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1、1.能用计数原理证明二项式定理 2会用二项式定理解决与二项展开式 有关的简单问题,1二项式定理,思考探究1 在(ab)n与(ba)n的展开式中，其通项相同吗？,提示：从整体上看，(ab)n与(ba)n的展开式是相同的，但具体到某一项是不同的，如第r1项Tr1 anrbr，T r1 bnrar.,2二项式系数的性质,思考探究2 二项式系数与项的系数有什么区别？,提示：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念二项式系数是指 ，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的部分，它不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a，b的值有关,1. 的展开式中x2的系数为 () A10
2、B5 C. D1,解析：含x2的项为 ( )2 x2 ， x2的系数为 .,答案：C,2二项式(a2b)n展开式中的第二项的系数是8，则它的 第三项的二项式系数为 () A24 B18 C16 D6,解析：Tr1 (2b)r， T2 an1(2b)2 an1b， 2 8，n4， 第三项的二项式系数为 6.,答案：D,3若(x )n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的 常数项为 () A10 B20 C30 D120,解析：二项式系数之和2n64， 则n6，Tr1 x6r x62r， 当62r0时，即r3时为常数项，T31 20.,答案：B,解析：Tr1 (ax)5r(1)r，且x3的系数为
3、80.,4若(ax1)5的展开式中x3的系数是80，则实数a的值是 _,答案：2,5若(x21)(x2)9a0a1(x1)a2(x1)2a11(x 1)11，则a1a2a11_.,解析：令x2，则有a0a1a2a11(221)(22)90， 再令x1，则有a0(121)(1)2， a1a2a3a112.,答案：2,在解决二项展开式指定项或特定项的问题时，关键是公式Tr1 anrbr(0rn，rN*，nN*)的正确应用,特别警示应用二项展开式的通项公式Tr1 anrbr(r0,1,2，n)时，要注意以下几点： (1)通项公式表示的是第r1项，而不是第r项； (2)通项公式中a和b的位置不能颠倒；
4、 (3)展开式中第r1项的二项式系数 与第r1项的系数，在一般情况下是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式或指数的运算要细心，以防出错,已知在( )n的展开式中，第6项为常数项 (1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项,思路点拨,课堂笔记(1)通项为Tr1 ， 因为第6项为常数项，所以r5时，有 0， 即n10. (2)令 2，得r (n6) (106)2， 所求的系数为,(3)根据通项公式，由题意 令 k(kZ)，则102r3k，即r5 k， rN，k应为偶数 k可取2,0，2，即r可取2,5,8. 所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别
5、为 ( )2x2， ， x2.,1.对形如(axb)n、(ax2bxc)m、(a、b、cR)的式子求 其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即 可；对(axby)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之 和，只需令xy1即可 2一般地，若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开 式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4 ，偶数项系数之和为a1a3a5 .,在二项式(2x3y)9展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)系数绝对值的和,思路点拨,课堂笔记设(2x3y)9a0 x9a1x8ya2x7y2a9y9
6、. (1)二项式系数之和为 29. (2)各项系数之和为a0a1a2a9，令x1，y1， a0a1a2a9(23)91. (3)由(2)知a0a1a2a91， 令x1，y1，可得： a0a1a2a959，将两式相加，可得 a0a2a4a6a8 ，即为所有奇数项系数之和,(4)|a0|a1|a2|a9|a0a1a2a3a9， 令x1，y1，则|a0|a1|a2|a9|a0a1a2a3a959.,1.求二项式系数最大的项： 如果n是偶数，则中间一项 的二项式系 数最大； 如果n是奇数，则中间两项 的二项式系数相等且最大；,2求展开式系数最大的项，如求(abx)n(a，bR)的展开 式中系数最大的项
7、，一般是采用待定系数法设展开 式各项系数分别为A1，A2，An1，且第r项系数最大， 应用 解出r来，即得系数最大的项,已知f(x)( 3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项,思路点拨,课堂笔记(1)令x1，则二项式各项系数和为f(1)(13)n4n， 展开式中各项的二项式系数之和为2n. 由题意知4n2n992. (2n)22n9920， (2n31)(2n32)0， 2n31(舍)或2n32，n5.,由于n5为奇数，所以展开式中二项式系数最大项为中间两项，它们是 T3 (x )3(3x2)290 x6
8、， T4 (x )2(3x2)3270 x . (2)展开式通项为Tr1 3rx (52r) 假设Tr1项系数最大，则有, r ，rN，r4. 展开式中系数最大项为T5 x (3x2)4405x .,已知( x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x1)n的展开式的二项式系数和大992，求(2x )2n的展开式中： (1)二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项.,解：根据二项式系数的性质，列方程求解n.系数绝对值最大问题需要列不等式组求解 由题意知，22n2n992，即(2n32)(2n31)0. 2n32，解得n5. (1)由二项式系数的性质知，(2x )10的展开式中第6项的二项式
9、系数最大 即T6 (2x)5( )58 064.,(2)设第r1项的系数的绝对值最大， Tr1 (2x)10r( )r (1)r 210rx102r， 得 即 解得 r . rZ，r3，故系数的绝对值最大的是第4项， T4 27x415 360 x4.,以选择题或填空题的形式考查二项展开式的通项、二项式系数、展开式的系数等知识是高考对本讲内容的常规考法.09年北京高考则以选择题的形式考查了二项式定理在求值中的应用，这是一个新的考查方向,考题印证 (2009北京高考)若(1 )5ab (a，b为有理数)，则ab () A45 B55 C70 D80,【解析】由二项式定理得： (1 )51 ( )
10、2 ( )3 ( )4 ( )515 2020 204 4129 ， a41，b29，ab70.,【答案】C,自主体验 若对于任意实数x，有x3a0a1(x2)a2(x2)2a3(x2)3，则向量m(a0，a2)与向量n(3,4)所成角的余弦值是 () A0 B. C. D1,解析：x32(x2)3，a0238，a2 26. 故m(8,6)，mn0.,答案：A,1(2009浙江高考)在二项式(x2 )5的展开式中，含x4的 项的系数是 () A10 B10 C5 D5,解析：Tr1 x2(5r)(x1)r(1)r x103r(r0,1，5)，由103r4得r2.含x4的项为T3，其系数为 10
11、.,答案：B,2如果 的展开式中含有非零常数项，则正整 数n的最小值为 () A10 B6 C5 D3,解析：Tr1 (3x2)nr (1)r 3nr2rx2n5r， 由题意知2n5r0，即n ，nN*，rN， n的最小值为5.,答案：C,3(1 )6(1 )4的展开式中x的系数是 () A4 B3 C3 D4,解析：法一：化简原式(1 )4(1 )4(1 )2 (1 )(1 )4(1 )2(1x)4(1 )2 (14x6x24x3x4)(12 x) 故系数为143.,法二：展开式中含x的项为 ( )( ) 15x6x24x3x 故x的系数为3.,答案：B,4二项式(2x )6的展开式的常数项
12、是_,解析：Tr1 (2x)6r( )r 26r(1)rx62r，由62r0得r3，故展开式中的常数项为 23(1)3 160.,答案：160,5(2010安徽师大附中模拟)a (sinxcosx)dx则二项式 (a )6展开式中含x2项的系数是_,解析：a (sinxcosx)dx(sinxcosx)| (sincos)(sin0cos0) (01)(01)2. 又Tr1 (a )6r( )r a6r(1)rx a6r(1)rx3r. 由3r2，得r1， x2项的系数为 a5192.,答案：192,6设(3x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4. (1)求a0a1a2a3a4； (2)求a0a2a4； (3)求a1a3； (4)求a1a2a3a4； (5)求各项二项式系数的和,解：(1)令x1，得a0a1a2a3a4(31)416. (2)令x1得 a0a1a2a3a4(31)4256， 而由(1)知a0a1a2a3a4(31)416， 两式相加，得a0a2a4136. (3)由(2)得 (a0a1a2a3a4)(a0a2a4)a1a3120.,(4)令x0得a0(01)41， 得a1a2a3a4a0a1a2a3a4a016115. (5)各项二项式系数的和为 2416.,