高等数学知识要点整理.doc

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1、高等数学知识要点整理第一章 函数、极限、连续 重要的等价无穷小量代换 两个重要极限 各类无穷小的定义 幂指函数的相关结论 则 当时，以下各函数趋于的速度： 渐近线（1） 水平渐近线（2） 垂直渐近线（3） 斜渐近线若， 或，则是曲线的一条斜渐近线。(一般的都有斜渐近线) 极限的定理设， 那么：（1）（2）（3）（4）在与都存在的条件下才有若与中一个存在一个不存在，则有结论不存在若与中两个都不存在，那么与可能两个都不存在，或者一个存在一个不存在，但绝对不会两个都存在。不能将 关于间断点第一间断点：可去间断点，跳跃间断点（左、右极限都存在）第二间断点：无穷间断点，振荡间断点（左、右极限至少一个不存

2、在）相关性质：设在处有跳跃间断点，则在任意一个包含在其内部的区间上， 必不存在原函数 函数的性质一切初等函数在其定义区间都是连续的。有界性与最大值最小值定理：在闭区间上连续的函数在该区间上有界性且一定能取得它的最大值和最小值第二章 一元函数微分学 导数的定义 二阶导数 复合函数的可导性判断若在处可导，在处连续但不可导，则当时在处不可导，当时，在处可导，且 反函数的求导法则设的反函数，两者皆可导，且则 反函数的二阶求导 微分的定义设函数在某区间内有定义，及在这区间内，如果增量 那可表示为： 其中 全微分的近似计算费马定理若在处可导且取极限，且取得极值，则罗尔定理如果函数满足（1）在闭区间上连续（

3、2）在开区间内可导（3）在区间端口处的函数值相等，即那么在内至少有一点（），使得介值定理设函数在闭区间上连续，且在这区间的端口取不同的函数值：及那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间内至少有一点，使。零点定理设函数在闭区间上连续，且与异号（即），那么在开区间内至少有一点，使=0拉格朗日中值定理如果函数满足（1）在闭区间上连续（2）在开区间内可导那么在内至少有一点（），使等式柯西中值定理若函数及满足在上连续，在上可导，则对任一，,那么在内至少存在一点，使 函数的单调性与曲线的凹凸性定理1：设函数在上连续，在内可导（1）如果在内，那么函数在上单调递增（2）如果在内，那么函数在上单调减少定理2：

4、设函数在上连续，在内具有一阶与二阶导数（1）若如果在内，则在上的图形是凹的。（2）若如果在内，则在上的图形是凸的。定理3：（第二充分条件）设函数在处具有二阶导数且则（1） 当，函数在处取得极大值（2） 当，函数在处取得极小值 连续导数定理设在处连续，在的某去心邻域内可导，并设存在且等于,则亦存在且等于第三章 一元函数积分学 利用定积分的定义求极限 定积分的导数 牛顿-莱布尼兹公式如果函数是连续函数在区间上的一个原函数，则 分部积分法上连续且为奇函数 积分的性质上连续且为偶函数 定积分的三角公式(是0,1上的连续函数) 三角代换被积函数中含有常用代换被积函数中含有常用代换被积函数中含有常用代换注

5、： 原函数的奇偶性、周期性定理1 若连续函数是上的奇(偶)函数,则是偶(奇)函数推论1 奇函数的原函数是偶函数,注意:当为奇函数时,也是偶函数偶函数的原函数等于唯一的奇函数和一个任意常数之和。定理2 设是上的连续周期函数，且周期为,是它在上的一个原函数，则下列条件等价:(1) 是上的周期函数；(2) 是上有界；(3)对任意实数,有推论2 若是上的连续周期函数,是它在上的一个原函数，且也是周期函数，则与有相同的周期推论3 若是上的连续周期函数, 其周期为,是它在上的一个原函数，则是上一个以为周期的周期函数，即可以表示为一个周期函数与一个线性函数的和定理3 设是以为周期的连续函数，则以为周期的充要

6、条件是 定积分中值定理如果函数在积分区间上连续，则在上至少有一点，使 函数的平均值 旋转体的体积由连续曲线、直线、及轴所围成的曲边梯形，绕轴旋转一周而成的立体 故 由连续曲线、直线、与轴所围成的曲边梯形，绕轴旋转一周而成的立体 故 或 泰勒中值定理如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数，则对任一，存在：其中： （是与之间的某个值）佩亚诺型余项： 拉格朗日型余项：带佩亚诺型余项的n阶麦克劳林公式带拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式第四章 多元函数微分学 多元函数微分法锁链公式模型：设 模型：设 全微分的定义设函数在点的某邻域内有定义,如果函数在的全增量可表示为其中不依赖于而仅以、有关，则称在

7、点可微分，而称为函数在点的全微分，记作，即 可微分的必要条件如果函数在点可微分，则该函数在的偏导数必定存在且函数的全微分公式为： 用定义法判断是否可微求出函数的值，并考虑沿直线趋于时的值，确认它能否随而趋于0，即是否是的高阶无穷小 多元函数的极限存在、连续性、偏导数、可微分 隐函数的微分法设确定若连续，且，则 拉格朗日乘数法要找函数在附加条件下的可能极值点，可以先作拉格朗日函数。可以先作拉格朗日函数 其中： 多元函数的极值及求法定理一：（必要条件）设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则有 定理二：（充分条件）设函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又使 ，令,则在处能否取得的极值的

8、条件如下：时具有极值；且当时有极大值，时有极小值。时没有极值。时，可能有极值，可能没有极值需讨论。 二重积分中值定理设函数在有界闭区域上连续，是的面积，则在上至少存在一点，使得。通常把称为在上的积分平均值。 利用极坐标求二重积分的上下限直角坐标极坐标极坐标系 对称区域上奇偶函数的积分性质定理一.设在有界闭区域D上连续，若D关于轴对称，则其中D1为D在x轴上半平面部分定理二.设在有界闭区域D上连续，若D关于轴对称，则其中D1为D在轴右半平面部分定理三.设在有界闭区域上连续，若关于原点对称，则其中为的上半轴部分或右半平面部分。定理四.设在有界闭区域上连续，若关于轴,轴均对称，则其中是的第一象限部分

9、第五章 无穷级数 级数收敛的必要条件如果级数收敛，则它的一般项趋于零，即 两个重要级数1.几何级数 设和是常数，且，则当时收敛，且；当时发散2.级数 当时收敛；当时发散 任意项级数判别法若又均收敛，则收敛比较判别法只适用于正项级数收敛的判别，但对任意项级数不适用 比值判别法（达朗贝尔判别法） 莱布尼茨定理(1)(2)则级数收敛，且其和满足余项 绝对收敛与条件收敛如果正项级数各项的绝对值所构成的正项级数收敛，则称级数绝对收敛；如果级数收敛，而级数发散，则称级数条件收敛. 关于绝对收敛与条件收敛的基本结论1. 绝对收敛的级数一定收敛，即若收敛，则收敛2. 条件收敛级数的全部正项与全部负项构成的级数

10、分别发散，即若条件收敛，则级数与均发散。 对于三个级数 1.若，都收敛，则不一定收敛.如：2.若，都发散，则不一定发散3.若收敛，发散，则不一定发散.如：4.若条件收敛，绝对收敛，则不一定条件收敛.如：5.若收敛，绝对收敛，则绝对收敛。证明：收敛，故，所以当时，即,由比较判别法得证。6.若，都绝对收敛，其和分别为和则它们的柯西乘积也是绝对收敛的，且其和为 部分特殊的收敛级数1. 设收敛，则级数绝对收敛 对于三个级数 1.如果有两个收敛，则第三个收敛。2.如果其中一个收敛，另一个发散，则第三个发散。3.如果有连个发散，则第三个的敛散性不能确定4.如果有两个绝对收敛，则第三个绝对收敛5.如果其中一

11、个绝对收敛，另一个条件收敛，则第三个条件收敛。6.如果有两个条件收敛，则第三个收敛，但不能判定它是绝对收敛还是条件收敛。 阿贝尔（Abel）定理如果级数当时收敛，则适合不等式的一切使这幂级数绝对收敛。反之，如果级数当时发散，适合不等式的一切使这幂级数发散。 阿贝尔（Abel）定理推论如果幂级数不是仅在一点收敛，也不是在整个数轴上收敛，则必有一个确定的正数存在使当时，幂级数绝对收敛当时，幂级数发散当与时，幂级数可能收敛，也可能发散正数叫做幂级数的收敛半径，开区间叫做幂级数的收敛区间 幂函数的分析性质设幂函数的收敛半径为，则在内有1. 的和函数是连续的，2. 可逐项微分，且3. 可逐项积分，且逐项

12、积分和逐项求导后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径第六章 常微分方程 化为可分离变量的微分方程 或： 令 一阶线性微分方程方程： 通解： 伯努力方程 则 常系数线性微分方程特征方程的两个根微分方程的通解两个不相等实根两个相等实根一对共轭复根 常系数非其次线性微分方程的形式条件所设特解的形式为次多项式0不是特征根0是单特征根0是重特征根不是特征根是单特征根是重特征根表中为系数待定的次多项式，为系数待定的次多项式， n阶常系数非齐次线性微分方程的解特征方程的根微分方程通解中的对应项一对重复根第六章 &差分方程 差分的概念设函数称改变量为函数的差分，也称为函数的一阶差分，记为即： 或 一阶常系数线

13、性差分方程一阶常系数线性差分方程的一般形式：当时，齐次差分方程的通解：的形式的取值所设特解的形式特解带入值(常数)（特解中取的多项式）（指数） 差分的性质性质一：若为常数，则=0。性质二：若为常数，则性质三：性质四：常用推论： 泰勒公式举例当时（为实常数）导数与微分表 高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式：一些常用的初等函数的n阶导数公式（1）（2）（3）（4）（5）基本积分表 四则运算法则三角函数基本公式1.正弦定理：= 2R （R为三角形外接圆半径）2.余弦定理： 3.S=a=ab=bc=ac=2R=pr=(其中, r为三角形内切圆半径) 4.半角公式：（符号的选择由所在的象限确定）

14、 5.和差角公式 6.积化和差公式： 7.和差化积公式： 8.二倍角公式：(含万能公式) 10.诱导公式： 函数角Asincostancot-sincos-tan-cot90-cossincottan90+cos-sin-cot-tan180-sin-cos-tan-cot180+-sin-costancot270-cos-sincottan270+-cossin-cot-tan360-sincos-tan-cot360+sincostancot幂级数展开式（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）(11) (12)高等数学助记口诀函数概念五要素，对映关系最核心。分段函数分

15、段点，左右运算要先行。奇偶函数常遇到，对称性质不可忘。单调增加与减少，先算导数正与负。递推数列求极限，单调有界要先证。两边极限一起上，方程之中把值找。函数之差化导数，拉氏定理显神通。待定极限七类型，分层处理洛必达。幂指函数最复杂，指数对数一起上。变限积分是函数，遇到之后先求导。离散数列“洛比达”，先要转化连续型分段函数分段点，左右运算要先行数列极限逢绝境，转化积分见光明函数为零欲论证，介值定理定乾坤切线斜率为导数，法线斜率负倒数可导可微互等价，它们都比连续强凸凹切线在上下，凸凹转化在拐点有理函数要运算，最简分式要先行高次三角要运算，降次处理先开路导数为零欲论证，罗尔定理负重任导数函数合为零，辅助函数用罗尔寻找无约束，柯西拉氏一起上寻找有约束，两个区间用拉氏数字不等式难证，函数不等式先行变限积分是函数，遇到之后先求导多元复合求偏导，锁链公式不可忘多元隐函求偏导，交叉偏导加负号二重积分的计算，累次积分是关键定积分化重积分，广阔天地有作为微分方程欲规范，变换求导函数反无穷级数不神秘，部分和后求极限正项级数判别法，比较、比值和根值幂级数求和有招，公式、等比、列方程