数值分析第八章常微分方程数值解.ppt

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1、第八章 常微分方程数值解,数值分析,8.1 引言(基本求解公式),在工程和科学技术的实际问题中,常需要求解微分方程,只有简单的和典型的微分方程可以求出解析解,而在实际问题中的微分方程往往无法求出解析解,在高等数学中我们见过以下常微分方程:,-(1),-(2),-(3),(1),(2)式称为初值问题,(3)式称为边值问题,-(4),另外,在实际应用中还经常需要求解常微分方程组:,本课程主要研究问题(1)的数值解法,对(2)(4)只作简单介绍,我们首先介绍初值问题(1)的解存在的条件,定理1.,对于问题(1),要求它的数值解,-(1),从(1)的表达式,可以看出,求它的数值解的关键在于,求解微分方

2、程的数值方法,数值积分,数值微分,而数值积分问题我们已经学习过, 下考虑数值微分方法,微积分中,关于导数的定义如下:,自然而又简单的方法就是,取极限的近似值,即差商!,向前差商,由Taylor展开,因此,有误差,向后差商,误差:,中心差商,常微分方程数值解的基本思想,8.2 欧拉(Euler)方法,以上三种方法推导出同一个数值求解公式:,这个数值公式称为欧拉(尤拉) (Euler)公式,P299: 例9.2.1,4.改进的欧拉(Euler)公式 (显式方法),局部截断误差 / 方法的阶,评价一个微分方程求解公式的标准当然是其精度,而在求解公式 中,误差项,称为在 处的整体截断误差,定义1(a).,定义1(b).,-(*),上两定义本质是一样的,前者意义直观,后者用于计算推导较方便!,定义3.,Euler公式的局部截断误差为,具有1阶精度,后退Euler公式的局部截断误差为,也具有1阶精度,具有2阶精度,显然一个求解公式的精度越高,计算解的精确性也就越好,从前面的分析可知, Euler法的精度并不算高,因此有必要找寻精度更高的求解公式,Dont go away!,

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