例1，可得m=35设A(t，t)，B(t1，t1)，又设直线PA、PB的斜率分别x2-y22x-2y8=06设椭圆的方程为ax2by2=1(a0，b0)，A、B、C的坐学科方法待定系数法 (一)求直线和曲线的方程例1 过直线x-2y-3=0与直线2x-3y-2=0的交点，使它与两坐标轴相交所成的三角形的面积为5，求此直线的方程【解】 设所求的直线方程为(x-2y-3)+(2x-3y-2)=0，整理，得依题意，列方程得于是所求的直线方程为 8x-5y20=0或2x-5y-10=0【解说】 (1)

8、本解法用到过两直线交点的直线系方程，是待定系数(2)待定系数法是求直线、圆和圆锥曲线方程的一种基本方法例2 如图29，直线l1和l2相交于点M，l1l2，点Nl1，以A、B为端点的曲线C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等若系，求曲线C的方程(1998年全国高考理科试题)【解】 如图29，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系由已知，得曲线C是以点N为焦点、l2为准线的抛物线的一段，其中点A、B为曲线C的端点设曲线C的方程为y2=2px，p0(x1xx2，y0)其中，x1、x2分别是A、B的横坐标，p=|MN|从而M、N解之，得p=4，x1=1故曲线C的方程为y2=8x (1

9、x4，y0)(二)探讨二元二次方程(或高次方程)表示的直线的性质例3 已知方程ax2bxycy2=0表示两条不重合的直线L1、L2求：(1)直线L1与L2交角的两条角平分线方程；(2)直线L1与L2的夹角的大小【解】 设L1、L2的方程分别为mxny=0、qxpy=0，则ax2+bxycy2(mx+ny)(qx+py)从而由待定系数法，得amq，bmpnq，c=np(1)由点到直线的距离公式，得所求的角平分线方程为即(m2n2)(qxpy)2=(q2+p2)(mxny)2，化简、整理，得(nq-mp)(nqmp)x22(np-mq)xy-(nqmp)y2=0 L1、L2是两条不重合的直线b2-

10、4ac(mp+nq)2-4mnpq=(mpnq)20即 mp-nq0从而(nqmp)x22(np-mq)xy-(nq+mp)y2=0把 mq=a，mp+nq=b，np=c代入上式，得 bx2+2(c-a)xy-by20即为所求的两条角平分线方程(2)显然当mqnp=0，即a+c=0时，直线L1与L2垂直，即夹角为90当mqnp0即ac0时，设L1与L2的夹角为，则【解说】 一般地说，研究二元二次(或高次)方程表示的直线的性质，用待定系数法较为简便(三)探讨二次曲线的性质1证明曲线系过定点例4 求证：不论参数t取什么实数值，曲线系(4t2t1)x2+(t1)y24t(t1)y-(109t221t

11、+31)=0都过两个定点，并求这两个定点的坐标【证明】 把原方程整理成参数t的方程，得(4x24y-109)t2+(x2+y2+4y-21)t+x2y2-31=0 t是任意实数上式都成立，【解说】 由本例可总结出，证明含有一个参数t的曲线系F(x，y，t)=0过定点的步骤是：(1)把F(x，y，t)=0整理成t的方程；(2)因t是任意实数，所以t的各项系数(包括常数项)都等于零，得x、y的方程组；(3)解这个方程组，即得定点坐标2求圆系的公切线或公切圆例5 求圆系x2y2-2(2m1)x-2my4m24m1=0(m0)的公切线方程【解】 将圆系方程整理为x-(2m+1)2(y-m)2=m2(m

12、0)显然，平行于y轴的直线都不是圆系的公切线设它的公切线方程为 y=kxb，则由圆心(2m1，m)到切线的距离等于半径|m|，得从而(1-2k)m-(kb)2m2(1k2)，整理成m的方程，得(3k2-4k)m2-2(1-2k)(k+b)m+(k+b)2=0 m取零以外的任意实数上式都成立，【解说】 由本例可总结出求圆系F(x，y，m)=0的公切线方程的步骤是：(1)把圆系方程化为标准方程，求出圆心和半径；(2)当公切线的斜率存在时，设其方程为y=kxb，利用圆心到切线的距离等于半径，求出k、b、m的关系式f(k，b，m)=0；(3)把f(k，b，m)=0整理成参数m的方程G(m)=0由于mR

13、，从而可得m的各项系数(包括常数项)都等于零，得k、b的方程组；(4)解这个方程组，求出k、b的值；(5)用同样的方法，可求出x=a型的公切线方程3化简二元二次方程例6 求曲线9x24y218x-16y-11=0的焦点和准线【分析】 把平移公式x=xh，y=yk，代入原方程化简 习题23用待定系数法解证下列各题：1求经过三点(2，3)、(5，3)、(3，-1)的圆的方程2求双曲线x2-2y2-6x4y3=0的焦点坐标3若方程ax3bx2ycxy2dy3=0表示三条直线，且其中两条互相垂直，求证：a2acbdd2=04求圆系2x2+2y2-4tx-8ty9t2=0(t0)的公切线方程5试证圆系x

14、2+y2-4Rxcos-4Rsin+3R2=0(R是正的常数，为参数)与定圆相切，并求公切圆的方程6若在抛物线y2=2px(p0)的对称轴上有一个定点Q，过Q的任习题23答案或提示1设圆的方程为x2y2DxEyF=0，把三个已知点的坐标代入，可求得D=-8，E=-2，F=123设过原点互相垂直的两条直线方程为lx2+mxy-ly2=0，另一条直线方程为pxqy=0，则ax3bx2ycxy2+dy3=(lx2mxy-ly2)(pxqy)，从而a=lp，b=lqmp，c=mq-lp，d=-lp于是可得a2acbdd2=04y=x或y=7x5圆系方程为(x-2Rcos)2+(y-2Rsin)2=R2

15、，设公切圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，则由两圆相切的充要条件是圆心距等于两圆半径和或差的绝对值，可得(a-2Rcos)2(b-2Rsin)2=(Rr)2，整理，可得a2b2-2R即a=b=0从而r2-3R22Rr=0，解得r1=R，r2=3R6设Q(x0，0)，直线AB的参数方程为x=x0tcos，y=tsin代任一值，所以x0=p学科方法判别式法 (一)确定直线与二次曲线和二次曲线与二次曲线的位置关系它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线l的距离？(1988年全国高考理科试题)点、l为准线的抛物线方程为y2=2px椭圆上有四个点符合题意的充要条件为方程组y2=2px有四个不同的

16、实数解显然，这个方程组有四个不同的实数解的充要条件为方程有两个不相等的正根设方程的两个根为x1、x2，则x10、x20的充要条件为又由已知，得p0 【解说】 本例的实质是求椭圆与抛物线有四个不同的交点的条件，它归结为一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的正根的条件，即(二)求极值例2 过点P(3，2)作直线l分别交x轴、y轴正方向于A、B两点，求AOB面积S的最小值【解】 如图2-21，设直线l的方程为y-2=k(x-3)(k0)，则它在x轴、y轴上的截距分别为从而9k2+2(S-6)k+4=0 =2(S-6)2-4490， S(S-12)0 S0，S12 Smin=12例3 在椭圆9x

17、2+4y2=36上分别求一点，使x+y有最大值和最小值【解】 设x+y=u，则y=u-x把它代入椭圆方程中，整理，得13x2-8ux+4(u2-9)=0 x是实数， 0即(-8u)2-4134(u2-9)0解之，得-(三)求参数的取值范围例4 已知抛物线y=ax2-1上恒有关于直线l：y=-x对称的两点，求a的取值范围【解法1】 如图2-22，设点P(x0，y0)关于直线l对称的点为Q(-y0，-x0)，则由P、Q都在抛物线y=ax2-1上，得以上两式相减，得x0+y0=a(x0+y0)(x0-y0) 点P不在直线x+y=0上，x0+y00从而a(x0-y0)=1，即y0=x0- P、Q两点恒

18、存在，x0是实数，即方程(*)恒有两个不等实学科方法综合几何法 (一)利用平面几何知识解题例1 已知O的方程为x2y2=r2，点A(-r，0)、B(r，0)，M是O上任一点，过A作M处的切线的垂线AQ交BM的延长线于P，求动点P的轨迹方程【解】 如图212，连MO，则OMMQ，从而OMAP |BO|=|OA| |AP|2|MO|2r于是动点P的轨迹是以点A为圆心，|AP|=2r为半径的圆设P(x，y)，则P的轨迹方程为(x+r)2+y2(2r)2【解说】 本例利用圆的切线的性质和三角形中位线定理，其解法十分明快、简捷例2 已知圆O：(x-14)2(y-12)2=362内一点C(4，2)和圆周上

19、两动点A、B，使ACB=90，求斜边AB的中点M的轨迹方程【解】 如图213，连结MO、MC、BO，则OMMB，|MC|=|AM|=|MB|设M(x，y)，则在RtBMO中，|OM|2+|BM|2=|OB|2，又|BM|=|CM|， |OM|2|CM|2=|OB|2，即(x-14)2+(y-12)2(x-4)2+(y-2)2=362， 动点M的轨迹方程为x2y2-18x-14y-4680【解说】 本例利用圆的垂径定理和直角三角形的性质，使一个运算量较大的习题，得到极其简便的解法，充分显示了平面几何知识在解析几何中的应用(二)利用圆锥曲线的定义和几何性质解题例3 已知一动圆P与圆O1：(x+1)

20、2y2=1外切，与圆O2：(x-1)2+y2=9内切，求动圆圆心P的轨迹方程【解】 如图214设动圆圆心P的坐标为(x，y)，它的半径为r由已知，得两定圆的圆心分别为O1(-1，0)、O2(1，0)，半径分别为r1=1，r2=3 动圆P与O1外切，与O2内切， |PO1|=1+r，|PO2|=3-r， |PO1|+|PO2|=4即动点P到两点O1、O2的距离之和等于4从而由椭圆的定义，得动点P的轨迹是以两定点O1、O2为焦点，长轴长为4的椭圆由于O1与O2内切于点M(-2，0)，所以轨迹中不包括点M故动点P的轨迹方程为【解说】 本解法的特点是利用椭圆的定义和两圆相切的条件例4 如图2-15，F

21、是圆锥曲线的焦点，P1P2是焦点弦，e、p分别是离心率和焦参数(即焦点到准线的距离|FF1|)，求证【证明】 如图2-15，过P1、P2分别作准线L的垂线，垂足分别为Q1、Q2由圆锥曲线的定义，得【解说】 本解法的特点是灵活利用圆锥曲线的统一定义和线段定比分点公式 习题25用综合几何法解证下列各题：焦点，AB为左支上过F1的弦，且|AB|m，则ABF2的周长是_2已知ABC的两个顶点A(-a，0)、B(a，0)(a0)，顶点C在运动，且|AC|=2b(b是定值)，求BC中点P的轨迹方程3已知 ABCD的相对两个顶点A(-4，6)、C(8，2)，过原点O作一直线l把平行四边形的面积分成相等的两部

22、分，求直线l的方程焦点也是F2，C1的准线与C2的准线重合，P是C1与C2的一个交点，求证：5已知椭圆的两个焦点是F1、F2，RtPF2Q的直角顶点为P，P、Q在椭圆上，F1在线段PQ上，且|PQ|=|PF2|，求这椭圆的离心率6从过抛物线x2=2py(p0)的焦点F的弦AB的端点向准线l引垂习题25答案或提示1周长=(|AF2|-|AF1|)+(|BF2|-|BF1|)+2(|AF1|+|BF1|)=2a+2a+2m=4a+2m3设AC与BD交于G，则平面几何知识可得，所求的直线l过点Gl的方程为y=2x4设C2：y2=2px、C1的离心率为e，点P到C1的左准线的距离为d，则由抛物线、双曲

23、线的定义，得|PF2|=d， 6(1)因为|AF|=|AA1|、|FB|=|BB1|、AA1y轴BB1，所以AFA1=学科方法坐标法坐标法是解析几何最基本的方法，它的思路是，通过建立平面坐标系(直角坐标系或极坐标系等)，把几何问题转化为代数问题(或代数问题转化为几何问题)，从而利用代数知识(或解析几何知识)使问题得以解决(一)坐标法解证几何题例1 在ABC中，已知BC=a，CA=b，AB=c，S为三角形面【证明】 如图21，以边AB的中点O为坐标系原点、AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系，设A、B、C的坐标分别为(-m，0)、(m，0)、(p，q)(m0，q0)，则a2=|BC|2=(m-p

24、)2q2=m2+p2q2-2mp，b2=|AC|2=(pm)2q2=p2m2q2-2mp，c2=4m2，Smq例2 已知：AB是半圆的直径，且AB=2r，直线L与BA的延长与L的距离分别为MP、NQ，且MP=MA，NQ=NA求证：AMAN=AB【分析】 由|MA|=|MP|和|NA|=|NQ|，知M、N在以A为焦点的抛物线上，因此M、N是半圆与抛物线的两个交点，从而本题可考虑用直角坐标法和极坐标法求解【证法1】 如图22，以AT的中点O为坐标原点，射线OB为x轴的正方向，建立直角坐标系 |MA|MP|，|NA|=|NQ|， M、N是以A为焦点，L为准线的抛物线上的点 p=|AT|=2a， 抛物

25、线的方程 y2=4ax 由已知，得半圆的方程为x-(a+r)2y2=r2(y0) 把代入中，整理，得x2-2(r-a)xa2+2ar=0设M、N两点的横坐标分别为x1、x2，则x1+x2=2r-2a |AM|+|NA|=ax1ax22a2r-2a2r， |AM|AN|=|AB|【证法2】 如图22，以A为极点，射线AB为极轴，建立极坐标系，则半圆的方程为 |MA|=|MP|，|NA|=|NQ|， M、N在以A为极点、L为准线的抛物线上又p=|AT|=2a，从、中消去cos，得2-2r+4ar0从而由韦达定理，得|MA|NA|=12=2r故 |AM|AN|AB|【解说】 由以上两例，可总结出坐标

26、法解证几何题的思路模式图为：(二)坐标法解证代数题【证明】 由已知条件，得 在平面直角坐标系xOy中，直线xy直线的距离不大于半径，即 (z-a)2a2-2z2，又a0，【解说】 本例利用方程的几何意义，把已知条件转化为直线与圆的位置，从而由点到直线的距离公式，使问题获解【证明】 如图23，建立直角坐标系，设圆O的半径为1 、是方程acosbsin=c在(0，)内的两个根， acosbsin=c，acosbsin=c，从而点A(cos，sin)，B(cos，sin)是直线ax+by=c与O的两个交点【解说】 由以上两例，可总结出坐标法解证代数题的思路模式为： 习题21用坐标法解证下列各题：1在

27、锐角ABC中，ADBC于D，且|AD|=|BC|，M是BC的中点，H是垂心，求证：|MH|HD|=|BM|2在锐角ABC中，ADBC于D，H为AD上一点，BH、CH分别交AC、AB于E、F，求证：EDA=ADF3在ABC中，AB=AC，ADBC于D，DEAC于E，M是DE的中点，求证：AMBE6关于的方程 acosbsin=0(a2b20)有两个相异实根、，m、nR，求证：习题21答案或提示1以D为坐标原点，DC为x轴，DA为y轴，设点B(b，0)、2以D为原点，DC为x轴，DA为y轴，设点A、B、C、H坐标分别为(0，a)、(b，0)、(c，0)、(0，h)，则直线AC的方程为3以D为原点，DC为x轴、DA为y轴，设A、B、C的坐标如图24，当直线y=x-u过点A(1，0)时，u=1当直线与半圆相切5在直角坐标系中，设M(1，2)、P(sin，cos)，则P为O：x2+y2=1上任一点，f()为MP的斜率，由图(图由读者自画)易知，过M作O的两条切线中，斜率存在的那一条直线的斜率，即为所求的最小值设这切线的方程为y-2=k(x-1)，则由点到直线的距离公式，可得k=346由已知可得，直线 axby=0与单位圆x2y2=1有两个不同的交点A(cos，sin)、B(cos，sin)，又P(m，n)是任一点，则|PA|PB|AB|2，即