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1、A B C P O x y 例题 定义类 1已知 一曲线上的动点 到 距离之差为6则双曲线的方程为 点拨一要注意是否满足1 22 | |a F F二要注意是一支还是两支 1 2| | | | 6 10PF PF 的轨迹是双曲线的右支.其方程为 2双曲线的渐近线为 则离心率为 点拨当焦点在x轴上时 当焦点在y轴上时 3某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上) 【解题思路】时
2、间差即为距离差到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的 解析如图以接报中心为原点O正东、正北方向为x轴、y轴正向建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点则A10200B10200C01020 设Px,y为巨响为生点由A、C同时听到巨响声得|PA|=|PC|故P在AC的垂直平分线PO上PO的方程为y=x因B点比A点晚4s听到爆炸声故|PB| |PA|=34034=1360 上 由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线依题意得a=680, c=1020 用y=x代入上式得 |PB|PA|, 答巨响发生在接报中心的西偏北450距中心 处. 【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为
3、“数学模型” 4 设P为双曲线 上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点若|PF1|PF2|=32则PF1F2的面积为 A B12 C D24 解析 又 由、解得 1 2( 5,0), (5,0)F FP21,FFP)0(116922xyxxy2323ab213e23ba313e12222byax13405680340568010202222222222yxacb故双曲线方程为5680x10680),5680,5680(,5680,5680POPyx故即m1068011222yx36 3122:3|:|,13,12,121PFPFcba由,22|21aPFPF.4|,6|21PFPF 直角三角形
4、 故选B。 5如图2所示 为双曲线 的左 焦点双曲线 上的点 与 关于 轴对称 则 的值是 A9 B16 C18 D27 解析选C 6.P是双曲线 左支上的一点F1、F2分别是左、右焦点且焦距为2c则 的内切圆的圆心的横坐标为 A B C D 解析设 的内切圆的圆心的横坐标为 由圆的切线性质知 7若椭圆 0122nmnymx与双曲线2 21x ya b )0(ba有相同的焦点F1F2P是两条曲线的一个交点则|PF1|2|PF2|的值是 A.am B. am21 C.22am D.am 【解析】椭圆的长半轴为 1 22 1m PF PF m 双曲线的实半轴为 1 22 2a PF PF a 2
5、21 2 1 21 2 4 4PF PF m a PF PF m a 故选A. 求双曲线的标准方程 1已知双曲线C与双曲线 =1有公共焦点且过点32.求双曲线C的方程 【解题思路】运用方程思想列关于 的方程组 解析解法一设双曲线方程为 =1.由题意易求c=2 . 又双曲线过点32 =1. 又a2+b2=22a2=12b2=8. ,52|,52|2212221FFPFPF为21FPF.124621|212121PFPFSFPFF1169:22yxCCiP 3,2,17iPiyFPFPFPFPFPFP654321FPFP61FPFP52643FPFP)0,0(12222babyax21FPFabc
6、cba21FPF0xaxacxxcPFPF000122|)(|162x42y2cba,22ax22by5222)23(a24b5故所求双曲线的方程为 =1. 解法二设双曲线方程为 1 将点32代入得k=4所以双曲线方程为 1. 2.已知双曲线的渐近线方程是 焦点在坐标轴上且焦距是10则此双曲线的方程为 解析设双曲线方程为 当 时化为 当 时化为 综上双曲线方程为 或 3.以抛物线 的焦点 为右焦点,且两条渐近线是 的双曲线方程为_. 解析 抛物线 的焦点 为 设双曲线方程为 双曲线方程为 4.已知点 动圆 与直线 切于点 过 、 与圆 相切的两直线相交于点 则 点的轨迹方程为 A B C x
7、0 D 解析 点的轨迹是以 、 为焦点实轴长为2的双曲线的右支选B 与渐近线有关的问题 1若双曲线 的焦点到渐近线的距离等于实轴长则双曲线的离心率为 A. B. C. D. 【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素沟通 的关系 解析 焦点到渐近线的距离等于实轴长故 ,所以 【名师指引】双曲线的渐近线与离心率存在对应关系,通过 的比例关系可以求离心率,也可以求渐近线方程 2.双曲线 的渐近线方程是 () 122x82ykx162ky422122x82y2xy224yx01422yx2010452 01422yy2010452 2 2120 5x y 120522xyxy382F03yxxy382
8、F)0,32(223yx9)32(342 13922yx( 3,0)M(3,0)N(1,0)BC MNB MN CPP221 ( 1)8yx x 221 ( 1)8yx x 1822yx221 ( 1)10yx x 2BNBMPNPMP MN)0,0(12222babyax23 52cba,ab25122222abace5ecba,2 214 9x y A. B. C. D. 解析选C 3.焦点为06且与双曲线 有相同的渐近线的双曲线方程是 A B C D 解析从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑选B 4过点13且渐近线为xy21的双曲线方程是 【解析】设所求双曲线为 2214xy
9、 k 点13代入1 3594 4k .代入1 2 2 2235 414 4 35 35x y xy 即为所求. 【评注】在双曲线2 22 21x ya b 中令2 22 20 0x y x ya b a b 即为其渐近线.根据这一点可以简洁地设待求双曲线为2 22 2x yka b 而无须考虑其实、虚轴的位置. 5 设CD是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦求证它的两端点与实轴任一顶点的连线成直角. 【证明】如图设等轴双曲线方程为 2 2 21x y a 直线CDy=m.代入12 2x x m .故有 2 2 2 2, , ,C x m m D x m m . 取双曲线右顶点 ,0B a.那么 2
10、 2 2 2, , ,BC x m a m BD x m a m 2 2 2 20,BC BD a a m m BC BD .即CBD=90. 同理可证CAD=90. 几何 1设P为双曲线22112yx 上的一点1 2F F是该双曲线的两个焦点若1 2| |:| | 3 : 2PF PF则1 2PF F的面积为 A6 3 B12 C.12 3 D24 23y x 49y x 32y x 94y x 1222yx1241222yx1241222xy1122422xy1122422yxXOYCDAB【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是1, 2 3, 13a b c .设 1 2 1 23 ,
11、2 . 2 2, 2.PF r PF r PF PF a r 于是2 2 21 2 1 2 1 26, 4. 52PF PF PF PF F F 故知PF1F2是直角三角形F1P F2=90. 1 21 21 16 4 122 2PF FS PF PF .选B. 求弦 1双曲线122yx的一弦中点为21则此弦所在的直线方程为 A.12xy B.22xy C.32xy D.32xy 【解析】设弦的两端分别为 1, 1 2, 2,A x y B x y.则有 2 22 2 2 21 11 2 1 21 2 1 22 21 2 1 22 2101x yy y x xx x y yx x y yx y
12、 . 弦中点为211 21 242x xy y .故直线的斜率1 2 1 21 2 1 22y y x xkx x y y . 则所求直线方程为 1 2 2 2 3y x y x 故选C. “设而不求”具体含义是在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤只要有可能可以用虚设代替而不必真地去求它. 但是“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用也会出漏子.请看 2 在双曲线1222yx上是否存在被点M11平分的弦如果存在求弦所在的直线方程如不存在请说明理由. 如果不问情由地利用“设而不求”的手段会有如下解法 【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由 2222 212 2 1 2 2
13、 4 3 0 222 1yxx x x xy x 这里16 24 0 故方程2无实根也就是所求直线不合条件. 此外上述解法还疏忽了一点只有当1 2x x时才可能求出k=2.若1 2 1 20x x y 必有y.说明这时直线与双曲线只有一个公共点仍不符合题设条件. 结论不存在符合题设条件的直线. 换远压轴题 1如图点F为双曲线C的左焦点左准线l交x轴于点Q点P是l上的一点已知1|FQPQ且线段PF的中点M在双曲线C的左支上. 求双曲线C的标准方程 若过点F的直线m与双曲线C的左右 两支分别交于A、B两点设FAFB当 ),6时求直线m的斜率k的取值范围. XYOF1F2P2r 【分析】第问中线段P
14、F的中点M 的坐标是主要变量其它都是辅助变量.注意到 点M是直角三角形斜边的中点所以利用中点公式是设参消参的主攻方向 第中直线m的斜率k是主要变量其它包括都是辅助变量. 斜率k的几何意义是有关直线倾斜角的正切所以设置直线m的参数方程而后将参数用的三角式表示是一个不错的选择. 【解析】设所求双曲线为2 22 21x ya b .其左焦点为F-c。0左准线2axc . 由| | 1PQ得P2ac1由 2 22| | 1 1 1 . 1a bFQ c b cc c FP的中点为2 21,2c aMc .代入双曲线方程 22 22 2114 4c ac a c 22 2 2 2 24c a a c c
15、 a 22 2 2 4 22c a a c b a c 根据1与222 2, 1 2ac a b cc .所求双曲线方程为2 22x y . 设直线m的参数方程为2 cossinx ty t .代入2 22x y 得 22 cos sin 2 cos 2 4 cos 2 0 3t t t t 当 2 2cos 2 0 16 cos 8 2 cos 1 8 0 时 方 程 3 总 有 相 异 二 实 根 设 为 1 21 21 24 coscos 2. 42cos 2t tt tt t 那么. 已知直线m与双曲线C的左右两支分别交于A、B两点FB FA 与 同向 210tFBtFA 故.于是 2
16、2 21 22 1 2 11 2 1 2 1 212t tt t t tt t t t t t .注意到1在),6上是增函数 2 21 2 1 21 2 1 21 492 6 56 6t t t tt t t t 4代入5 22 2 24cos 26 49 48cos 49 2cos 1 50cos 49cos2 cos2 2 250 1 1 1sec tan49 49 7 7k k 或 双曲线2 22x y 的渐近线斜率为1故直线m与双曲线C的左右两支分别交必须 11k .综合得直线m的斜率k的取值范围是1 11 17 7k . AyxOMFPQBml练习题 1已知中心在原点顶点A1、A2在
17、x轴上离心率e=321的双曲线过点P(66)(1)求双曲线方程(2)动直线l经过A1PA2的重心G与双曲线交于不同的两点M、N问是否存在直线l,使G平分线段MN证明你的结论 解(1)如图设双曲线方程为2222byax=1由已知得321,16622222222abaeba,解得a2=9,b2=12所以所求双曲线方程为12922yx=1 (2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、(30)、(30其重心G的坐标为(22 假设存在直线l使G(22)平分线段MN设M(x1,y1)N(x2,y2)则有 2 21 2 1 11 22 21 21 22 24 12 9 10812 4,49 312 9 10
18、8x x x yy yy yx xx y kl=34l的方程为 y=34 (x2)+2,由)2(3410891222xyyx,消去y,整理得x24x+28=0=1643280,所求直线l不存在 2已知双曲线,问过点A11能否作直线,使 与双曲线交于P、Q两点并且A为线段PQ的中点若存在求出直线 的方程若不存在说明理由。 错解设符合题意的直线 存在并设 、 则 1 得 因为A11为线段PQ的中点所以将(4)、(5)代入3得 若 则直线 的斜率 所以符合题设条件的直线 存在。其方程为 剖析在3式成立的前提下由(4)、5两式可推出(6)式但由(6)式不能推出(4)(5)两式故应对所求直线进行检验上述
19、错解没有做到这一点故是错误的。应在上述解题的基础上再由 得 根据,说明所求直线不存在。 3已知点N12过点N的直线交双曲线1222yx于A、B两点且)(21OBOAON1求直线AB的方程2若过N的直线l交双曲线于C、D两点且0ABCD那么A、B、C、D四点是否共圆为什么 解1设直线AB2)1(xky代入1222yx得02)2()2(2)2(222kxkkxk 令Ax1y1Bx2y2则x1、x2是方程的两根022k且2212)2(2kkkxx 新疆源头学子小屋特级教师王新敞http:/ lll),(21xxP),(22yxQ)2(12)1(1222222121yxyx)2()(2121xxxx)3()(212121yyyy)5(2)4(22121yyxx)(212121yyxx21xxl22121xxyykl012yx121222yxxy03422xx08A1A2MNGPoyx)(21OBOAONN是AB的中点1221xx 2)2(2kkkk = 1 AB方程为y = x + 1 2将k = 1代入方程得0322xx1x或3x由1xy得01y42y)0,1(A)4,3(B0ABCDCD垂直平分ABCD所在直线方程为 2)1(xy即xy3代入双曲线方程整理得01162xx令),(33yxC),(44yxD及CD中点),(00yxM则643xx1143xx3243