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1、数值分析典型例题 I,一、二章内容提要 典型例题分析 例题与练习题 实验题介绍, ,化大为小 化繁为简 化难为易,收敛性 稳定性 复杂度(时间与空间)等,有效数字概念,若近似值 x 的绝对误差限是某一位上的半个 单位,该位到 x 的第一位非零数字一共有 n 位,则称近似值 x 有 n 位有效数字。,从左向右看第一个非零数,误差限不超过该位的半个单位,n位有效数字,如果x具有n位有效数字, 则相对误差满足:,其绝对误差满足:,如果一个规格化浮点数,则称近似数x具有n位有效数字。,迭代法思想:,收敛性,收敛速度,Iterate:To say or doagainoragain and again,
2、例1.经过四舍五入得出x1=6.1025和x2=80.100,试问它们分别具有几位有效数字?,解：,例2.已知近似数x有两位有效数字,试求其相对误差限。,解：| er(x)|5*10-2,例3.如下近似值的绝对误差限均为0.005,问各近似值有几位有效数值 x1=1.38, x2=-0.0312, x3=0.00086。,例4.二次方程 x2 16 x + 1 = 0, 取 求 使具有4位有效数。,解:直接计算 x18 7.937 = 0.063,修改算法,4位有效数,计算出的x1 具有两位有效数,例5. 采用迭代法计算 , 取x0 = 7,(k = 0，1，2，),若xk具有n位有效数字,求
3、证xk+1具有2n位有效数字。,Ex1：对 是否都有这一性质?,例6. 序列 yn 满足递推关系 yn = 10yn-1 1 (n = 1,2,) 若取 y0=21/2 1.41(三位有效数字)。递推计算 y10 时误差有多大？,思考: 这个计算过程稳定吗？,例7. 设 y0=28, 按递推公式 yn = yn-1 (783)1/2/100 (n = 1,2,) 计算到y100。若取(783)1/2 27.982(5位有效数字), 试问计算 y100 将有多大的误差？,例8.设计算球体V允许其相对误差限为 1%,问测量球半径R 的相对误差限最大为多少?,解：由球体计算公式分析误差传播规律,故当
4、球体V 的相对误差限为 1% 时，测量球半径R的相对误差限最大为0.33%。,相对误差传播规律,例9. 利用级数 可计算出无理数 的近似值。由于交错级数的部分和数列Sn在其极限值上下摆动, 试分析为了得到级数的三位有效数字近似值应取多少项求和。,解: 由部分和,只需, n 1000时, Sn有三位有效数。,例10.在计算机上对调和级数逐项求和计算,当 n 很大时，Sn 将不随n 的增加而增加。试分析原因。,例11. 证明方程1-x-sinx=0在区间0,1上有一根, 使用二分法求误差不大于0.5*10-4的根需要二分多少次？,提示: f(0)=1, f(1)=-sin10。且f(x)=-1-c
5、osx在区间(0,1严格单调递减。,例12. 构造求ex+10 x-2=0根的迭代法。,提示:,故迭代法算法一阶收敛。,例13. 应用牛顿迭代法于方程 x3 a = 0, 导出求立方根的迭代公式,并讨论其收敛阶。,解：令 f(x) = x3 a，则牛顿迭代公式,故立方根迭代算法二阶收敛,例14. 设a 为正实数,试建立求1/a 的牛顿迭代公式,要求在迭代公式中不含有除法运算,并考虑迭代公式的收敛。,xn+1 = xn(2 a xn)，( n = 0，1，2 ),所以,当| 1 a x0| 1 时, 迭代公式收敛。,解:建立方程,利用牛顿迭代法，得,例15. 证明对于C0,迭代格式,例16.,解
6、:,Ex2. 若 x*是f(x)=0的m重根,试证明修正的牛顿迭代法,至少为二阶收敛 。,f(x)1/m或f(x)/f(x)单根,Ex3 对于复变量 z = x + i y 的复值函数 f(z) 应用牛顿迭代公式,时为避开复数运算,令 zn = xn + i yn f(zn) = An + i Bn，f (zn) = Cn + i Dn,证明,例17.,提示: 取初值x1=21/2,考虑序列单调有界,则该序列必有极限。,例18.,例19.已知方程x3-x2-1=0在x0=1.5附近有根, 试判断下列迭代格式的收敛性。,例20.证明由迭代格式xn+1=xn/2+1/xn产生的迭代序列xn,对任意
7、的x00, 均收敛于21/2。,牛顿迭代法的收敛域问题: 用牛顿迭代法求解方程 zd 1 = 0的复根。例如d=3时, 方程在复平面上三个根分别是,z1 = 1,选择中心位于坐标原点，边长为2的正方形内的任意点作初始值，进行迭代，把收敛到三个根的初值分为三类，并分别标上不同颜色(例如红、绿和蓝)。对充分多的初始点进行实验，绘出牛顿迭代法对该方程的收敛域彩色图。,% Perform Newton iterations for k=1:maxIter; Z=Z-(f(Z,d)./fprime(Z,d); end function y=f(x,d); y=(x.d)-1; end function
8、y=fprime(x,d); y=d*(x.(d-1); end,代码片段1:,% Find d roots of unity, and the mask for j=1:d root=exp(2*pi*i/d)j; % the jth root Mj=abs(Z-root); % distance % Each root gets a unique number in 1,d mask=(Mj=tol)*j; renderMat=renderMat+mask; end colormap(hsv); % Set the color map imagesc(renderMat) % Render the fractal,代码片段2:,作业,题目1: 您研究领域中的数值分析问题？,题目2: 用Newton迭代法法画出最美的图形,标准: 1. 图形美 2. 代码美,要求: 1. m文件 2. 说明文档(word或pdf),