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1、3 格林公式曲线积分 与路线的无关性,在计算定积分时, -莱布尼茨公式反映了区间上的定积分与其端点上的原函数值之间的联系; 本节中的格林公式则反映了平面区域上的二重积分与其边界上的第二型曲线积分之间的联系.,一、格林公式,二、曲线积分与路线的无关性,返回,一、格林公式,设区域 D 的边界 L 是由,一条或几条光滑曲线所,组成.边界曲线的正方向,规定为:当人沿边界行走,时,区域 D 总在它的左边,如图 21-12 所示. 与上述规定的方向相反的方向称,为负方向,记为,有连续的一阶偏导数, 则有,(1),这里 L 为区域 D 的边界曲线, 并取正方向.,公式(1)称为格林公式.,证 根据区域 D
2、的不同形状, 这里对以下三种情形,(i) 若 D 既是 x 型又是 y 型区域(图21-13), 则可表为,作出证明:,又可表为,同理又可证得,将上述两个结果相加即得,(ii) 若区域 D 是由一条,按段光滑的闭曲线围成,且可用几段光滑曲线将,D 分成有限个既是 x 型,又是 y 型的子区域 (如图21-14), 则可逐块按 (i) 得到,它们的格林公式, 然后相加即可.,如图21-14 所示的区域 D, 可将它分成三个既是 x,(iii) 若区域 D 由几条闭曲线,所围成, 如图21-15 所示. 这,把区域化为 (ii) 的情形来处,时可适当添加线段,理. 在图21-15中添加了,后, D
3、 的边界则由,注1 并非任何单连通区域都可分解为有限多个既是,及 构成. 由(ii)知,所围成的区域便是如此.,注2 为便于记忆, 格林公式 (1) 也可写成下述形式:,注3 应用格林公式可以简化某些曲线积分的计算.,请看以下二例:,第一象限部分 (图21-16).,解 对半径为 r 的四分之一圆域,D, 应用格林公式:,点的闭区域的边界线.,解 因为,它们在上述区域 D 上连续且相等, 于是,所以由格林公式立即可得,面区域 D 的面积 SD 的公式:,(2),形的面积 (图21-17).,二、曲线积分与路线的无关性,在第二十章2 中计算第二型曲线积分的开始两,个例子中, 读者可能已经看到,
4、在例1中, 以 A 为起点,B 为终点的曲线积分, 若所沿的路线不同, 则其积分,值也不同, 但在例2 中的曲线积分值只与起点和终,点有关, 与路线的选取无关. 本段将讨论曲线积分在,什么条件下, 它的值与所沿路线的选取无关.,首先介绍单连通区域的概念.,若对于平面区域 D 内任一封闭曲线, 皆可不经过 D,以外的点而连续收缩于属于 D 的某一点, 则称此平,面区域为单连通区域; 否则称为复连通区域.,是复连通区域. 单连通区域也可以这样叙述: D 内任,一封闭曲线所围成的区域只含有 D 中的点. 更通,俗地说, 单连通区域就是没有“洞”的区域, 复连通区,域则是有“洞”的区域.,定理21.1
5、2 设 D 是单连通闭区域. 若函数,在 D 内连续, 且具有一阶连续偏导数, 则以,下四个条件两两等价:,(i) 沿 D 内任一按段光滑封闭曲线 L, 有,(ii) 对 D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分,与路线无关, 只与 L 的起点及终点有关;,即在 D 内有,(iv) 在 D 内处处成立,A, B 的任意两条按段光滑曲线, 由 (i) 可推得,所以,D 内任意一点. 由 (ii), 曲线积分,对于 x 的偏增量(图21-20),因为在 D 内曲线积分与路线无关, 所以,值定理可得,一点处都有,条件, 就得到,以及 P, Q 具有一阶连续偏导数, 便可知道在 D 内每,上面我们将四个
6、条件循环推导了一遍, 这就证明了,它们是相互等价的.,应用定理21.12 中的条件(iv)考察第二十章2 中的,例1 与例2. 在例1中,所以积分与路线无关.,到点 D(0,1) 的路径(见图21-21).,分析 如果第二型曲线积分在某单连通区域内满足,与路径无关的条件,则可改变积分路径,使易于计算.,解 记,易知除去点 E(0.5, 0) 外, 处处满足,一不含奇点 E 的单连通区域内, 所以有,注1 定理 21.12 中对“单连通区域”的要求是重要,何不包含原点的单连通区域, 已证得在这个区域内,的任何封闭曲线 L 上, 皆有,(3),的.如本例若取沿 y 轴由点 A 到点 D 的路径 ,
7、 虽,然算起来很简单,但却不可用.因为任何包含,的单连通区域必定含有奇点 E . 又如本节例 2,对任,只在剔除原点外的任何区域 D 上有定义, 所以 L 必,含在某个复连通区域内. 这时它不满足定理 21.12,的条件, 因而就不能保证(3)式成立. 事实上, 若取 L,为绕原点一周的圆,则有,倘若 L 为绕原点一周的封闭曲线, 则函数,由上述证明可看到二元函数,具有性质,例5 试应用曲线积分求,的原函数.,解 这里,在整个平面上成立,由定理21.12, 曲线积分,注 由例4 可见, 若,线段 于是有,只与起点 A 和终点 B 有关, 而与路线的选择无关.,则求全微分的原函数可用公式,或,下例介绍用“凑微分”法求全微分的原函数.,例6 求全微分,的原函数,解 由于,可见,复习思考题,验证格林公式的另一形式:,