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1、1从位移、速度、力到向量11位移、速度和力12向量的概念 学习目标1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念知识链接1力和位移都是既有大小，又有方向的量，在物理学常称为矢量，在数学中叫作向量；而把那些只有大小，没有方向的量称为数量，在物理学常称为标量2已知下列各量：力；功；速度；质量；温度；位移；加速度；重力；路程；密度其中是数量的有，是向量的有.3向量与数量有什么联系和区别？答联系
2、是向量与数量都是有大小的量；区别是向量有方向且不能比较大小，数量无方向且能比较大小预习导引1向量：既有大小，又有方向的量叫作向量2向量的几何表示：以A为起点、B为终点的有向线段记作.3向量的有关概念：(1)零向量：长度为0的向量，叫作零向量，记作0或.(2)单位向量：长度为单位1的向量叫作单位向量(3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫作相等向量(4)平行向量(共线向量)：如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线记法：向量a平行于b，记作ab.规定：零向量与任一向量平行要点一向量的概念例1给出下列各命题：(1)零向量没有方向；(2)若|a|b|，则ab；(3)
3、单位向量都相等；(4)向量就是有向线段；(5)两相等向量若其起点相同，则终点也相同；(6)若ab，bc，则ac；(7)若ab，bc，则ac；(8)若四边形ABCD是平行四边形，则，.其中正确命题的序号是_答案(5)(6)解析(1)该命题不正确，零向量不是没有方向，只是方向不确定；(2)该命题不正确，|a|b|只是说明这两向量的模相等，但其方向未必相同；(3)该命题不正确，单位向量只是模为单位长度1，而对方向没要求；(4)该命题不正确，有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来；(5)该命题正确，因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合；(6)该命题正确由向量
4、相等的定义知，a与b的模相等，b与c的模相等，从而a与c的模相等；又a与b的方向相同，b与c的方向相同，从而a与c的方向也必相同，故ac；(7)该命题不正确因若b0，则对两不共线的向量a与c，也有a0，0c，但ac；(8)该命题不正确如图所示，显然有，.规律方法要充分理解与向量有关的概念，明白它们各自所表示的含义，搞清楚它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的关键跟踪演练1下列命题中，正确的是()Aa，b是两个单位向量，则a与b相等B若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量C两个相等的向量，起点、方向、长度必须都相同D共线的单位向量必是相等向量答案B解析若a与b中有一个是零向量，则a与b是平行
5、向量，即向量a与b共线，与前提矛盾，所以a与b都是非零向量要点二向量的表示例2在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)，使|4，点A在点O北偏东45；(2)，使|4，点B在点A正东；(3)，使|6，点C在点B北偏东30.解(1)由于点A在点O北偏东45处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等又|4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示(2)由于点B在点A正东方向处，且|4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示
6、(3)由于点C在点B北偏东30处，且|6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为35.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示规律方法在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向应该注意的是有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段跟踪演练2中国象棋中规定：马走“日”字下图是中国象棋的半个棋盘，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量或表示马走了“一步”试在图中画出马在B，C处走了“一步”的所有情况解根据规则，画出符合要求的所有向量马在B处走了“一步”的情况如图(1)所示；马在C处走了“一步”
7、的情况如图(2)所示要点三相等向量与共线向量例3如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED、OCFB都是正方形(1)写出与相等的向量；(2)写出与共线的向量；(3)向量与是否相等？解(1)与相等的向量为：、.(2)与共线的向量为：、.(3)向量与不相等，因为与的方向相反，所以它们不相等规律方法判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同、长度相等，与起点和终点的位置无关对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可跟踪演练3如图，在正方形ABCD中，M，N分别为AB和CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有向量中，相等的向量分别有多少对？解不妨设正方形的边长
8、为2，则以A，B，C，D，M，N为起点和终点的向量中：(1)模为2的相等向量共有8对，.(2)模为1的相等向量有12对，其中与同向的有，这四个向量组成相等的向量有6对，即，同理与反向的也有6对(3)模为的相等向量共有4对，.1下列说法正确的是()A零向量没有大小，没有方向B零向量是唯一没有方向的向量C零向量的长度为0D任意两个单位向量方向相同答案C解析零向量的长度为0，方向是任意的，故A，B错误，C正确任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故D错误2如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是()A.与 B.与C.与 D.与答案D解析，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD互相平分
9、，.3如图，在ABC中，若DEBC，则图中是共线向量的有_答案与，与，与解析观察图形，并结合共线向量的定义可得解4在四边形ABCD中，且|，则四边形ABCD的形状是_答案梯形解析且|，ABDC，且ABDC，四边形ABCD是梯形1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用2共线向量与平行向量是一组等价的概念平行向量是指向量所在直线平行或重合，是一种广义的平行3注意两个特殊向量零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量
10、的终点在平面内形成一个单位圆一、基础达标1有下列说法：若向量a与向量b不平行，则a与b方向一定不相同；若向量，满足|，且与同向，则；若|a|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反；由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行其中，正确说法的个数是()A1 B2C3 D4答案A解析对于，由共线向量的定义知，两向量不平行，方向一定不相同，故正确；对于，因为向量不能比较大小，故错误；对于，由|a|b|，只能说明a，b的长度相等，不能确定它们的方向，故错误；对于，因为零向量与任一向量平行，故错误2下列说法中错误的是()A有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段B若向量a与b不共线，则a与
11、b都是非零向量C长度相等但方向相反的两个向量不一定共线D方向相反的两个非零向量必不相等答案C解析长度相等但方向相反的两个向量一定共线，由向量的概念及向量的模的意义可判断A、B、D选项内容都是正确的3给出下列六个命题：两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若|a|b|，则ab；若，则四边形ABCD是正方形；平行四边形ABCD中，一定有；其中不正确的命题的个数为()A2 B3 C4 D5答案B解析不正确的是.4设O是正方形ABCD的中心，则向量，是()A相等的向量 B平行的向量C有相同起点的向量 D模相等的向量答案D解析这四个向量的模相等5若a是任一非零向量，b是模为1的向量，下列各式：|a|
12、b|；ab；|a|0；|b|1.其中正确的是()A B C D答案B解析a任一非零向量，故|a|0.6.如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EFAB，则()A.B.C.D.答案D解析由平面几何知识知，与方向不同，故；与方向不同，故；与模相等而方向相反，故；与模相等且方向相同，故.7如图，在四边形ABCD中，N、M分别是AD、BC上的点，且.求证：.证明，|且ABCD，四边形ABCD是平行四边形，|，且DACB.又与的方向相同，.同理可证，四边形CNAM是平行四边形，.|，|，|.DNMB且与的方向相同，.二、能力提升8以下命题：若，
13、则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；若mn，nk，则mk；单位向量都是共线向量其中，正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3答案B解析A、B、C、D四点可能共线；单位向量的模相等，但方向不确定，所以未必共线9给出下列四个条件：ab；|a|b|；a与b方向相反；|a|0或|b|0.其中能使ab成立的条件是_答案解析因为abab，即能够使ab成立；由于|a|b|并没有确定a与b的方向，即不能够使ab成立；因为a与b方向相反时，ab，即能够使ab成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a|0或|b|0时，ab能够成立故使ab成立的条件是.10一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，
14、然后又改变方向向北偏西40走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点(1)作出向量、；(2)求|.解(1)向量、如图所示：(2)由题意，易知与方向相反，故与共线，又|，在四边形ABCD中，AB綊CD.四边形ABCD为平行四边形，|200 km.11如图，已知矩形ABCD中，设点集MA，B，C，D，求集合T|P、QM，且0解集合T|P、QM，且0中的元素为非零向量，且向量的起点与终点分别为矩形的顶点ABCD.这些向量为，.由于，根据集合元素的互异性，得集合T，12如图所示，已知.求证：(1)ABCABC；(2)，.证明(1)，|，且.又A不在上，AABB.四边形AABB是平行四边形|.同理|，|.ABCABC.(2)由(1)知，四边形AABB是平行四边形，且|.同理可证.三、探究与创新13.如图，在平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集SA，B，C，D，O，向量集合T|M，NS，且M，N不重合，试求集合T中元素的个数解由题意知，集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段，共有20个，即，；，；，；，；，.由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即，.集合中元素具有互异性，集合T中的元素共有12个